第4章　万有引力定律及航天

2/59第4章万有引力定律及航天第1节天地力的综合：万有引力定律(强基课—逐点理清物理观念)课标要求层级达标1.通过史实，了解万有引力定律的发现过程。2.知道万有引力定律。3.认识发现万有引力定律的重要意义。学考层级1.了解开普勒定律和万有引力定律，能解释简单的自然现象，解决简单的实际问题。2.能对简单的行星运动现象进行分析和推理，获取行星运动规律结论。选考层级1.能将行星运动近似看成匀速圆周运动模型，对有关万有引力定律的综合性问题进行分析，并获得结论。2.有学习和研究天体运动规律的内在动机，研究中坚持实事求是，在实验探究合作中既能坚持观点又能修正错误。逐点清(一)行星运动的规律[多维度理解]1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。2．开普勒第二定律：任何一个行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。3．开普勒第三定律：行星绕太阳运行轨道半长轴a的立方与其公转周期T的平方成正比，公式：eq\f(a3,T2)＝k。1．开普勒第一定律eq\o(→,\s\up7(确定),\s\do5())行星运动的轨道行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，如图所示。不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的，但所有轨道都有一个共同的焦点——太阳。开普勒第一定律又叫轨道定律。2．开普勒第二定律eq\o(→,\s\up7(确定),\s\do5())行星运动的快慢如图所示，在相等的时间内，面积SA＝SB，这说明离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大。开普勒第二定律又叫面积定律。3．开普勒第三定律eq\o(→,\s\up7(确定),\s\do5())行星运动的周期(1)公式：eq\f(a3,T2)＝k，k是一个对所有行星都相同的物理量，由中心天体太阳决定，与行星无关。(2)椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长；反之，则公转周期越短。(3)由于大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，因此，在中学阶段的研究中我们可以按圆轨道处理，且把行星绕太阳的运动看作匀速圆周运动，写成eq\f(r3,T2)＝k。[全方位练明]1．判断下列说法是否正确。(1)宇宙的中心是太阳，所有行星都在绕太阳做匀速圆周运动。(×)(2)造成太阳每天东升西落的原因是天空不转动，太阳每天自东向西旋转一周。(×)(3)围绕太阳运动的行星的速率是一成不变的。(×)(4)八大行星中海王星离太阳“最远”，则公转周期最长。(√)2．(2023·东营高一检测)如图所示，火星和地球都在围绕着太阳旋转，运行轨道都是椭圆。根据开普勒行星运动定律可知()A．太阳位于地球运行轨道的中心B．地球靠近太阳的过程中，运行速率减小C．火星远离太阳的过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大D．火星绕太阳运行一周的时间比地球的长解析：选D根据开普勒第一定律可知，太阳位于地球运行轨道的焦点处，A错误；根据开普勒第二定律可知，地球靠近太阳的过程中，运行速率增加，B错误；根据开普勒第二定律可知，火星远离太阳的过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积不变，C错误；根据开普勒第三定律可知，火星绕太阳运行的半长轴大于地球绕太阳运行的半长轴，可知火星绕太阳运行一周的时间比地球的长，D正确。3.如图所示，某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运转半径的eq\f(1,9)，设月球绕地球运动的周期为27天，则此卫星的运转周期大约是()A.eq\f(1,9)天 B.eq\f(1,3)天C．1天 D．9天解析：选C由于r卫＝eq\f(1,9)r月，T月＝27天，由开普勒第三定律eq\f(r卫3,T卫2)＝eq\f(r月3,T月2)，可得T卫＝1天，故选项C正确。逐点清(二)万有引力定律[多维度理解]1．内容自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小F与这两个物体质量的乘积m1m2成正比，与这两个物体间的距离r的平方成反比。2．表达式：F＝Geq\f(m1m2,r2)。(1)r是两质点的距离(若为匀质球体，则是两球心的距离)。(2)G为引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2。3．“月—地”检验牛顿的月—地检验，将地球对地面物体的引力、行星对卫星的引力统一起来，证明了它们都遵守万有引力定律。4．引力常量的测定(1)测定：1798年，英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验，较精确地得到了引力常量数值。(2)意义：使万有引力定律能进行定量运算，显示出其真正的实用价值。(3)知道G的值后，利用万有引力定律可以计算出天体的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”。1．万有引力的四个特性特性内容普遍性万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力相互性两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，遵守牛顿第三定律宏观性地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用特殊性两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关2.公式F＝Geq\f(m1m2,r2)的适用条件(1)严格地说，公式适用于两质点间的相互作用。(2)两个质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用公式来计算，其中，r是两个球体球心间的距离。(3)一个均匀球体与球外一个质点间的相互作用，公式也适用，其中r为球心到质点的距离。(4)两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似适用，其中r为两物体间的距离。[典例](多选)如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R。已知引力常量为G，下列说法正确的是()A．一颗卫星对地球的引力大小为eq\f(GMm,r2)B．地球对一颗卫星的引力大小为eq\f(GMm,r－R2)C．三颗卫星对地球引力的合力大小为eq\f(3GMm,r2)D．两颗卫星之间的引力大小为eq\f(Gm2,3r2)[解析]万有引力定律公式F＝Geq\f(m1m2,r2)中的r指的是两星体中心间的距离，因此A正确，B错误；根据几何知识，两卫星之间的距离为eq\r(3)r，故两卫星间的引力大小为F′＝Geq\f(m2,\r(3)r2)＝eq\f(Gm2,3r2)，D正确；由于三颗卫星对地球的引力大小相等，且等间隔分布在半径为r的圆轨道上，因此三颗卫星对地球引力的合力为0，C错误。[答案]AD[全方位练明]1．(多选)对于万有引力定律的表达式，下列说法中正确的是()A．公式中G为引力常量，与两个物体的质量无关B．当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大C．m1与m2受到的引力大小总是相等的，方向相反，是一对平衡力D．m1与m2受到的引力大小总是相等的，而与m1、m2是否相等无关解析：选AD公式中的G为比例系数，称作引力常量，与两个物体的质量无关，A正确；当两物体表面距离r越来越小，直至趋近于零时，物体不能再看作质点，表达式F＝Geq\f(m1m2,r2)已不再适用于计算它们之间的万有引力，B错误；m1与m2受到彼此的引力为作用力与反作用力，此二力总是大小相等、方向相反，与m1、m2是否相等无关，C错误，D正确。2．两个大小相同的实心匀质小铁球，紧靠在一起时它们之间的万有引力为F；若两个半径为小铁球2倍的实心匀质大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为()A．2F B．4FC．8F D．