计算机控制技术(第3版)课件第4章 计算机控制系统离散化设计

离散化设计法则首先将系统中被控对象加上保持器一起构成的广义对象离散化，得到相应的以Z传递函数、差分方程或离散系统状态方程表示的离散系统模型。然后利用离散控制系统理论，直接设计数字控制器。由于离散化设计法直接在离散系统的范畴内进行，避免了由模拟控制系统向数字控制器转化的过程，也绕过了采样周期对系统动态性能产生严重影响的问题。是目前采用较为广泛的计算机控制系统设计方法。最少拍设计，是指系统在典型输入信号(如阶跃信号，速度信号，加速度信号等)作用下，经过最少拍（有限拍）使系统输出的稳态误差为零。U(z)u*(t)E(z)R(z)e*(t)y(t)Tr(t)e(t)D(z)TZOHG0(s)Y(z)G(z)4.1最少拍计算机控制系统的设计最少拍控制系统是在最少的几个采样周期内达到在采样时刻输入输出无误差的系统。显然，这种系统对闭环Z传递函数W(z)的性能要求是快速性和准确性。对系统提出性能指标要求是，在单位阶跃函数或等速函数、等加速度函数等典型输入信号作用下，系统在采样点上无稳态误差，并且调整时间为最少拍。4.1.1最少拍系统设计的基本原则利用直接数字设计法设计最少拍控制系统，考虑以下几点：(1)对于特定的参考输入信号，到达稳态后，系统在采样时刻精确实现对输入的跟踪；(2)闭环系统应是稳定的，并以最快速度达到稳定状态；(3)D(z)应是物理可实现的。1．假设条件为了使设计简明起见，提出如下三个假设条件。(1)G(z)在单位圆上和圆外无极点，（1，j0）点除外；(2)G(z)在单位圆上和圆外无零点；(3)G0(s)中不含纯滞后e-qs，q是T的整数倍。

2．希望Z传递函数从前面可知，可以先将性能指标要求表达成希望闭环Z传递函数W(z)或者闭环误差Z传递函数We(z)或者开环Z传递函数Wk(z)，然后根据下面关系式确定数字控制器D(z)。开环Z传递函数为闭环Z传递函数为闭环误差Z传递函数为U(z)u*(t)E(z)R(z)e*(t)y(t)Tr(t)e(t)D(z)TZOHG0(s)Y(z)G(z)

其中，Wk(z)、W(z)和We(z)是由性能指标确定的，G(z)是已知的，可以根据G(z)反求出D(z)，这样求得的D(z)只要满足物理可实现的条件，那么D(z)就是所要求的数字控制器。为了确定W(z)或We(z)，讨论在单位阶跃、单位速度、单位加速度三种典型输入信号作用下无稳态误差最少拍系统的W(z)或We(z)应具有的形式。对于以上三种典型输入信号R(z)分别为：单位阶跃信号单位速度信号

单位加速度信号

可统一写成表达式

式中A(z)为不含因子(1-z-1)的关于z-1的多项式。对于单位阶跃信号:

对于单位加速度信号：对于单位速度信号:

由于E(z)=We(z)R(z)，根据终值定理，求得稳态误差为：从上式可知，要求稳态误差为零的条件是We(z)应具有如下形式：则：其中F(z)是待定的不含因子(1-z-1)的z-1关于的有理分式或z-1的有限项多项式，m是R(z)的分母(1-z-1)的阶数。

