专题05导数的几何意义与导数的应用(解析版)

专题05导数的几何意义与导数的应用目录一常规题型方法1题型一导数的几何意义1题型二利用导数研究函数的单调性7题型三利用导数研究函数的极值11题型四利用导数研究函数的最值16题型五含参的单调性讨论19二针对性巩固练习30练习一导数的几何意义30练习二利用导数研究函数的单调性33练习三利用导数研究函数的极值34练习四利用导数研究函数的最值36练习五含参的单调性讨论38常规题型方法题型一导数的几何意义【典例分析】典例1-1．（2020·河南·高三阶段练习（文））已知函数，则曲线在处的切线方程为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】对函数求导，代入则得到斜率，再得到点斜式方程即可求解【详解】由可得，所以，，故曲线在处的切线方程为即，故选：A典例1-2．（2022·河南南阳·高三期中（理））若函数在点处的切线方程为，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出函数的导函数，即可求出、，从而求出切线方程，即可得到方程，解得即可.【详解】解：因为，所以，又，所以，所以切线方程为，即，所以，解得；故选：B典例1-3．（2022·云南·昆明市第三高三阶段练习）过点有条直线与函数的图象相切，则的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】设切点为，写出切线方程，分析可知关于的方程有三个不等的实根，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】设切点为，因为，则，所以，曲线在点处的切线方程为，将点的坐标代入切线方程可得，则，构造函数，其中，则，列表如下：减极小值增极大值减所以，函数的极小值为，极大值为，且当时，，由题意可知，直线与函数的图象有三个交点，如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，因此，.故选：B.典例1-4．（2022·安徽·砀山高三阶段练习）若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由导数的几何意义将公共切线的斜率分别由两函数上的切点横坐标表示，并据此建立关系，将a由切点坐标表示，进而将a转化为关于的函数，通过求导求其最大值.【详解】由题意得，，．设公切线与的图象切于点，与的图象切于点，∴，∴，∴，∴，∴．设，则，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，∴实数a的最大值为，故选：A．典例1-5．（2021·重庆合川·高二阶段练习）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线距离的最小值为（）A．1 B． C． D．3【答案】B【分析】利用导数几何意义求出曲线上与平行的切线方程，两线距离即为曲线上点与直线的最小距离，利用平行线距离公式求值即可.【详解】由题设且，令，可得（舍）或，所以，则曲线上切线斜率为1的切点为，故对应切线为，其与的距离，即为P到直线距离的最小值，所以最小值为.故选：B【方法技巧总结】1.类型：“在”一点处的切线方程、“过”一点处的切线方程。2.技巧：求切线方程先观察题干中是否有切点，如果没有切点需自己设切点；处理完切点后需遵循求切线的三步骤，第一步：求导，第二步：切点横坐标带入导数中去求出切线斜率，第三步：利用点斜式求出切线方程。如果未知切点，可利用求出的切线方程结合题干条件列方程求出切点坐标。【变式训练】1．（2021·江西南昌·高三阶段练习）已知，则曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求导，先计算出，进而计算出，再根据导数的几何意义求解即可.【详解】解：，所以，所以，所以，所以，曲线在点处的切线方程为：，即.故选：A2．（2022·重庆市璧山来凤中高三阶段练习）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据两直线垂直斜率的关系，可求出切线斜率，然后求导，根据导数的几何意义用含的式子表示出斜率，列方程求解即可.【详解】由题意得，切线和垂直，切线斜率显然存在，设为，根据直线垂直的斜率关系可得，，那么切线斜率，由导数的几何意义：，而，，解得.故选：D3．（2022·河南河南·模拟预测（理））已知是奇函数，则过点向曲线可作的切线条数是（

）A．1 B．2 C．3 D．不确定【答案】C【分析】根据给定条件，求出a，再求出函数的导数，设出切点坐标，借助导数的几何意义列出方程求解作答.【详解】因函数是奇函数，则由得恒成立，则，即有，，设过点向曲线所作切线与曲线相切的切点为，而点不在曲线上，则，整理得，即，解得或，即符合条件的切点有3个，所以过点向曲线可作的切线条数是3.故选：C4．（2022·辽宁葫芦岛·高三阶段练习）若直线是曲线与曲线的公切线，则（