16F解析：选D设小铁球的半径为R、密度为ρ，则两小铁球间：F＝Geq\f(mm,2R2)＝Geq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ·\f(4,3)πR3))2,4R2)＝eq\f(4,9)Gπ2ρ2R4，同理两大铁球之间：F′＝Geq\f(m′m′,4R2)＝eq\f(4,9)Gπ2ρ2(2R)4＝16F，A、B、C错误，D正确。3．(2023·新课标卷)2023年5月，世界现役运输能力最大的货运飞船天舟六号，携带约5800kg的物资进入距离地面约400km(小于地球同步卫星与地面的距离)的轨道，顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动。对接后，这批物资()A．质量比静止在地面上时小B．所受合力比静止在地面上时小C．所受地球引力比静止在地面上时大D．做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大解析：选D物资在低速(速度远小于光速)宏观条件下质量保持不变，即在空间站中和在地面上质量相同，故A错误；设空间站离地面的高度为h，这批物资在地面上静止时合力为零，在空间站所受合力为万有引力，即F＝eq\f(GMm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋h))2)，在地面受地球引力为F1＝eq\f(GMm,R2)，因此有F1>F，故B、C错误；物资在空间站内绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力eq\f(GMm,r2)＝mω2r，解得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，空间站的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，即这批物资的角速度大于地球自转的角速度，故D正确。逐点清(三)“填补法”计算物体间的万有引力[多维度理解]对于质量分布均匀的不完整的球形物体间的万有引力，无法直接应用万有引力公式求得，解决该类问题常用“填补法”。所谓“填补法”，即对本来是非对称的物体，通过“填补”后构成对称物体，然后再利用对称物体所满足的物理规律进行求解的方法。常见的类型是把非对称物体(挖空部分为球体)补成球体，即先把挖去的部分“填补”上，使其成为半径为R的完整球体，再根据万有引力公式，分别计算出半径为R的球体和“填补”上的球体对物体的万有引力，最后两引力相减即可得到答案。[典例]一个质量为M的匀质实心球，半径为R。如果从球上挖去一个直径为R的球，放在与被挖球相距为d的地方，求下列两种情况中，两球之间的万有引力分别是多大，并指出在什么条件下，以下两种情况计算结果相同。(1)如图甲所示，从球的正中心挖去；(2)如图乙所示，从与球面相切处挖去。[解题指导]当从球M的正中心挖去一个直径为R的球m时，剩余部分M′仍关于球心对称，且质量均匀分布，所以剩余部分M′与挖出的球m之间的距离为d。当从与球面相切处挖去直径为R的球m时，剩余部分M′不再关于球心对称，所以剩余部分M′与球m之间的距离不再是d。[解析]根据匀质实心球的质量与其半径的关系M球＝eq\f(4,3)πr3·ρ∝r3，可知被挖去球的质量和剩余部分的质量分别为m＝eq\f(M,8)，M′＝eq\f(7M,8)。(1)当从球的正中心挖去时，根据万有引力定律，这时两球之间的引力F1＝Geq\f(M′m,d2)＝eq\f(7,64)Geq\f(M2,d2)。(2)当从与球面相切处挖去时，这种情况不能直接用万有引力公式计算，可利用填补法，先将M′转化为理想模型，即用同样的材料将其填补为实心球M，这时M与m之间的引力F＝Geq\f(Mm,d2)＝eq\f(1,8)Geq\f(M2,d2)，因为填补空心球而增加的引力ΔF＝Geq\f(mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(d－\f(R,2)))2)＝eq\f(1,64)Geq\f(M2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(d－\f(R,2)))2)，所以，这时M′与m之间的引力F2＝F－ΔF＝eq\f(1,8)GM2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,d2)－\f(1,8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(d－\f(R,2)))2)))。当d≫R时，F2≈eq\f(1,8)GM2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,d2)－\f(1,8d2)))＝eq\f(7,64)Geq\f(M2,d2)＝F1，即两种情况计算结果相同。[答案]见解析[全方位练明]如图所示，有一个质量为M，半径为R，密度均匀的大球体。从中挖去一个半径为eq\f(R,2)的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)()A．Geq\f(Mm,R2) B．0C．4Geq\f(Mm,R2) D．Geq\f(Mm,2R2)解析：选D若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对m的吸引力等于完整大球体对m的吸引力与挖去小球体对m的吸引力之差，挖去的小球体球心与m重合，对m的万有引力为零，则剩余部分对m的万有引力等于完整大球体对m的万有引力；以大球体球心为中心分离出半径为eq\f(R,2)的球，易知其质量为eq\f(1,8)M，则剩余均匀球壳对m的万有引力为零，故大球体的剩余部分对m的万有引力等于分离出的球对其的万有引力，根据万有引力定律得F＝Geq\f(\f(1,8)mM,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))2)＝Geq\f(Mm,2R2)，D正确。eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])A级——学考达标1．(2023·广东江门高一检测)关于万有引力常量G，下列说法中正确的是()A．人们为了计算引力大小，规定了G值B．在不同的星球上，G的数值不一样C．G值由卡文迪许通过扭秤实验测定D．G值由牛顿通过理论计算得到解析：选CG的数值是卡文迪许通过扭秤实验测定的，在不同星球上，G的数值一样。故选C。2．我国嫦娥五号探测器成功携月壤返回地球。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是()解析：选D由万有引力公式F＝Geq\f(Mm,R＋h2)可知，探测器与地球表面距离h越大，F越小，排除B、C；而F与h不是一次函数关系，排除A，故选D。3．(2022·河南驻马店高一期末)(多选)在央视元宵晚会上，航天员王亚平在中国天宫空间站用古筝演奏了一曲《茉莉花》，将美好的祝福以音乐的方式从万米高空传送给千家万户。下列说法正确的是()A．开普勒在牛顿运动定律的基础上，总结出了行星运动的规律B．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积C．牛顿刚发现万有引力定律时，并不能算出两个天体之间万有引力的大小D．物体受地球的引力、月球受地球的引力，与太阳、行星间的引力，遵从相同的规律解析：选CD开普勒用20年的时间研究了丹麦天文学家第谷的行星观测记录，总结出了开普勒行星运动定律，故A错误；对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，对于不同行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积不一定相等，故B错误；牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但却无法算出两个天体之间万有引力的大小，因为他没有测出引力常量G的值，故C正确；牛顿通过月—地检验，表明地面物体和月球受地球的引力，与太阳行星间的引力遵从相同的规律，故D正确。4．(2022·全国乙卷)2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400km的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们()A．所受地球引力的大小近似为零B．所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零C．所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等D．