为使稳态误差最快衰减到零，成为最少拍系统，就应使We(z)有最简单的形式，即阶数n最小，即完全可以想象若取F(z)=1，则We(z)最简单，则得到无稳态误差最少拍系统的希望闭环误差Z传递函数就应为而希望闭环Z传递函数应为对于不同输入We(z)、W(z)形式如下：单位阶跃：单位速度：单位加速度：由上式可知，使误差衰减到零或输出完全跟踪输入所需的调整时间，即为最少拍数对应于m=1，2，3分别为1拍，2拍，3拍。3．最少拍系统分析(1)单位阶跃输入时也就是说，系统经过1拍，输出就可以无差地跟踪上输入的变化，即此时系统的调节时间ts=T，T为系统采样时间。0T2T1e(kT)kT0T2T3T4T5T1y(kT)kT误差及输出系列如图所示。(2)单位速度输入时也就是说，系统经过2拍，输出就可以无差地跟踪上输入的变化，即此时系统的调节时间ts=2T，T为系统采样时间。0T2T3TTe(kT)kT0T2T3T4T4T3T2TTy(kT)kT误差及输出系列如图所示。(3)单位加速度输入时也就是说，系统经过3拍，输出就可以无差地跟踪上输入的变化，即此时系统的调节时间ts=3T，T为系统采样时间。0T2T3Te(kT)kT0T2T3T4T8T26T24T22T2y(kT)kT误差及输出系列如图所示。由上面讨论可以看出，最少拍控制器设计时，We(z)或W(z)的选取与典型输入信号的形式密切相关，即对于不同的输入R(z)，要求使用不同的闭环Z传递函数。所以这样设计出的控制器对各种典型输入信号的适应能力较差。若运行时的输入信号与设计时的输入信号形式不一致，将得不到期望的最佳性能。4．数字控制器D(z)的确定

由得到U(z)u*(t)E(z)R(z)e*(t)y(t)Tr(t)e(t)D(z)TZOHG0(s)Y(z)G(z)对于单位阶跃信号（m=1）对于单位速度信号（m=2）对于单位加速度信号（m=3）例对于下图所示的系统，设，T=1s，试确定在典型信号输入下最少拍系统的数字控制器D(z)。解：U(z)u*(t)E(z)R(z)e*(t)y(t)Tr(t)e(t)D(z)TZOHG0(s)Y(z)G(z)对于单位阶跃信号（m=1）对于单位速度信号（m=2）对于单位加速度信号（m=3）4.1.2任意广义对象的最少拍控制器设计当三个假设条件不满足时，如何进行设计。如图所示的系统得当G(z)中含有Z平面单位圆外或圆上的极点时，如果该极点没有与D(z)或We(z)的零点完全对消的时，则它将成为W(z)的极点，从而造成整个闭环系统不稳定。U(z)u*(t)E(z)R(z)e*(t)y(t)Tr(t)e(t)D(z)TZOHG0(s)Y(z)G(z)又得到当G(z)中含有Z平面单位圆外或圆上的零点时，如果该零点没有与D(z)或We(z)的极点完全对消的时，则它将成为W(z)/G(z)中不稳定的极点，从而使数字控制器的输出趋向于无穷大，造成整个闭环系统不稳定。为保证闭环系统稳定，当G(z)中含有Z平面单位圆外或圆上的零、极点时，它应被D(z)或We(z)的极、零点相抵消。而用D(z)的零点或极点抵消G(z)的极点或零点是不允许的，这是因为，简单地利用D(z)的零点或极点去对消G(z)中的不稳定零点或极点，从理论上来说可以得到一个稳定的闭环系统，但这种稳定是建立在零极点完全对消基础上的。当系统参数产生漂移，或者对象参数辨识有误差时，这种零极点对消就不可能准确实现，从而引起闭环系统不稳定。所以建立在零极点对消基础上的稳定系统实际上是不可能稳定工作的，没有实用价值。

设最少拍系统广义Z传递函数为

其中，b1，b2，…，bu是G(z)的u个不稳定零点，a1，a2，…，av是G(z)的v个不稳定极点，是G(z)中不包含Z平面单位圆外或圆上的极、零点时的部分，z-N为G(z)中含有的纯滞后环节。

于是得到数字控制器从上式可以看出，如果数字控制器D(z)存在zN环节，则表示D(z)具有超前特性，这样的D(z)是物理不可实现的，所以必须使W(z)的分子中含有z-N环节以避免D(z)出现超前环节。为了保证闭环系统的稳定，要求W(z)或We(z)不含有不稳定的极点，则G(z)中不稳定的零点应包含在W(z)零点中，G(z)中不稳定的极点应包含在We(z)零点中，避免了发生D(z)与G(z)的不稳定零极点对消的情况。总结如下：1．We(z)的零点应包含G(z)中全部不稳定的极点。其中，F1(z)是关于z-1的多项式且不包含G(z)中的不稳定极点aj（除（1，j0）外）。