）A．11 B．12 C． D．【答案】A【分析】由直线是曲线的切线求解，可得切线方程，再设直线与曲线的切点，由切点处的导数值等于切线的斜率，且切点处的函数值相等列式求解n，则答案可求．【详解】解：由，得，由，解得，则直线与曲线相切于点，∴，得，∴直线是曲线的切线，由，得，设切点为，则，且，联立可得，解得，所以．∴．故选：A．5．（2022·河南·邓州春雨国文高三阶段练习（理））曲线上的点到直线的最短距离是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】求出曲线与直线平行的切线的切点，则到直线的距离即为所求．【详解】解：由题知：，再令得，故与直线平行的切线的切点为，所以所求的距离为：．故选：D．题型二利用导数研究函数的单调性【典例分析】典例2-1．（2022·福建·莆田高二期中）若函数，则的一个单调增区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】对函数进行求导，令即可求解【详解】由可得，令，解得，所以的单调递增区间是，故选：B典例2-2．（2022·海南·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将问题转化为在上恒成立，由此可得，根据二次函数最值的求法可求得结果.【详解】在上单调递减，在上恒成立，即在上恒成立，又，，实数的取值范围为.故选：C.典例2-3．（2022·江西·上高高二阶段练习（文））若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先计算出,由存在单调递减区间知在上有解即可得出结果.【详解】函数的定义域为，且其导数为．由存在单调递减区间知在上有解，即有解．因为函数的定义域为，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是．故选:B．典例2-4．（2022·安徽·高三阶段练习）已知，，，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，即可得出、、的大小关系.【详解】依题意，，构造函数，定义域为，求导得，所以，函数在上单调递增，因为，，又，则，则，即，即，因为，，，故.故选：A.【方法技巧总结】1.思路：求函数的单调区间的基本思路：先求导，再令导数大于零或小于零，求出单调增减区间，也可以先求极值点，根据极值点去求单调区间；根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题的基本思路：先将问题转化为恒成立的问题，进而采用参变分离的方法将问题转化为函数最值的求解问题。2.技巧：比较大小的题型中，较为难的大小比较中，可以尝试根据数的特征来构造函数，然后利用求导研究函数的单调性进而比较大小。【变式训练】1．（2023·全国·高三专题练习）函数，则的单调增区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出给定函数的导数，解导数大于0的不等式作答.【详解】函数的定义域为，求导得：，由，解得，所以的单调增区间是.故选：B2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数的单调性知导数小于等于0恒成立，分离参数后由正切函数单调性求解.【详解】由题意，在上恒成立，即在上恒成立，因为在上单调递增，所以，所以在时，，所以.故选：B3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的单调递减区间为，则（

）.A． B．C． D．【答案】B【分析】根据得到，再根据的单调递减区间是，得到和1是方程的两个根，代入解方程即可.【详解】由得，又的单调递减区间是，所以和1是方程的两个根，代入得.经检验满足题意故选：B.4．（河南省普高联考2022-2023学年高三上学期考理科数学测评卷（二））已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】构造，，求导，结合函数单调性分析，即可判断.【详解】令，则，令，有，令，有，故函数在单调递增，在单调递减，故，即，，令，则，令，有，令，有，故函数在单调递增，在单调递减，故，即，，综上：.故选：C题型三利用导数研究函数的极值【典例分析】典例3-1．（2022·全国·高三阶段练习（文））函数的极小值为（

）A． B．1 C．2 D．e【答案】B【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值.【详解】解：由，得，当或时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以函数的极小值为.故选：B.典例3-2．（2022·福建省漳州市第八高二期末）函数在处有极值，则的值等于（

）A．0 B．6 C．3 D．2【答案】A【分析】求导，根据列方程组求解可得.【详解】因为在处有极值，所以，解得所以故选：A典例3-3．（2022·陕西·蒲城县蒲城高三阶段练习（理））已知函数有三个极值点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】函数有三个极值点，则有三个零点，对分离参数，构造函数，利用导数研究其单调性和最值，即可求得参数的取值范围．【详解】函数有三个极值点，则有三个零点，即方程有三个根，不妨令,则，故在单调递减，在单调递增，在单调递减，，且当时，恒成立．当趋近于负无穷时，趋近于正无穷；趋近于正无穷时，趋近于，故当时，满足题意，则故选：B．典例3-4．（2022·新疆·兵团第三师第一高三阶段练习（文））已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（