在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小解析：选C航天员在空间站中所受地球引力完全提供其做圆周运动的向心力，故C正确，A、B错误；根据万有引力公式F万＝Geq\f(Mm,r2)，可知在地球表面上所受引力的大小大于在飞船中所受的万有引力大小，因此在地球表面上所受引力大于其随飞船运动所需向心力的大小，故D错误。5.如图所示，一个质量分布均匀的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F。如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r＝eq\f(R,2)，则球体剩余部分对质点P的万有引力变为()A.eq\f(F,2) B.eq\f(F,8)C.eq\f(7F,8) D.eq\f(F,4)解析：选C原来物体间的万有引力为F，挖去的半径为eq\f(R,2)的球体的质量为原来球体质量的eq\f(1,8)，其他条件不变，所以挖去的球体对质点P的万有引力为eq\f(F,8)，故剩余部分对质点P的万有引力为F－eq\f(F,8)＝eq\f(7F,8)。C正确。6.(2023·厦门高一检测)如图所示，1、2分别是A、B两颗卫星绕地球运行的轨道，1为圆轨道，2为椭圆轨道，椭圆轨道的长轴(近地点和远地点间的距离)是圆轨道半径的4倍。P点为椭圆轨道的近地点；M点为椭圆轨道的远地点，TA是卫星A的周期。则下列说法正确的是()A．B卫星在由近地点向远地点运动过程中受到地球引力将先增大后减小B．地心与卫星B的连线在eq\r(2)TA时间内扫过的面积为椭圆面积C．卫星B的周期是卫星A的周期的8倍D．1轨道圆心与2轨道的椭圆焦点重合解析：选D根据万有引力定律F＝Geq\f(Mm,r2)可知，B卫星在由近地点向远地点运动过程中受到地球引力逐渐减小，A错误；根据开普勒第三定律得eq\f(R3,TA2)＝eq\f(2R3,TB2)，解得TB＝2eq\r(2)TA，所以地心与卫星B的连线在eq\r(2)TA时间内扫过的面积小于椭圆面积，B、C错误；1轨道圆心在地心，2轨道的椭圆的一个焦点也是地心，所以二者重合，D正确。7．根据开普勒第一定律，行星围绕恒星运动的轨迹是椭圆。如果某一行星的椭圆轨迹距离中央天体中心最近为4×106km，最远为3×107km，那么与之周期相同的另一行星绕该中央天体做圆周运动时的运动半径为()A．3.4×107km B．1.7×107kmC．3.4×106km D．1.7×106km解析：选B根据开普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k可知，题目所述的沿椭圆轨道运行的行星的轨道半长轴与沿圆轨道运行的行星的轨道半径相等，即r＝a＝eq\f(4×106＋3×107,2)km＝1.7×107km，故选B。8．2022年3月5日，我国在西昌卫星发射中心成功将银河航天的通信卫星发射升空。卫星进入高度为400kmeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(约为地球半径的\f(1,16)))的预定轨道，发射任务获得圆满成功。则卫星在地面上与轨道上受地球引力之比约为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,16)))2 B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,15)))2C.eq\f(17,16) D.eq\f(16,15)解析：选A由万有引力定律有F＝Geq\f(Mm,r2)可知，卫星在地面上受地球万有引力F1＝Geq\f(Mm,R2)，在轨道上受地球万有引力F2＝Geq\f(Mm,R＋h2)，又h＝eq\f(R,16)，所以eq\f(F1,F2)＝eq\f(R＋h2,R2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,16)))2，故选A。9.(多选)如图所示，某行星沿椭圆轨道运行，A为远日点，离太阳的距离为a，B为近日点，离太阳的距离为b，行星过远日点时的速率为va，过近日点时的速率为vb。已知图中的两个阴影部分的面积相等，则()A．vb＝eq\r(\f(a,b))vaB．vb＝eq\f(a,b)vaC．行星从A到A′的时间小于从B到B′的时间D．太阳一定在该椭圆的一个焦点上解析：选BD取极短时间Δt，根据开普勒第二定律得eq\f(1,2)a·va·Δt＝eq\f(1,2)b·vb·Δt，得到vb＝eq\f(a,b)va，故A错误，B正确；题图中的两个阴影部分的面积相等，则它们的运动时间相等，故C错误；由开普勒第一定律可知太阳一定在该椭圆的一个焦点上，故D正确。B级——选考进阶10.(多选)宇宙中存在着由四颗星组成的孤立星系。如图所示，一颗母星处在正三角形的中心，三角形的顶点各有一颗质量相等的小星围绕母星做圆周运动。如果任意两颗小星间的万有引力为F，母星与任意一颗小星间的万有引力为9F。则()A．每颗小星受到的万有引力为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＋9))FB．每颗小星受到的万有引力为(eq\r(3)＋9)FC．母星的质量是小星质量的3倍D．母星的质量是小星质量的3eq\r(3)倍解析：选BC假设每颗小星的质量为m，母星的质量为M，正三角形的边长为a，则小星绕母星运动的轨道半径为r＝eq\f(\r(3),3)a。根据万有引力定律可知F＝Geq\f(mm,a2)，9F＝Geq\f(Mm,r2)，联立解得M＝3m，故C正确，D错误；任意一颗小星受到的万有引力F总＝9F＋2F·cos30°＝(eq\r(3)＋9)F，故A错误，B正确。11.某行星绕太阳沿椭圆轨道运行，如图所示，在这颗行星的轨道上有a、b、c、d四个对称点，其中a点为近日点，c点为远日点，若行星运动周期为T，则该行星()A．从a点到b点的运动时间等于从c点到d点的运动时间B．从d点经a点到b点的运动时间等于从b点经c点到d点的运动时间C．从a点到b点的时间tab＜eq\f(T,4)D．从c点到d点的时间tcd＜eq\f(T,4)解析：选C根据开普勒第二定律知：在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。据此行星运行在近日点时，与太阳连线距离短，故运行速度大，在远日点时，太阳与行星连线长，故运行速度小。即在行星运动中，远日点的速度最小，近日点的速度最大。图中a点为近日点，所以速度最大，c点为远日点，所以速度最小，则从d点经a点到b点的运动时间小于从b点经c点到d点的运动时间，从a点到b点的运动时间小于从c点到d点的运动时间，且从a点到b点的时间tab＜eq\f(T,4)，c点到d点的时间tcd＞eq\f(T,4)。故A、B、D错误，C正确。12.(2023·厦门高一检测)如图所示，空间有一半径为R质量分布均匀的球体，球的右侧有一质量为m的可视为质点的物体，物体距离球体球心O之间的距离为2R，O与物体的连线在同一水平线上，球对物体的引力大小为F1。现从球中挖走两个半径为eq\f(R,2)的小球，小球的球心O1、O2与O点的连线在同一竖直线上，剩余部分对物体的引力大小为F2。则F1∶F2为()A．34eq\r(17)∶16 B．34eq\r(17)∶(34eq\r(17)－16)C．17eq\r(17)∶16 D．17eq\r(17)∶(17eq\r(17)－16)解析：选D假设大球的质量为M，则该球对物体的引力大小为F1＝eq\f(GMm,2R2)＝eq\f(GMm,4R2)，挖走的一个小球质量为M′＝eq\f(\f(4,3)π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))3,\f(4,3)πR3)M＝eq\f(M,8)，挖走的两小球与物体之间的距离均为r＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))2＋2R2)＝eq\r(\f(17,4))R，挖走的一个小球与物体之间的引力大小为F＝eq\f(GM′m,r2)，整理得F＝eq\f(GMm,34R2)，设O1与物体的连线与水平方向的夹角为θ，则挖走的两个小球与物体之间的引力为F0＝2Fcosθ＝2×eq\f(GMm,34R2)×eq\f(2R,\r(\f(17,4))R)＝eq\f(4GMm,17\r(17)R2)，解得F1∶F0＝17eq\r(17)∶16，剩余部分对物体的引力大小F2＝F1－F0，得F1∶F2＝17eq\r(17)∶(17eq\r(17)－16)，故选D。13.近几年，全球兴起探索火星的热潮。发射火星探测器可按以下步骤进行，第一步，在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之沿地球公转轨道运动。