2．W(z)的零点应包含G(z)中纯滞后的环节即z-N和全部不稳定的零点。其中，F2(z)是关于z-1的多项式且不包含G(z)中的纯滞后的环节和不稳定零点bi。因此，满足了上述稳定性条件后的D(z)不再包含G(z)的Z平面单位圆上或单位圆外零极点和纯滞后的环节。上述的效果可使响应时间的前面最少拍数增加若干拍，要满足上述限制条件，We(z)=(1-z-1)mF(z)中的F(z)不能简单地使F(z)=1，而应选F(z)的零点中含G(z)的全部不稳定极点，并使We(z)为最简单形式，使E(z)含z-1因子的多项式的项数最少，使误差以最快速度衰减到零。综上所述，得到满足上述限制条件的闭环Z传递函数W(z)和闭环误差Z传递函数We(z)的一般形式为其中，k为常系数。其中m取值为1、2、3分别对于单位阶跃、单位速度、单位加速度输入，利用W(z)=1-We(z)确定各个待定参数。例

对于下图所示的系统，设：T=0.2s，试确定数字控制器D(z)，使系统在单位阶跃输入作用下无稳态误差最少拍。解：

U(z)u*(t)E(z)R(z)e*(t)y(t)Tr(t)e(t)D(z)TZOHG0(s)Y(z)G(z)G(z)中含有一个单位圆外的零点-1.14、一个z-1因子，没有不稳定的极点。m=1，u=1，v=0，N=1。根据上述条件，设由得对比等式两边各项系数，有解得则：调整时间2拍，无超调。如果输入为单位速度函数，设由得有按最少拍控制系统设计出来的闭环系统，在有限拍后即进入稳态后，这时闭环系统输出在采样时刻精确地跟踪输入信号。然而，进一步研究可以发现虽然在采样时刻闭环系统输出与所跟踪的参考输入一致，但是在两个采样时刻之间，系统的输出存在着纹波或振荡。这种纹波不但影响系统的控制性能，产生过大的超调和持续振荡，而且还增加了系统功率损耗和机械磨损。4.2无波纹最少拍计算机控制系统设计例

对于图所示的系统设，T=1s，输入为单位阶跃信号，输入为单位阶跃信号，试分析系统输出响应。U(z)u*(t)E(z)R(z)e*(t)y(t)Tr(t)e(t)D(z)TZOHG0(s)Y(z)G(z)解：利用广义Z变换。可求出系统的输出响应。

设β=0.5，则

t01234561y(t)其输出响应如图所示，可以看出系统输出存在波纹。其输出如图所示。

tu*(t)012345进一步分析可知，产生波纹的原因是数字控制器D(z)输出序列u*(t)在系统输出y*(t)过渡过程结束后，还在围绕其平均值不停地波动。

下面进一步从数学关系上分析产生波纹的原因和消除波纹的方法。从对前面最少拍系统的分析可知，若要求系统的输出y*(t)在有限拍内结束过渡过程，就要求选择的希望闭环Z传递函数W(z)为关于z-1的有限多项式。同样，如果要求u*(t)在有限拍内结束过渡过程，就要求

为关于z-1的有限多项式。产生波纹的原因是因为不是关于z-1的有限多项式，这样使u*(t)的过渡过程不结束，从而使输出y*(t)产生波动。要想消除波纹，就要求u*(t)和y*(t)同时结束过渡过程，否则，就会产生波动现象，要求D(z)We(z)为z-1的有限多项式，即W(z)能G(z)被整除即可。

设计系统时应使W(z)零点中含G(z)的全部零点，使得G(z)的全部零点被W(z)的零点所抵消，这样W(z)就能被G(z)整除。当然，这样选取的W(z)会使系统的过渡过程长一些，但却消除了波纹。设最少拍系统广义Z传递函数为

其中，b1，b2，…，bu是G(z)的u个零点，a1，a2，…，av是G(z)的v个不稳定极点，f1，f2，…，fw是G(z)的w个稳定极点，k1为常系数，z-N为G(z)中含有的纯滞后环节。