）A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值【答案】D【分析】根据给定的函数图象，分析判断值为正或负的x取值区间作答.【详解】观察图象知，当时，或且，当时，或，而当时，，当时，，因此当或时，，当时，，当且仅当时取等号，则在上单调递减，在上单调递增，所以有极小值，极大值，A，B，C不正确；D正确.故选：D【方法技巧总结】1.思路：求函数的极值的基本思路：先求导，再令导数为零，求出根，再去判断根是否极值点，且为极大值点还是极小值点；根据函数的极值或极值点求解参数或参数范围的问题的基本思路：先将问题转化为零点问题，进而采用参变分离的方法将问题转化为两图像的交点问题，结合构造函数和数形结合来求出参数或参数范围。2.注意：导函数等于零的方程的根不一定是极值点，只有非重合根才是极值点。【变式训练】1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的极大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用导数可判断函数的单调性，进而可得函数的极大值.【详解】函数的定义域为，,令，解得或，故单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的极大值为，故选：B.2．（2022·河北·石家庄高二期中）若函数的极大值等于9，则实数m等于（

）A．5 B．9 C．－5 D．9【答案】A【分析】由导数得出极大值，进而得出实数m.【详解】，当时，，当或时，即函数在和上单调递减，在上单调递增，即函数在处取得极大值，即，故选：A3．（海南省2023届高三上学期11月联考数学试题）已知函数，若是在区间上的唯一的极值点，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函数导数，由题可知需使得在上没有变号零点，因此分离参数，令，利用导数求得其最小值，则可得，即可求得答案.【详解】由题意得，由题意可得是函数在区间上唯一变号的零点，令，则需满足在上没有变号零点；令，得，令，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调速减，故当时取得最小值，其大致图象如图：要使没有变号零点，则需，即，即实数k的取值范围是,故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查的时根据函数在区间上有唯一的极值点，求参数的范围，那么要满足这一点，解答的关键在于求出导数后，需使得在上没有变号零点，由此转化为函数的最值问题解决.4．（2022·重庆巴蜀高三开学考试）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（

）A．函数有极大值和B．函数有极小值和C．函数有极小值和极大值D．函数有极小值和极大值【答案】D【分析】根据函数的图象判断导数在各个区间上的符号，再根据极值的定义即可得解.【详解】解：由图可知，当时，，当，当时，，则，当时，，则，当时，，则，所以函数有极小值和极大值.故选：D.题型四利用导数研究函数的最值【典例分析】典例4-1．（2020·河南·高三阶段练习（文））函数在区间上的最小值（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据在上单调性求出最值即可【详解】由可得，令，解得，当，，单调递减；当，，单调递增，所以的极小值，也为最小值为，故选：C典例4-2．（2022·四川省绵阳南山高三阶段练习（理））已知函数的最小值为，则（