第二步是在适当时刻启用探测器上的火箭发动机，在短时间内对探测器沿原方向加速，使其速度值增加到适当值，从而使探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道飞行，运行半个周期后正好飞行到火星表面附近，此时，启动探测器上的发动机，使之成为绕火星运转的卫星，然后采取措施使之降落在火星上。如图所示，设地球的轨道半径为R，火星的轨道半径为1.5R，探测器从地球运行轨道到火星运行轨道大约需要多长时间？解析：由题可知，探测器在飞向火星的椭圆轨道上运行时，其轨道半长轴为eq\f(1.5R＋R,2)＝1.25R由开普勒第三定律可得eq\f(R3,T地2)＝eq\f(1.25R3,T′2)解得T′≈1.4T地所以探测器从地球运行轨道到火星运行轨道所需时间t＝eq\f(T′,2)≈0.7年。答案：0.7年2、3节万有引力定律的应用人类对太空的不懈探索(赋能课—精细培优科学思维)课标要求层级达标1.认识科学定律对人类探索未知世界的作用。2.形成初步的第一、二、三宇宙速度的概念，能对简单的宇宙航行现象进行分析和推理。3.能在熟悉的问题情境中应用天体运动模型。学考层级1.了解用万有引力定律计算天体质量的基本思路。2.会计算人造地球卫星的环绕速度。3.知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。选考层级1.能对万有引力定律的综合性问题进行分析和推理，获得结论并做出解释。2.会计算人造地球卫星的环绕速度，用牛顿运动定律和万有引力定律解决宇宙航行问题。一、天体质量的计算1．地球质量的计算：如果不考虑地球的自转，可以认为在地面附近重力等于万有引力，即mg＝Geq\f(Mm,R2)，可以求得地球的质量：M＝eq\f(gR2,G)。2．一般天体质量的计算：分析围绕该天体运动的行星(或卫星)，测出行星(或卫星)的运行周期和轨道半径，由万有引力提供向心力即可求中心天体的质量。由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得M＝eq\f(4π2r3,GT2)。二、人造卫星上天1．卫星原理：一般情况下可认为人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，向心力由地球对它的万有引力提供，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，则卫星在轨道上运行的线速度v＝eq\r(\f(GM,r))。2．宇宙速度(1)第一宇宙速度使卫星能环绕地球运行所需的最小发射速度，其大小为v1＝7.9_km/s，又称环绕速度。(2)第二宇宙速度使人造卫星脱离地球的引力束缚，不再绕地球运行，从地球表面发射所需的最小速度，其大小为v2＝11.2_km/s，又称脱离速度。(3)第三宇宙速度使物体脱离太阳引力的束缚而飞出太阳系，从地球表面发射所需的最小速度，其大小为v3＝16.7_km/s，也称逃逸速度。1．宇宙速度指的是发射速度，环绕速度一定不大于其发射速度。2．第一宇宙速度的其他三种叫法：最小发射速度、最大环绕速度、近地环绕速度。三、预测未知天体1．海王星的发现英国剑桥大学的学生亚当斯和法国天文爱好者勒维耶，根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外未知行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预测的区域发现了这颗神秘的行星——海王星。2．预言哈雷彗星回归英国物理学家哈雷，依据万有引力定律计算彗星轨道，准确预言了彗星的回归时间。3．意义海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。四、人类对太空的不懈探索1．古希腊人的探索与文艺复兴时期的学说。2．牛顿的大综合：牛顿在前人研究的基础上，逐步建立了万有引力定律，将地上的力学与天上的力学统一起来，是物理学的第一次大综合，形成了以牛顿三大运动定律为基础的力学体系。3．对太空的探索成果：1957年10月，苏联成功发射了第一颗人造地球卫星。1969年7月，美国“阿波罗十一号”登上月球。2003年10月，“神舟五号”载人飞船成功发射，中国成为世界上第三个独立掌握载人航天技术的国家。2012年6月，我国“神舟九号”飞船首次完成与“天宫一号”的手控交会对接任务。[微情境·大道理]1．如图是我们测量物体质量的常用工具，地球这么大，我们如何“称量”地球的质量呢？卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”。他“称量”的依据是什么？提示：若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力，因为地球表面的重力加速度g已知，地球的半径R已知，由mg＝Geq\f(m地m,R2)，得m地＝eq\f(gR2,G)。2．牛顿设想，如图所示，把物体从高山上水平抛出，当速度足够大时物体不再落回地面，成为人造地球卫星。请对以下结论作出判断。(1)若物体的初速度v＝7.9km/s时，物体将绕地球做匀速圆周运动。(√)(2)若物体的初速度v＞11.2km/s，物体将绕地球做椭圆轨道运动。(×)(3)若物体的初速度v＞16.7km/s，物体将挣脱太阳的束缚。(√)(4)若物体的初速度满足7.9km/s＜v＜11.2km/s，物体将绕地球做椭圆轨道运动。(√)(5)发射同步卫星的最小发射速度为7.9km/s。(×)3．发射人造卫星(或宇宙飞船)应选择靠近赤道处来建较高的发射塔，而且发射的方向都是向东发射。这是什么原因呢？提示：因为这样可节省火箭燃料，且物体都有惯性，在生活中我们要尽量利用惯性的有利面，发射卫星所需的推力，不但与卫星的重量和发射倾角有关，而且与发射的方向和发射地点的纬度有关，地球自西向东自转，随地球纬度变化，各处自转的线速度也不同。在赤道处，地球自转的线速度最大，自转的线速度大小随纬度的增大而减小，在南北两极速度为零。如果我们顺着地球自转方向，在赤道附近向东发射倾角为零的卫星，这时就可以充分利用发射的卫星随地球自转的惯性，宛如“顺水推舟”，节省能量。

强化点(一)重力与万有引力的关系任务驱动假如某个人做环球旅行，可能到达地球的任何地点，如果将地球看成标准的球体，那么该人分别位于赤道上某点、北半球的某点、南半球的某点、北极点、南极点等不同地点。(1)该人在各地点所受的万有引力有什么关系？(2)该人在各地点所受的重力有什么关系？提示：(1)该人在各地点所受的万有引力大小相等，方向沿对应的地球半径指向地心。(2)由于地球自转的影响，该人在各地点所受的重力大小不一定相等，方向也不一定指向地心。[要点释解明]1．“天上的物体”“天上的物体”就是指在空中绕地球转动的物体，物体在空中时受到地球的万有引力等于物体的重力，即mg＝Geq\f(Mm,r2)，随着离地面的高度增加，万有引力减小，物体的重力随之减小(重力加速度减小)。2．“地上的物体”(1)“地上的物体”就是指在地面上随地球一起自转的物体，地面上的物体受到地球的万有引力F可以分解为物体受到的重力G和使物体随地球做圆周运动(自转)所需的向心力F向(方向指向地轴)，如图所示。(2)特殊位置①南、北极点：mg＝Geq\f(Mm,R2)(F向＝0)，物体的重力有最大值，方向指向地心。②赤道处：eq\f(GMm,R2)－mg＝mRω2，物体的重力有最小值，且mg＝Geq\f(Mm,R2)－mRω2，方向指向地心。[题点全练清]1．将物体由赤道向两极移动，则()A．它的重力减小B．它随地球转动的向心力增大C．它随地球转动的向心力减小D．向心力方向、重力的方向都指向地心解析：选C地球表面上所有物体所受地球的万有引力，按其作用效果分为重力和向心力，向心力使物体得以随地球一起绕地轴自转，所以说重力是地球对物体的万有引力的一个分力。万有引力、重力和向心力三个力遵循力的平行四边形定则，只有万有引力的方向指向地心，D错误；物体由赤道向两极移动时，万有引力大小不变，向心力减小，重力增大，当到达两极时，重力等于万有引力，A、B错误，C正确。2．地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为eq\f(g,4)，则该处距地球表面的高度为()A．(eq\r(2)－1)R B．RC.eq\r(2)R D．2R解析：选B根据Geq\f(Mm,r2)＝mg′，可得g′＝eq\f(GM,r2)，则有g＝eq\f(GM,R2)，eq\f(g,4)＝eq\f(GM,r2)，联立解得r＝2R，则该处距地球表面的高度h＝r－R＝R，故B正确。3．(2023·厦门高一检测)设地球自转周期为T，质量为M，引力常量为G，假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R。同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为()A.eq\f(GMT2,GMT2－4π2R3) B.eq\f(GMT2,GMT2＋4π2R3)C.eq\f(GMT2－4π2R3,GMT2) D.eq\f(GMT2＋4π2R3,GMT2)解析：选A设物体质量为m，在赤道上：Geq\f(Mm,R2)－FN＝meq\f(4π2,T2)R，可得FN＝Geq\f(Mm,R2)－meq\f(4π2,T2)R；在南极：Geq\f(Mm,R2)＝FN′；联立可得：eq\f(FN′,FN)＝eq\f(GMT2,GMT2－4π2R3)，故选项A正确。