则可得

其中，k为常系数。

其中由此得到数字控制器：U(z)u*(t)E(z)R(z)e*(t)y(t)Tr(t)e(t)D(z)TZOHG0(s)Y(z)G(z)例

对于下图所示的系统设，T=1s，试按输入为单位阶跃信号，确定无波纹最少拍系统的数字控制器D(z)。解：

系统在采样点的输出为：

由于数字控制器的输出为：可见D(z)We(z)为关于的有限多项式，并且u*(t)经过2拍后过渡过程结束。同时，经过两拍后y*(t)的过渡过程也结束了，也就是u*(t)与y*(t)同时结束过渡过程。

数字控制器输出如图所示tu*(t)123450.20.10.0-0.1-0.2利用广义Z变换。可求出系统的输出响应。

由此可见，此时系统经过2拍以后就消除了波纹。输入为单位阶跃时的输出响应如图所示

01234y(t)1.41.00.5t如果所求得的系统在单位速度信号输入下，则输出的广义Z变换为

可以看出，系统经过2拍后过渡过程结束，但始终存在稳态误差1.418。

在上例中，如果按输入为单位速度信号，来确定无波纹最少拍系统的数字控制器D(z)，则有：

输出的广义Z变换为

由此可知，此系统在单位速度信号作用下，过渡过程为3拍，并且无波纹，其输出响应如图所示。

t012341y(t)如果所求得的系统在单位阶跃信号输入下，则输出的广义Z变换为其输出响应如图所示，可以看出，系统经过3拍后过渡过程结束，但有100%的超调量，并且无波纹。

t012341y(t)2以前讨论的问题中，仅仅是针对计算机的控制系统的参考输入而设计的。实际的控制系统中，除了有参考输入之外，常常还有扰动作用。干扰几乎在任何处即可进入系统，为了便于讨论，可将干扰归并在零阶保持器和被控制对象之间，如图所示。现在产生的问题是，针对参考输入而设计的系统，是否能有效地克服干扰f(t)所产生的影响？TR(z)r(t)Tf(t)U(z)u*(t)Y(z)E(z)y(t)e*(t)G0(s)ZOHD(z)G(s)4.3在扰动作用下计算机控制系统设计

由于负反馈控制系统的自动调节作用的优点，按前面方法只针对参与输入所设计的数字控制器D(z)或闭环Z传递函数W(z)，对抑制弱扰动作用的影响是很有效的，这种情况下不必修改原设计的D(z)或W(z)，但在强扰动作用下，一般就须修改原设计。4.3.1针对扰动作用的设计假设存在扰动的控制系统如前图所示，当只存在扰动作用时（此时r(t)=0），扰动系统的等效图如图所示。U(z)TF(s)u*(t)Yf(z)yf(t)f(t)G0(s)D(z)ZOHT根据线性系统的迭加原理，系统只存在扰动时的输出响应为

