天一大联考2024届高二数学第一学期期末考试试题含解析

天一大联考2024届高二数学第一学期期末考试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知实数，满足不等式组，则的最小值为（）A2 B.3C.4 D.52．若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（）A. B.C. D.3．已知随机变量X的分布列如表所示，则（）X123Pa2a3aA. B.C. D.4．已知数列满足，，则（）A. B.C. D.5．如图，在直三棱柱中，且，点E为中点．若平面过点E，且平面与直线AB所成角和平面与平面所成锐二面角的大小均为30°，则这样的平面有（）A.1个 B.2个C.3个 D.4个6．某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：排队人数01234概率0.10.16030.30.10.04则至少有两人排队的概率为（）A.0.16 B.0.26C.0.56 D.0.747．如图所示，在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且，则向量可表示为（）A. B.C. D.8．已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（）A. B.C. D.9．“﹣3＜m＜4”是“方程表示椭圆”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要10．设椭圆：的右顶点为，右焦点为，为椭圆在第二象限内的点，直线交椭圆于点，为原点，若直线平分线段，则椭圆的离心率为A. B.C. D.11．为了调查全国人口的寿命，抽查了11个省（市）的2500名城镇居民，这2500名城镇居民的寿命的全体是（）A.总体 B.个体C.样本 D.样本容量12．已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则抛物线的方程是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设分别是平面的法向量，若，则实数的值是________14．如图三角形数阵：132456109871112131415……按照自上而下，自左而右的顺序，位于第行的第列，则______.15．已知原命题为“若，则”，则它的逆否命题是__________（填写”真命题”或”假命题”）16．已知的顶点A(1，5)，边AB上的中线CM所在的直线方程为，边AC上的高BH所在直线方程为，求（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交点，且与直线x+y﹣2＝0垂直（1）求直线l的方程；（2）若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程18．（12分）已知椭圆：，是坐标原点，，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，过作的外角的平分线的垂线，垂足为，且（1）求椭圆方程：（2）设直线：与椭圆交于，两点，且直线，，的斜率之和为0（其中为坐标原点）①求证：直线经过定点，并求出定点坐标：②求面积的最大值19．（12分）设正项数列的前项和为，已知，（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围20．（12分）已知椭圆长轴长为4，A，B分别为左、右顶点，P为椭圆上不同于A，B的动点，且点在椭圆上，其中e为椭圆的离心率（1）求椭圆的标准方程；（2）直线AP与直线（m为常数）交于点Q，①当时，设直线OQ的斜率为，直线BP的斜率为．求证：为定值；②过Q与PB垂直的直线l是否过定点？如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由21．（12分）已知函数（）（1）讨论函数的单调区间；（2）若有两个极值点，（），且不等式恒成立，求实数m的取值范围22．（10分）已知数列满足：（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为．若对恒成立．求正整数m的最大值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】画出可行域，找到最优解，得最值.【详解】画出不等式组对应的可行域如下：平行移动直线，当直线过点时，.故选：B.2、B【解析】根据斜率的取值范围，结合来求得倾斜角的取值范围.【详解】设倾斜角为，因为，且，所以.故选：B3、C【解析】根据分布列性质计算可得；【详解】解：依题意，解得，所以；故选：C4、A【解析】根据递推关系依次求出即可.【详解】，，，，，.故选：A.5、B【解析】构造出长方体，取中点连接然后利用临界位置分情况讨论即可.【详解】如图，构造出长方体，取中点，连接则所有过点与成角的平面，均与以为轴的圆锥相切，过点绕且与成角，当与水平面垂直且在面的左侧（在长方体的外面）时，与面所成角为75°（与面成45°，与成30°），过点绕旋转，转一周，90°显然最大，到了另一个边界（在面与之间）为15度，即与面所成角从75°→90°→15°→90°→75°变化，此过程中，有两次角为30