强化点(二)天体质量与密度的计算任务驱动若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，由此可以求出地球的质量吗？是否也能求出月球的质量呢？提示：能求出地球的质量。利用Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r，求出的质量M＝eq\f(4π2r3,GT2)为中心天体的质量。做圆周运动的月球的质量m在等式中已约掉，所以根据月球的周期T、公转半径r，无法计算月球的质量。[要点释解明]方法重力加速度法环绕法情境已知天体的半径R和天体表面的重力加速度g行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动思路物体在天体表面的重力近似等于天体与物体间的万有引力mg＝Geq\f(Mm,R2)行星或卫星受到的万有引力充当向心力Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r(以T为例)天体质量天体质量M＝eq\f(gR2,G)中心天体质量M＝eq\f(4π2r3,GT2)天体密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πRG)ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)说明g为天体表面重力加速度，未知星球表面重力加速度通常利用实验测出，例如让小球做自由落体、平抛、上抛等运动T为公转周期，r为轨道半径，R为中心天体半径。这种方法只能求中心天体质量，不能求环绕星体质量[典例]半径为R的某天体的一颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该高度做圆周运动的周期为T，已知引力常量为G，求该天体的质量和密度。[解析]设卫星的质量为m，天体的质量为M，卫星距天体表面的高度为h时，由万有引力提供向心力有Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)则该天体的质量M＝eq\f(4π2R＋h3,GT2)则该天体的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(4π2R＋h3,GT2·\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πR＋h3,GT2R3)。[答案]eq\f(4π2R＋h3,GT2)eq\f(3πR＋h3,GT2R3)[拓展]结合[典例]中的情境，假设在该天体上发射一颗贴近该天体的表面做匀速圆周运动的卫星，它的周期为T0。求该天体的质量和密度。解析：设卫星的质量为m，天体的质量为M。卫星贴近天体表面运动时有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T02)R，则该天体的质量M＝eq\f(4π2R3,GT02)根据数学知识可知天体的体积为V＝eq\f(4,3)πR3故该天体的密度为ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3π,GT02)。答案：eq\f(4π2R3,GT02)eq\f(3π,GT02)/易错警示/计算天体质量和密度时应注意以下两点区别(1)天体的半径R和卫星环绕轨道半径r只有在中心天体表面附近的卫星才有r≈R，而计算中心天体体积时V＝eq\f(4,3)πR3中的“R”只能是中心天体的半径R。(2)自转周期和公转周期自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间。公转周期是指天体绕中心天体做圆周运动，运动一周所用的时间。自转周期与公转周期一般不相等。[题点全练清]1．(2023·辽宁沈阳质检)金星是太阳系的八大行星中从太阳向外的第二颗行星，在中国古代称为太白、启明或长庚。如果金星的公转周期为T，自转周期为T′，半径为R，金星到太阳的距离为r，引力常量为G，则()A．金星质量为eq\f(4π2R3,GT′2) B．金星质量为eq\f(4π2r3,GT′2)C．太阳质量为eq\f(4π2r3,GT2) D．太阳质量为eq\f(4π2R3,GT2)解析：选C设金星质量为m，太阳质量为M，根据万有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)，解得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，故C正确，D错误；行星绕恒星运行的公转周期、轨道半径可以计算中心天体的质量，而不能计算行星质量，根据题中条件无法求出金星的质量，故A、B错误。2.已知M、N两星球的半径之比为2∶1，在星球表面竖直上抛物体时，其上升的最大高度h与初速度的二次方v2的关系如图所示(不计空气阻力)，则M、N两星球的密度之比为()A．1∶1B．1∶4C．1∶8D．1∶16解析：选B由竖直上抛运动规律和题图可知v02＝2gM·2h0，v02＝2gN·h0，所以gM∶gN＝1∶2，根据mg＝eq\f(GMm,R2)，ρ＝eq\f(M,V)，V＝eq\f(4,3)πR3，可得ρ＝eq\f(3g,4πGR)，则ρM∶ρN＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(gM,RM)))∶eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(gN,RN)))＝eq\f(gM,gN)·eq\f(RN,RM)＝eq\f(1,4)，故选B。强化点(三)发射速度与宇宙速度[要点释解明]1．人造卫星的两个速度(1)发射速度：指将人造卫星送入预定轨道运行所必须具有的速度。卫星离地面越高，卫星的发射速度越大。(2)绕行速度：卫星进入轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度，由v＝eq\r(\f(GM,r))可知，轨道半径越大，卫星的绕行速度就越小。2．第一宇宙速度的推导方法一：方法二：3．三大宇宙速度项目数值意义第一宇宙速度7.9km/s发射的人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的最小发射速度第二宇宙速度11.2km/s发射的卫星挣脱地球引力束缚，离开地球的最小发射速度第三宇宙速度16.7km/s发射的卫星挣脱太阳引力束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去的最小发射速度[典例]若取地球的第一宇宙速度为8km/s，某行星质量是地球的6倍，半径是地球的1.5倍，此行星的第一宇宙速度约为()A．16km/s B．32km/sC．4km/s D．2km/s[解析]第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，对于近地卫星，其轨道半径近似等于星球半径，所受万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律得Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\r(\f(GM,R))，因为行星的质量M′是地球质量M的6倍，半径R′是地球半径R的1.5倍，故eq\f(v′,v)＝eq\f(\r(\f(GM′,R′)),\r(\f(GM,R)))＝eq\r(\f(M′R,MR′))＝2，即v′＝2v＝2×8km/s＝16km/s，A正确。[答案]A/易错警示/发射速度、绕行速度与第一宇宙速度的区别(1)某一星球的第一宇宙速度是一定的。(2)卫星的发射速度越大，轨道越高，其绕行速度越小。(3)第一宇宙速度是卫星最小的发射速度，也是最大的绕行速度。[题点全练清]1．(2023·济南学考检测)下列关于三个宇宙速度的说法中正确的是()A．第一宇宙速度v1＝7.9km/s，第二宇宙速度v2＝11.2km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1，小于v2B．“天问一号”火星探测器发射速度大于第三宇宙速度C．