取Z变换得：

其中

得到系统输出对扰动的闭环Z传递函数为：

于是得到数字控制器：针对于扰作用的系统的设计方法是(1)根据系统运行的实际情况，确定设计中所针对的干扰输入作用F(z)；(2)根据消除干扰所引起的输出响应的要求（例如稳定性、准确性和快速性要求等）以及D(z)物理可实现的约束，确定输出对扰动的闭环Z传递函数Wf(z)；(3)确定数字控制器D(z)。4.3.2抑制扰动作用的设计再来研究既有参考输入R(s)又有扰动作用F(s)的系统的设计方法。对于前图所示的系统，设计分两步进行：(1)首先针对参考输入，确定闭环Z传递函数W(z)；(2)然后考虑系统对干扰F(s)的抑制作用，修改设计的结果（有时不需要修改）。事实上，统的输出响应为所以如果系统要抑制扰动的影响，则对Wf(z)的要求是：对于设计中的扰动作用，不产生稳态响应。不失一般性，设扰动信号具有以下形式：则在扰动作用下产生稳态响应可由终值定理求得若要求Yf(∞)=0，则要求扰动的闭环Z传递函数Wf(z)具有以下形式：其中，Ff(z)为不含(1-z-1)因子的关于z-1的有限多项式。由此可得到以下结论：若系统的扰动的闭环Z传递函数Wf(z)可以表示成以上的形式，则就不必修改针对参考输入所确定的数字控制器D(z)，否则就要修改原先设计的D(z)。例对于前图所示的系统，设，T=0.025s，r(t)=1(t)，f(t)=1(t)。设计无稳态误差有波纹最少拍系统的数字控制器D(z)。解：根据最少拍系统设计原则得到由此可见，求得的Wf(z)不能满足Wf(z)=(1-z-1)Ff(z)形式，则需要修改原设计D(z)。进一步分析可知：，显然不符合设计要求，必须修改原先设计的D(z)。由于考虑D(z)的物理可实现性，要求D(z)分子有z-1项来抵消分母z-1项，所以令则显然，D(z)为物理可实现的。在一个计算机控制系统中，组合使用反馈与前馈两种控制，称之复合控制。复合控制的最大优点是易于构成抗外部干扰能力较强的系统。下述复合控制系统的设计特点是可以将希望的控制规律设计和抗干扰设计分开来进行。下图所示的是既有开环控制、又有闭环控制的复合计算机控制系统，D1(z)与D2(z)是待确定的数字控制器。其前馈是引自参考输入r(t)。4.3.3复合控制系统设计Ty(t)TTTf(t)r(t)D1(z)G0(s)D2(z)ZOH设对于线性系统，参考输入r(t)与扰动作用f(t)所引起的输出响应Yr(z)和Yf(z)分别为

从上式可知，由于扰作用所引起的输出yf(t)与前馈数字控制器D2(z)无关。因此，首先根据消除扰动所引起的输出响应的要求，按前面介绍的方法，确定数字控制器D1(z)。其次，根据对参考输入所引起的输出响应的要求，确定闭环Z传递函数W(z)，再按下式，确定数字控制器D2(z)。这样就将对参考输入的设计与对扰动作用的设计分离成两步。可以想见，若选择数字控制器D2(z)为，则系统闭环Z传递函数W(z)=1，这意味着对每一采样时刻，输出都完全复现任意输入，达到抗干扰的目的。但是，被控制对象G0(s)总是有惯性的。因此，连续部分的Z传递函数G(z)总是有瞬变滞后的。G(z)一般可表为：则

因此，这样确定的数字控制器D2(z)是物理不可实现的。

为此，在前图所示系统的基础上，增加数字控制器D3(z)，构成如图所示的改进型复合控制系统。则系统对参考输入的输出响应为

Ty(t)TE(z)Tf(t)r(t)D3(z)G0(s)D2(z)ZOHTD1(z)若选择

则

说明W(z)与D1(z)无关，假设，那么。当不考虑扰动作用时，有E(z)=D3(z)R(z)-W(z)R(z)，说明若不存在扰动时，反馈回路可以不参与运行，只有前馈部分参与工作。当存在扰动时，E(z)=G0F(z)，此时反馈回路参与运行，以消除扰动的影响。由此可知，前图所示的复合控制系统，开环控制部分（即数字控制器D2(z)和D3(z)）负责系统的输出对参考输入的跟踪；闭环控制部分（即数字控制器D1(z)）负责抑制闭合回路内扰动的影响。因此，本系统对参考输入的设计与扰动作用的设计，已分离成互为独立的两部分。小结：(1)根据抑制闭环回路扰动的影响要求确定D1(z)。(2)确定前馈数字补偿器D2(z)和D3(z)。前面分别介绍了几种数字控制器的设计方法，但无论什么方法，所设计的D(z)均为关于z-1有理分式形式，要用计算机实现其控制功能，必须变成差分方程的形式。具体有三种实现方法：直接程序设计法、串行程序设计法和并行程序设计法。4.6数字控制器的计算机程序实现4.6.1直接程序法设数字控制器的一般形式为：∴取Z反变换得显然，上式是物理可实现的。e(k)E(z)u(k)U(z)z-1b2b1b0bm-a2-a1-anz-1z-1z-1z-1z-1直接程序法方块图如图所示。其中，z-1为延时环节，每计算一次u(k)需要以前n个输出值以及当前误差值e(k)和以前m个误差值，所以必须将这些值存储起来以备使用。这样，每计算一次u(k)需要做n+m+1次乘法，n+m次加法，并做n+m次数据转移。