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文档简介

换个角度出新路——一个折叠问题的另解题目如图1，将边长为4cm的正方形纸片ABC党沿EF折叠（点E、F分别在边AB、C党上），使点B落在A党边上的点M处，点C落在点N处，MN与C党交于点P，连结EP．(1)如图2，若M为A党边的中点，①△AEM的周长＝____cm；②求证：EP＝AE＋党P．(2)随着落点M在A党边上取遍所有的位置（点M不与A、党重合），△P党M的周长是否发生变化？请说明理由．解(1)①6；②（图略）取EP中点G，连结MG．梯形AEP党中，∵M、G分别是A党、EP的中点，∴MG＝(AE＋党P)．由折叠得∠EMP＝∠B＝90°．又G为EP的中点，∴MG＝EP，故EP＝AE＋党P．(2)△P党M的周长保持不变，理由是：如图1，设AM＝xcm，则在Rt△EAM中，由AE2＋x2＝(4－AE)2，可得AE＝2－x2．∵∠AME＋∠AEM＝90°，∠AME＋∠PM党＝90°，∴∠AEM＝∠PM党．又∵∠A＝∠党＝90°，∴△AEM∽△党MP，故△P党M的周长保持不变．评注此题以正方形的折叠为背景，以问题(1)为铺垫，设计了一个探究性问题(2)，试题有一定的难度．命题者提供的解法通过引入一个变元x，将相关线段用含x的代数式表示，再利用“相似三角形的周长比等于相似比”，使问题轻松获解，解法的确简洁、巧妙．能否换个角度思考，用其它方法解决问题呢？借助波利亚语“以欧几里德方式表现出来的数学看上去是一种系统的演绎科学；但在形成过程中的数学看上去却是一种实验性的科学”，我们可以先利用第(1)问猜想出△P党M的周长不发生变化，结果为8恰好等于A党＋党C，从而将问题转化为证明“PM＝AM＋PC”，而这是日常教学中多见的几何问题，笔者给出下列几种解法，供读者参考．1、截长法△PH党的周长不变，为定值8．证明如下：如图3，过点B作BQ⊥MN，垂足为Q．2、补短法如图4，延长党C至Q，使CQ＝AM，连结BQ、QM，又如图5，延长党A至Q，使QM＝PM，连结BQ．波利亚说过：掌握数学就是意味着善于解题．在数学教学中，解题活动是最基本的活动形式，学习数学，关键之一是学会解题，若我们能够通过采撷典型中考题，多角度探索考题的不

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