第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度D．第一宇宙速度7.9km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最小运行速度解析：选C根据v＝eq\r(\f(GM,r))可知，卫星的轨道半径r越大，即距离地面越远，卫星的环绕速度越小，v1＝7.9km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，D错误；实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，故卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度都小于第一宇宙速度，A错误；“天问一号”火星探测器仍在太阳系内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，B错误；第二宇宙速度是在地面附近使物体挣脱地球引力束缚而成为太阳的一颗人造行星的最小发射速度，C正确。2．物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度，第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝eq\r(2)v1。已知某星球半径是地球半径R的eq\f(1,2)，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的eq\f(1,4)，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为()A.eq\f(1,2)eq\r(gR) B.eq\f(1,3)eq\r(gR)C.eq\f(1,6)eq\r(gR) D.eq\r(gR)解析：选A根据第一宇宙速度的表达式v＝eq\r(gR)，可得该星球的第一宇宙速度为v1＝eq\r(\f(1,4)g·\f(1,2)R)＝eq\f(1,2)eq\r(\f(gR,2))，则该星球的第二宇宙速度为v2＝eq\r(2)v1＝eq\f(1,2)eq\r(gR)，A正确。强化点(四)卫星的运动规律分析[要点释解明]一、卫星的运行参量的求解问题1．分析思路一般卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，即F向＝F万。2．常用关系(1)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝mreq\f(4π2,T2)＝mωv＝ma，万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力。(2)mg＝Geq\f(Mm,R2)，在天体表面上物体的重力等于它受到的万有引力，可得gR2＝GM，该公式称为黄金代换。3．重要结论项目推导式关系式结论v与r的关系Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)v＝eq\r(\f(GM,r))r越大，v越小ω与r的关系Geq\f(Mm,r2)＝mω2rω＝eq\r(\f(GM,r3))r越大，ω越小T与r的关系Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2rT＝2πeq\r(\f(r3,GM))r越大，T越大a与r的关系Geq\f(Mm,r2)＝maa＝eq\f(GM,r2)r越大，a越小二、卫星相距“最近”或“最远”问题两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb。若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图甲所示。1．当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝π时，两卫星第一次相距最远，如图乙所示。2．当它们转过的角度之差Δθ＝2π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝2π时，两卫星再次相距最近。[典例]a、b两颗卫星均在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，a为近地卫星，b卫星离地面高度为3R，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，试求：(1)a、b两颗卫星周期分别是多少？(2)a、b两颗卫星速度之比是多少？(3)若某时刻两卫星正好同时通过赤道同一点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？[解析](1)卫星做匀速圆周运动，F引＝F向，对地面上质量为m0的物体有Geq\f(Mm0,R2)＝m0g，a卫星在地球表面做匀速圆周运动：eq\f(GMma,R2)＝maeq\f(4π2,Ta2)R，解得Ta＝2πeq\r(\f(R,g))，对b卫星有：eq\f(GMmb,4R2)＝mbeq\f(4π2,Tb2)·4R，解得Tb＝16πeq\r(\f(R,g))。(2)卫星做匀速圆周运动，F引＝F向，对a卫星有eq\f(GMma,R2)＝eq\f(mava2,R)，解得va＝eq\r(\f(GM,R))，对b卫星有Geq\f(Mmb,4R2)＝mbeq\f(v2,4R)，解得vb＝eq\r(\f(GM,4R))＝eq\f(1,2)eq\r(\f(GM,R))，所以eq\f(va,vb)＝2。(3)由题可知，eq\f(2π,Ta)t－eq\f(2π,Tb)t＝π，解得t＝eq\f(8π,7)eq\r(\f(R,g))。[答案](1)2πeq\r(\f(R,g))16πeq\r(\f(R,g))(2)2(3)eq\f(8π,7)eq\r(\f(R,g))[题点全练清]1．(2023·广东1月学考)中国空间站运行轨道近似为圆形。为补充物资，货运飞船需定期与空间站交会对接，对接后形成的组合体仍在原轨道运行。与对接前的空间站相比，组合体运行()A．周期变大 B．线速度变大C．向心加速度变大 D．所需的向心力变大解析：选D与对接前的空间站相比，组合体运行的轨道半径不变，根据F向＝Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r＝mω2r＝ma，可得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，v＝eq\r(\f(GM,r))，a＝eq\f(GM,r2)，可知组合体运行的周期、线速度和向心加速度都不变，因组合体的质量变大，则所需的向心力变大。故选D。2．(多选)赤道平面内的某颗卫星自西向东绕地球做圆周运动，该卫星离地面的高度小于地球同步卫星的高度，赤道上一观测者发现，该卫星连续两次出现在观测者正上方的最小时间间隔为t，已知地球自转周期为T0，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，由此可知该卫星绕地球运动的周期T和离地面的高度H为()A．T＝eq\f(tT0,T0＋t) B．H＝eq\r(3,\f(gR2t2T02,4π2t＋T02))－RC．T＝eq\f(tT0,T0－t) D．H＝eq\r(3,\f(gR2t2T02,4π2t－T02))－R解析：选AB设卫星的周期为T，则有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)－\f(2π,T0)))t＝2π，解得T＝eq\f(tT0,T0＋t)，由万有引力提供向心力有Geq\f(m地m,R＋H2)＝m(R＋H)eq\f(4π2,T2)，又在地表处有g＝eq\f(Gm地,R2)，联立解得H＝eq\r(3,\f(gR2t2T02,4π2t＋T02))－R，故选A、B。3．(2022·广东高考)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是()A．火星公转的线速度比地球的大B．火星公转的角速度比地球的大C．火星公转的半径比地球的小D．火星公转的加速度比地球的小解析：选D由题意可知，火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍，说明火星的公转周期为地球公转周期的1.88倍，根据万有引力提供向心力，得：Geq\f(Mm,r2)＝mreq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝ma，解得：T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，v＝eq\r(\f(GM,r))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，a＝eq\f(GM,r2)，由于T火>T地，可知，r火>r地，v火<v地，ω火<ω地，a火<a地，故D正确，A、B、C错误。eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])A级——学考达标1．(2023·济南高一检测)下列与重力相关的叙述正确的是()A．同一物体所处纬度越高，重力越小B．同一物体所处海拔越高，重力越大C．重力G＝mg中的g就是自由落体运动中的加速度gD．重力不一定作用于重心上解析：选C根据万有引力和圆周运动知识可得，重力是万有引力的一个分量，纬度越高时物体因地球自转所需的向心力越小，重力越大，同时物体所处海拔越高受到的万有引力越小，重力也越小，A、B错误；重力G＝mg中的g就是自由落体运动中的加速度g，C正确；重心是物体各部分所受重力的合力点，所以重力一定不是作用于重心上，D错误。2.如图，P是纬度为θ的地球表面上一点，人造地球卫星Q、A均做匀速圆周运动，卫星A为地球赤道同步卫星。若某时刻P、Q、A与地心O在同一平面内，其中O、P、Q在一条直线上，且∠OQA＝90°，下列说法正确的是()A．12小时后O、P、Q、A再一次共面B．P点向心加速度大于卫星Q的向心加速度C．P、Q、A均绕地心做匀速圆周运动D．A的线速度小于Q的线速度解析：选D由公式Geq\f(mM,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得T＝2πeq\r(\f(r3,MG))，Q、A的周期之比为TQ∶TA＝eq\r(OQ3)∶eq\r(OA3)＝eq\r(cos3θ)∶1，故12小时后，Q转过的角度大于O、P、A转过的角度，则不会再一次共面，故A错误；P是纬度为θ的地球表面上一点，绕地轴做圆周运动，向心加速度基本可以忽略，重力约等于万有引力，而人造地球卫星Q绕地心做圆周运动，万有引力提供向心力，则Q的向心加速度大，故B错误；P绕地轴做匀速圆周运动，Q、A绕地心做匀速圆周运动，故C错误；设地球半径为R，由公式Geq\f(mM,R＋h2)＝meq\f(v2,R＋h)，可知v＝eq\r(\f(MG,R＋h))，A距离地心远，则A的线速度小于Q的线速度，故D正确。3．(2023·福建南平调研)(多选)对于我们生活的宇宙，人类对它的认识直到今天都很肤浅。从地心说到日心说，从开普勒定律到牛顿万有引力定律，从恒星演变到黑洞推演，直到我们最近新拍到黑洞照片，关于天体物理，下列说法正确的是()A．万有引力定律是牛顿提出的，但引力常量G由卡文迪许测出B．日心说是由丹麦天文学家第谷提出的C．地球围绕太阳运动椭圆轨道的半长轴R1和周期T1，月球围绕地球运动椭圆轨道的半长轴为R2，周期为T2，则eq\f(R13,T12)＝eq\f(R23,T22)D．若已知某恒星绕一黑洞旋转做圆周运动的周期以及恒星到黑洞中心距离，则可以估算该黑洞的质量解析：选AD万有引力定律是牛顿提出的，但引力常量G由卡文迪许测出，引力常量的测出赋予了万有引力定律的实际价值，故A正确；日心说是由波兰天文学家哥白尼提出的，故B错误；地球公转轨道的中心天体与月球公转轨道的中心天体不同，则eq\f(R3,T2)不同，故C错误；由eq\f(GMm,r2)＝eq\f(4π2mr,T2)，可得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，可以估算该黑洞的质量，故D正确。4．已知火星的质量约为地球质量的eq\f(1,10)，半径约为地球半径的eq\f(1,2)，假设航天员的质量为70kg，重力加速度g取10m/s2，则航天员在火星表面的质量和重力分别为()A．70kg,280N B．70kg,1750NC．28kg,280N D．28kg,1750N解析：选A根据地球表面的物体万有引力近似等于重力，有Geq\f(Mm,R2)＝mg，解得g＝eq\f(GM,R2)＝10m/s2，同理，火星表面的重力加速度为g′＝eq\f(GM′,R′2)＝eq\f(G×0.1M,0.5R2)＝4m/s2，质量不随重力加速度的变化而变化，所以质量还是70kg，航天员在火星表面的重力为G′＝mg′＝280N，故A正确，B、C、D错误。5．(2023·江苏高考)设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是()A．质量B．向心力大小C．向心加速度大小D．受到地球的万有引力大小解析：选C根据Geq\f(Mm,r2)＝ma，可得a＝eq\f(GM,r2)，因该卫星与月球的轨道半径相同，可知向心加速度大小相同；因该卫星的质量与月球质量不一定相等，则向心力大小以及受到地球的万有引力大小均不一定相等。故选C。6．(2023·广东1月学考)北斗导航系统中的地球同步卫星绕地球近似做匀速圆周运动，其运行的线速度()A．大于第一宇宙速度 B．等于第一宇宙速度C．小于第一宇宙速度 D．等于第二宇宙速度解析：选C根据万有引力提供向心力可知Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，当卫星的轨道半径等于地球半径时，运行速度等于第一宇宙速度，而同步卫星的轨道半径大于地球半径，故同步卫星的运行速度小于第一宇宙速度，第二宇宙速度大于第一宇宙速度。故选C。7．(多选)“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，由航天员在轨演示太空“冰雪”实验、水油分离实验、太空抛物实验等实验。空间站轨道高度约为400km，倾角约为42°，总重量约为100t，地球半径约为6400km，已知地球表面重力加速度g取10m/s2，忽略地球自转影响。下列说法正确的是()A．空间站实质上就是一颗同步卫星B．航天员进驻空间站内为完全失重状态C．空间站的环绕地球的速度大于7.9km/sD．空间站向心加速度大小约为8.9m/s2解析：选BD地球同步卫星的轨道平面在赤道平面，倾角为0，且轨道位于赤道上方高度约36000km，所以空间站显然不是同步卫星，故A错误；航天员进驻空间站内随空间站绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，航天员处于完全失重状态，故B正确；第一宇宙速度7.9km/s是物体在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，同时也是物体绕地球运行的最大环绕速度，所以空间站的环绕速度不可能大于第一宇宙速度7.9km/s，故C错误；近地轨道卫星的向心加速度等于重力加速度g，根据牛顿第二定律有Geq\f(Mm,R2)＝mg，设空间站的向心加速度大小为a，同理有Geq\f(Mm′,R＋h2)＝m′a，联立以上两式可得a≈8.9m/s2，故D正确。8．(2023·郑州高一检测)下列关于万有引力定律理论成就的说法，错误的是()A．已知地球的半径、地球表面的重力加速度和引力常量，可以“称量”出地球的质量B．已知地球的公转轨道半径、地球的自转周期和引力常量，可以估算出太阳的质量C．海王星的轨道是利用万有引力定律计算预言的，因此被称为“笔尖下发现的行星”D．牛顿用月球和太阳的万有引力解释了潮汐现象解析：选B根据Geq\f(Mm,R2)＝mg，可得M＝eq\f(gR2,G)，故A正确，不符合题意；根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，需要知道地球的公转周期而不是自转周期，故B错误，符合题意；海王星的轨道是利用万有引力定律计算预言的，因此被称为“笔尖下发现的行星”，故C正确，不符合题意；牛顿用月球和太阳的万有引力解释了潮汐现象，故D正确，不符合题意。9．两颗人造地球卫星都绕地球做匀速圆周运动，已知它们的轨道半径之比r1∶r2＝4∶1，求这两颗卫星的：(1)线速度大小之比；(2)角速度之比；(3)向心加速度大小之比。解析：(1)地球对卫星的万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力，设地球的质量为M，两卫星的质量分别为m1、m2，线速度大小分别为v1、v2，由牛顿第二定律得eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(G\f(Mm1,r12)＝m1\f(v12,r1),G\f(Mm2,r22)＝m2\f(v22,r2)))可得eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(r2,r1))＝eq\r(\f(1,4))＝1∶2。