，综上，这样的平面α有2个，故选：B.6、D【解析】利用互斥事件概率计算公式直接求解【详解】由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率表，得：至少有两人排队的概率为：故选：D【点睛】本题考查概率的求法、互斥事件概率计算公式，考查运算求解能力，是基础题7、D【解析】根据空间向量加法和减法的运算法则，以及向量的数乘运算即可求解.【详解】解：因为在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且，所以，故选：D.8、A【解析】利用空间向量基本定理进行计算.【详解】.故选：A9、B【解析】求出方程表示椭圆的充要条件是且,由此可得答案.【详解】因为方程表示椭圆的充要条件是,解得且,所以“﹣3＜m＜4”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.故选:B【点睛】本题考查了由方程表示椭圆求参数的范围,考查了充要条件和必要不充分条件,本题易错点警示:漏掉,本题属于基础题.10、B【解析】如上图，设AC中点为M,连OM，则OM为的中位线，易得∽，且,即可得，选B.点睛：本题主要考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的求法，本题的关键是利用中位线定理和相似三角形定理11、C【解析】由样本的概念即知.【详解】由题意可知，这2500名城镇居民的寿命的全体是样本.12、B【解析】由抛物线知识得出准线方程，再由点到焦点的距离等于其到准线的距离求出，从而得出方程.【详解】由题意知，则准线为，点到焦点的距离等于其到准线的距离，即，∴，则故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解析】根据分别是平面的法向量，且，则有求解.【详解】因为分别是平面的法向量，且所以所以解得故答案为：4【点睛】本题主要考查空间向量垂直，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14、【解析】由题意可知到第行结束一共有个数字，由此可知在第行；又由图可知，奇数行从左到右是从小到大排列，偶数行从左到右是从大到小排列，第行个数字从大到小排列，由此可知在到数第列，据此即可求出，进而求出结果.【详解】由图可知，第1行有1个数字，第2行有2个数字，第2行有3个数字，……第行有个数字，由此规律可知，到第行结束一共有个数字；又当时，，所以第行结束一共有个数字；当时，，所以在第行，故；由图可知，奇数行从左到右是从小到大排列，偶数行从左到右是从大到小排列，第行是偶数行，共个数字，从大到小排列，所以在倒数第列，所以，所以.故答案为：.15、真命题【解析】先判断原命题的真假，再由逆否命题与原命题是等价命题判断.【详解】因为命题“若，则”是真命题，且逆否命题与原命题是等价命题,所以它的逆否命题是真命题，故答案为：真命题16、（1）；（2）.【解析】（1）设出点C的坐标，进而根据点C在中线上及求得答案；（2）设出点B的坐标，进而求出点M的坐标，然后根据中线的方程及求出点B的坐标，进而求出直线BC的方程.【小问1详解】设C点的坐标为，则由题知，即.【小问2详解】设B点的坐标为，则中点M坐标代入中线CM方程则由题知，即，又，则，所以直线BC方程为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）先求得直线和直线的交点坐标，再用点斜式求得直线的方程.（2）设圆的标准方程为，根据已知条件列方程组，求得，由此求得圆的标准方程.【小问1详解】.直线的斜率为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为.【小问2详解】设圆的标准方程为，则，所以圆的标准方程为.18、（1）；（2）①证明见解析，；②.【解析】（1）根据椭圆的定义以及角平分线的性质可得，，结合点在椭圆上，以及即可求出的值，进而可得椭圆的方程.（2）①设，，联立直线与椭圆方程，求得，，利用斜率之和等于得出关于的方程，解得即可得所过的定点，②由弦长公式求出，点到直线的距离公式求得高，由面积公式表示三角形的面积，利用基本不等式即可求最值.【详解】（1）如图，由题意可知，由椭圆定义知，则，连接，所以，所以又在椭圆上则，解得：，，所以椭圆的方程为：；（2）①证明：设，，联立，整理可得：，所以，可得，，，设直线，，的斜率为，，，因为直线，，的斜率之和为0，所以，即所以，由，所以，所以直线恒过定点；②由①可得：，原点到直线的距离，所以，因为，当且仅当时，即，即时取等号，所以，即面积的最大值为1【点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：19、（1）；（2）.【解析】（1）利用的关系求的通项公式；（2）由（1）得，应用错位相减法求，根据不等式，讨论n的奇偶性求参数范围即可.【小问1详解】由题设，当时，则，整理得，，则，当时，，又得：，故，所以数列是首项、公差均为2的等差数列，故.【小问2详解】由（1），，所以，，两式相减得，故，所以令，易知：单调递增，若为偶数，则，所以；若为奇数，则，所以，即综上，20、（1）（2）①证明见解析；②直线过定点；【解析】（1）依题意得到方程组，解得，即可求出椭圆方程；（2）①由（1）可得，，设，，表示出直线的方程，即可求出点坐标，从而得到、，即可求出；②在直线方程中令，即可得到的坐标，再求出直线的斜率，即可得到直线的方程，从而求出定点坐标；【小问1详解】解：依题意可得，即，解得或（舍去），所以，所以椭圆方程为【小问2详解】解：①由（1）可得，，设，，则直线的方程为，令则，所以，，所以，又点在椭圆上，所以，即，所以，即为定值；②因为直线的方程为，令则，因为，所以，所以直线的方程为，即又，所以，令，解得，所以直线过定点；21、（1）时，在递增，时，在递减，在递增（2）【解析】（1）求出函数导数，分和两种情况讨论可得单调性；（2）根据导数可得有两个极值点等价于有两不等实根，则可得出，进而得出，可得恒成立，等价于，构造函数求出最小值即可.【小问1详解】的定义域是，，①时，，则，在递增；②时，令，解得，令，解得，故在递减，在递增．综上，时，在递增时，在递减，在递增【小问2详解】，定义域是，有2个极值点，，即，则有2个不相等实数根，，∴，，解得，且，，从而，由不等式恒成立，得恒成立