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第九章欧氏空间练习题一、填空题1．设是一个欧氏空间，，若对任意都有，则＝_________．2．在欧氏空间中，向量，，那么＝_________，＝_________．3．在维欧氏空间中，向量在标准正交基下的坐标是，那么＝_________，＝_________．4．两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________．5．已知是一个正交矩阵，那么＝_________，＝_________．6、已知三维欧式空间中有一组基，其度量矩阵为，则向量的长度为。7．设，若与正交，则．8、设在此内积之下的度量矩阵为。9、设为欧氏空间，则有柯西-施瓦茨不等式：。二、判断题1．在实线性空间中，对于向量，定义，那么构成欧氏空间。()2．在维实线性空间中，对于向量，定义，则构成欧氏空间。()3．是维欧氏空间的一组基，与分别是V中的向量在这组基下的坐标，则。()5．是维欧氏空间的一组基，矩阵，其中，则A是正定矩阵。()6．设是一个欧氏空间，，并且，则与正交。()7．设是一个欧氏空间，,并且，则线性无关。()8．若都是欧氏空间的对称变换，则也是对称变换。()三、计算题1．把向量组，扩充成中的一组标准正交基.2．求正交矩阵，使成对角形。3．在中，对任意向量，，定义（1）证明：作成欧氏空间．（2）写出这个欧氏空间的柯西—布涅珂夫斯基不等式．四、证明题1．设，为同级正交矩阵，且，证明：．2．设为半正定矩阵，且，证明：．3．证明：维欧氏空间与同构的充要条件是，存在双射，并且有。4．A为阶实对称矩阵，且．证明：存在正交矩阵U，使其中为A的正特征值的个数．5．设为维欧氏空间V的一组基．证明：这组基是标准正交基的充分必要条件是，对V中任意向量都有.6、设是3维

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