）A． B． C．e D．【答案】D【分析】求出导函数，求出函数的最小值，列方程即得.【详解】由，得，当时，则，函数在上为减函数，函数无最小值，不合题意，当时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，时，函数有最小值，解得.故选：D.典例4-3．（2022·浙江·高二阶段练习）若函数有最小值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求导得，分类讨论判断得单调性，进而根据最值分析求解.【详解】由题意可得：∵，则当，则当时恒成立，即∴在上单调递减，则在上无最值，即不成立当，则当时恒成立，即∴在上单调递增，则在上无最值，即不成立当，令，则∴在上单调递增，在单调递减，则在上有最小值，即成立故选：A.【方法技巧总结】1.思路：函数的最值求法：先根据求极值的流程求出极值点，再根据定义域，去比较极值和定义区间端点值的大小，其中较大的为最大值，较小的为最小值。2.注意：极值不一定是最值，最值也不一定是极值。【变式训练】1．（2022·山东·招远市第二高三阶段练习）已知函数，则最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导函数研究其单调性，即可求解最小值．【详解】解：函数；显然，，函数值才取最小；由．令，可得：或．当，可得；当，，时，函数取得最小值为．故选：A．2．（2022·天津市瑞景高三期中）当时，函数取得最大值，则（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】根据题意可知，，可解得，即可求得答案【详解】由可得，因为当时，函数取得最大值，所以，解得，所以，因此当，，单调递增；当，，单调递减，故当时取最大值，满足题意，所以故选：B3．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，若函数在区间上有最大值，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导数可得是函数的极大值点，再利用题意列出不等式组即解.【详解】由得，∴当或时，，当时，，故是函数的极大值点，令，即，∴，或，又函数在区间上有最大值，∴，解得.故选：A.题型五含参的单调性讨论【典例分析】典例5-1．（2022·安徽·砀山高三阶段练习）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)若关于x的不等式在上有解，求a的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2).【分析】（1）求导，然后分和讨论研究函数单调性；（2）将问题转化为，记利用导数求其最小值即可.【详解】（1）由题意得，，．当，即时，，故函数在上单调递增；当，即时，令，解得，故当时，，当时，，故函数在上单调递增，在上单调递减；综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）若关于x的不等式在上有解，则在上有解，∴记，则，故当时，，当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增，∴，故实数a的取值范围．典例5-2．（2022·四川南充·高三期中（理））已知函数（其中，是自然对数的底数）．(1)讨论的单调性；(2)设，对任意，不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）对求导，利用导数与函数的单调性的关系，分类讨论，，与四种情况，从而得到的单调情况；（2）根据题意，将问题转化为恒成立问题，构造函数，利用导数求得，其中，再利用同构造可得，由此可得a的取值范围．【详解】（1）因为，所以，当时，恒成立，令，得；令，得；故在单调递增，在单调递减；当时，令，得或，当时，，令，得；令，得或；所以在和上单调递增，上单调递㨔；当时，，当时，，则；当时，，则；当时，；故恒成立，所以在上单调递增；当时，，令，得；令，得或；所以在和上单调递增，在单调递减；综上：当时，在单调递增，在单调递减；当时，所以在和上单调递增，上单调递㨔；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；（2）因为，而对任意，不等式恒成立，将代入整理可得恒成立，令，则，令，易知在上单调递减，而，所以存在唯一，使得，即，故在上，，则；在上，，则，所以在上单调递增，在上单调递减，故，则所以，即.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．典例5-3．（2023·江西景德镇·高三阶段练习（文））已知函数，其中a为大于0的常数，若．(1)讨论的单调区间；(2)若在取得极小值，求的最小值．【答案】(1)当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；(2)【分析】（1）求出，分类讨论当时，和时，研究的正负，进而判断函数的单调区间；（2）由（1）知，当时，在处取得极小值，即，得到，其中，利用导数研究函数的单调性，进而求得最值.【详解】（1），求导，由，令，得，（1）当时，，当和时，，所以在和上单调递增；当时，，所以在上单调递减；（2）当时，，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；（3）当时，，当和时，，所以在和上单调递增；当时，，所以在上单调递减；综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；（2）由（1）知，当时，在处取得极小值，不符合题意；当时，在处取得极小值，即，则，其中令，即求求导令，得，即当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；故在处取得极小值，即最小值所以的最小值为典例5-4．（2022·江西赣州·高三期中（理））已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若对任意的，都有，求实数的取值范围．