(2)由角速度与线速度的关系ω＝eq\f(v,r)，得两卫星的角速度分别为eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(ω1＝\f(v1,r1),ω2＝\f(v2,r2)))可得eq\f(ω1,ω2)＝eq\f(v1r2,v2r1)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＝1∶8。(3)由向心加速度的公式a＝rω2，得两卫星的向心加速度大小分别为eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a1＝r1ω12,a2＝r2ω22))可得eq\f(a1,a2)＝eq\f(ω12r1,ω22r2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))2×4＝1∶16。答案：(1)1∶2(2)1∶8(3)1∶16B级——选考进阶10．(2023·浙江1月选考)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表：行星名称地球火星木星土星天王星海王星轨道半径R/AU1.01.55.29.51930则相邻两次“冲日”时间间隔约为()A．火星365天 B．火星800天C．天王星365天 D．天王星800天解析：选B由题意对“火星冲日”有：eq\f(t火,T地)－eq\f(t火,T火)＝1，且eq\f(R地3,T地2)＝eq\f(R火3,T火2)，解得t火≈800天，同理对“天王星冲日”可知t天≈369天，故选B。11．(2022·湖北高考)2022年5月，我国成功完成了天舟四号货运飞船与空间站的对接，形成的组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，周期约90分钟。下列说法正确的是()A．组合体中的货物处于超重状态B．组合体的速度大小略大于第一宇宙速度C．组合体的角速度大小比地球同步卫星的大D．组合体的加速度大小比地球同步卫星的小解析：选C组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，只受万有引力的作用，则组合体中的货物处于失重状态，A错误；第一宇宙速度为最大的环绕速度，则组合体的速度大小不可能大于第一宇宙速度，B错误；已知同步卫星的周期为24h，则根据角速度和周期的关系有ω＝eq\f(2π,T)，由于T同>T组合体，则组合体的角速度大小比地球同步卫星的大，C正确；组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，整理有T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，由于T同>T组合体，则r同>r组合体，根据ma＝Geq\f(Mm,r2)，则有a同<a组合体，D错误。12．(2023·福建三明调研)石墨烯是一种具有超轻超高强度的新型材料。有人设想：用石墨烯制作超级缆绳连接地球赤道上的固定基地与同步空间站，利用超级缆绳承载太空电梯从地球基地向空间站运送物资。已知地球半径为R，自转周期为T，地球北极表面重力加速度为g0，引力常量为G。(1)求地球的质量M；(2)太空电梯停在距地3R的站点，求该站点处的重力加速度g的大小。解析：(1)设质量为m0的物体在北极地面静止，则m0g0＝Geq\f(Mm0,R2)，解得M＝eq\f(g0R2,G)。(2)设货物质量为m，在距地面高3R站点受到的万有引力为F，则F＝Geq\f(Mm,4R2)，货物绕地球做匀速圆周运动，设太空电梯对货物的支持力为N，则F－N＝mω2·4RN＝mgω＝eq\f(2π,T)联立解得g＝eq\f(g0,16)－eq\f(16Rπ2,T2)。答案：(1)eq\f(g0R2,G)(2)eq\f(g0,16)－eq\f(16Rπ2,T2)综合·融通应用万有引力定律解决三个热点问题(融会课—主题串知综合应用)通过上一节课的学习我们已经初步掌握天体质量和密度的计算、宇宙速度的理解和计算、不同轨道的卫星运动参量的分析与比较，这节课将进一步学习卫星变轨问题，同步卫星、近地卫星和赤道上物体的运动参量比较，双星和三星模型。主题(一)卫星变轨问题[知能融会通]1．变轨问题概述2．变轨过程(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆轨道Ⅲ。3．变轨过程各物理量分析(1)两个不同轨道的“切点”处线速度v不相等，图中vⅢ＞vⅡB，vⅡA＞vⅠ。(2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度大小不相等，从远地点到近地点线速度逐渐增大。(3)两个不同圆轨道上的线速度v不相等，轨道半径越大，v越小，图中vⅠ＞vⅢ。(4)不同轨道上运行周期T不相等。根据开普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k知，内侧轨道的周期小于外侧轨道的周期。图中TⅠ＜TⅡ＜TⅢ。(5)两个不同轨道的“切点”处加速度a相同，图中aⅢ＝aⅡB，aⅡA＝aⅠ。[典例](2023·海南高考)(多选)如图所示，1、2轨道分别是天宫二号飞船在变轨前、后的轨道，下列说法正确的是()A．飞船从1轨道变到2轨道要点火加速B．飞船在1轨道的周期大于2轨道的C．飞船在1轨道的速度大于2轨道的D．飞船在1轨道的加速度大于2轨道的[解析]飞船从较低的轨道1进入较高的轨道2要进行加速做离心运动，A正确；根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r＝ma，可得a＝eq\f(GM,r2)，v＝eq\r(\f(GM,r))，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，可知飞船在轨道1的周期小于在轨道2的周期，在轨道1的速度大于在轨道2的速度，在轨道1的加速度大于在轨道2的加速度，故B错误，C、D正确。[答案]ACD[题点全练清]1．(2022·浙江1月选考)“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号()A．发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间B．从P点转移到Q点的时间小于6个月C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度解析：选C因“天问一号”要挣脱地球引力束缚，变轨到绕太阳转动，则发射速度要大于第二宇宙速度小于第三宇宙速度，即发射速度介于11.2km/s与16.7km/s之间，A错误；由P点转移到Q点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期(12个月)，则从P点转移到Q点的时间为转移轨道周期的一半，应大于6个月，B错误；因“天问一号”在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知在停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，C正确；从P点变轨时，要增大速度，此后做离心运动，速度减小，在地火转移轨道Q点运动的速度小于地球绕太阳的速度，D错误。2．2023年5月30日16时29分，神舟十六号载人飞船成功对接于空间站天和核心舱径向端口，整个对接过程历时约6.5小时。对接过程的示意图如图所示，天和核心舱处于半径为r2的圆轨道Ⅲ；神舟十六号飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ，运行周期为T1，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与天和核心舱对接。则神舟十六号飞船()A．在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ运动经过A点时速度大小相同B．沿轨道Ⅱ从A运动到对接点B过程中，速度不断增大C．沿轨道Ⅱ运行的周期为T2＝T1eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r1＋r2,2r1)))3)D．沿轨道Ⅰ运行的周期大于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期解析：选C飞船从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ需要加速，所以经过A点时速度大小不相同，故A错误；飞船沿轨道Ⅱ从A运动到对接点B过程中，万有引力做负功，速度不断减小，故B错误；根据开普勒第三定律，有eq\f(r13,T12)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1