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）求出函数的定义域和导数，对分和两种情况，分析在上的符号，可得出函数的单调区间；（2）分类讨论，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性进而求得相应最值，进而得到实数的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为，.①当时，对任意的，，此时，函数的单调递增区间为.②当时，令，得；令，得.此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2），当时显然成立.当时，即，令，，.若时单调递减；，单调递增.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究不等式恒成立问题，解题方法就是利用分类讨论法进行求解，解题时要找出参数分类讨论的依据，考查分类讨论数学思想的应用，属于难题.【方法技巧总结】1.类型：一次函数型、二次函数型、其他函数型。2.方法：一次函数型要先讨论斜率，再讨论根是否有意义；二次函数型分三步：第一步，讨论开口，第二步，讨论根的判别式，同时结合对称轴及与y轴的交点，第三步，讨论根的大小；其他函数型基本流程：先求导，有分式的要统分，能因式分解的要因式分解，最后根据导函数来分析讨论是否有根，以及根的大小。【变式训练】1．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若时，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求导，当，易得在上单调递减；当时，由，得到讨论与-1的大小，确定分类标准求解；（2）令，求导，由，转化为，再分，讨论求解.【详解】（1）解：的定义域为，，当，即时，在上单调递减；当时，令，得，解得，讨论：，则当或时，；当时，；当时，；当时，恒有，由，得；由，得，故在上单调递增，在上单调递减；当时，恒有，由，得；由，得，故在上单调递增，在上单调递减；当时，，则在上单调递减；当时，，则在上成立，所以在上单调递减；综上：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减；当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）令，则，令，则，所以在上递增，则，即，则，当，即时，成立，则在上递增，所以，成立，当，即时，有，设，则，在上递增，又当时，，所以，又，所以在上存在唯一的零点，当时，，则在上递减，所以，则在上递减，此时，与已知矛盾，综上，满足条件的实数a的取值范围是．【点睛】关键点点睛：本题第一问关键是讨论与-1的大小，确定分类标准.2．（2007·湖南·高考真题（理））已知函数，其中，e为自然对数的底数．(1)讨论函数的单调性；(2)求函数在区间上的最大值．【答案】(1)当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递减；在上单调递增；(2)当时，最大值是；当时，最大值是；当时，在区间上的最大值是.【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数，讨论，在函数的定义域内解不等式和即可．（2）欲求函数在区间上的最大值，先求在区间上的单调性，讨论的值，分别求出最大值．【详解】（1），函数定义域为，．当时，令，得．若，则，从而在上单调递增；若，则，从而在上单调递减．当时，令，得，解得或，有．若，则或，从而在和上单调递减；若，则，从而在上单调递增；（2）由（1）中求得单调性可知，当时，在区间上单调递增，最大值是．当时，在区间上单调递增，最大值是．当时，在区间上单调递增，在区间单调递减，最大值是．3．（2006年普通高等招生考试数学（文）试题（陕西卷））设函数．(1)求函数的单调区间；(2)若函数的极小值大于0，求k的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2).【分析】（1）根据给定条件，求出函数的导数，再分段求解导数值为正、为负的不等式作答.（2）结合（1）求出函数的极大值，列式求解作答.【详解】（1）函数的定义域为R，求导得：，当时，当时，，当时，，因此在上递增，在上递减，当时，当或时，，当时，，因此在，上递增，在上递减，所以，当时，函数的增区间是，减区间是；当时，函数的增区间是，，减区间是.（2）由（1）知，当时，函数在处取得极大值，无极小值，当时，函数在处取得极小值，依题意，，解得或，则，所以k的取值范围是.【点睛】方法点睛：可导函数y＝f(x)在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同．4．（2022·山东·潍坊瀚声高三期中）已知函数(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间.【答案】(1)(2)时，函数单调递增区间为和，单调递减区间为；时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；时，函数单调递增区间为和，则单调递减区间为【分析】（1）先求出函数的导函数，再求出，，进而可求出函数在点处的切线方程.（2）先求出函数的导函数并化简，再令，求出方程的两个根，再讨论两个根的大小关系来得到函数的单调区间.【详解】（1）当时，，则，则函数在点处的切线方程为.故切线方程为：.（2）函数，其中定义域为..令，得或.当，即时，令，解得，即函数单调递增区间为和，则单调递减区间为.当，即时,,则函数在上单调递增.当，即时，令，解得，即函数单调递增区间为和，则单调递减区间为.综上：时，函数单调递增区间为和，单调递减区间为；时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；时，函数单调递增区间为和，则单调递减区间为..针对性巩固练习练习一导数的几何意义1．（2022·河南·郑州励德双语高三阶段练习（文））函数在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导数的几何意义求切线斜率，并确定切点坐标，点斜式写出切线方程.【详解】由题设，，则，而，故在处的切线方程为，则.故选：A2．（2022·江西·瑞金市第三高三阶段练习（理））若曲线在处的切线垂直于直线，则（

）A．2 B．1 C．4 D．3【答案】B【分析】求导，利用导函数的几何意义得到切线斜率，根据两直线垂直得到斜率乘积为-1，列出方程，求出的值.【详解】，，由题意得：，解得：故选：B3．（2022·辽宁·朝阳市第一高级高三阶段练习）已知过点可以作函数的三条切线，如果，则和应该满足的关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数过某点的切线方程的求法可求解.【详解】设切点，由可得切线方程为，将代入得，整理得，设，，令，解得或，因为，所以在，单调递减，在单调递增，由题意得有3个不相等的实数根，则有，即.故选:D.4．（2022·陕西安康·高二期中（理））已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则（

）A．-1 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】先求得在处的切线方程，然后与联立，由求解【详解】解析：∵，∴，∴，∴，∴曲线在处的切线方程为，由得，由，解得．故选：B5．（2023·全国·高三专题练习）已知点P是曲线上任意的一点，则点P到直线的距离的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可知，过点的切线与直线平行，由此可求出点的坐标，然后利用点到直线的距离公式求解即可【详解】令，则，即，所以，故选：D．练习二利用导数研究函数的单调性6．（2018·湖南·新邵县教研室高二期末（文））函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由结合定义域即可解出．【详解】因为，所以，由解得：，所以函数的单调递减区间为．故选：B．7．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数的单调性与导函数之间的关系，将单调性转化为导函数恒大于或等于0，即可求解.【详解】依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立.令，则，所以在上单调递增，则，所以.故选:B.8．（2022·全国·高三专题练习）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求导，导函数在上恒非负，根据恒成立的问题的办法解决.【详解】，又在上单调递增，故在上恒成立，而时，易见，只需要即可，故.故选：B.9．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数，利用导数求单调性，即可比较大小.【详解】设函数，则．令，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数在上单调递增，所以，即，所以．故选：D．【点睛】思路点睛：根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.练习三利用导数研究函数的单极值10．（2022·河北石家庄·高二阶段练习）已知函数，则该函数的极小值为（

）A． B．3 C．0 D．1【答案】A【分析】利用函数的极小值的定义求解.【详解】解：由题意得，令，得或－1，当或时，，当时，，所以，所以极小值为e．故选：A．11．（2023·全国·高三专题练习）若函数在处有极值10，则（

）A．6 B． C．或15 D．6或【答案】B【分析】先求出函数的导函数，然后根据在时有极值10，得到，求出满足条件的，然后验证在时是否有极值，即可求出【详解】，又时有极值10，解得或当时，此时在处无极值，不符合题意经检验，时满足题意故选：B12．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第高二期末）若函数有2个极值点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求导，根据题意可得有2个不同的正实数根，从而可得出答案.【详解】解：，因为函数的定义域为，且函数有2个极值点，则有2个不同的正实数根，所以且，即实数的取值范围是.故选：B．13．（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室高二期中（理））定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（

）A．函数在区间单调递增 B．函数在区间单调递减C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极小值【答案】D【分析】根据导函数图象可知，的单调性，进而可得的极值，即可得出答案．【详解】解：根据导函数图象可知，在区间，上，，单调递减，在上，，单调递增，所以在处取得极小值，没有极大值，故正确，错误，故选：．练习四利用导数研究函数的最值14．（2022·陕西·蒲城县蒲城高三阶段练习（理））函数在上的最小值为（

）A． B．36 C．28 D．【答案】A【分析】对进行求导，得到在的单调性，即可求得最小值【详解】由可得，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在上的极小值，也为最小值为，故选：A15．（2023·广西·模拟预测（文））已知函数存在最大值0，则的值为（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】讨论与0的大小关系确定的单调性，求出的最大值.【详解】因为，，所以当时，恒成立，故函数单调递增，不存在最大值；当时，令，得出，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以，解得：.故选：B.16．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数在区间内有最值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函数的导数，就，分类讨论后可得参数的取值范围.【详解】，其中当时，，故在上单调递减，此时在内无最值.当时，若，则，若，则，故在上为增函数，在上为减函数，故在处取最大值，故选：A.练习五含参的单调性讨论17．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知且.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，求证：.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）对参数的值进行分类讨论，在不同的情况下根据导数的正负即可判断函数单调性；（2）将待证不等式两边同乘以，令，将问题转化为证明的最小值大于等于零即可.【详解】（1）且的定义域为，，当时，令，得；令，得，故函数在上单调递增，在上单调递减；当时