苏教版数学必修四讲义第1章1.31.3.2第3课时正切函数的图象与性质Word版含答案

第3课时正切函数的图象与性质学习目标核心素养(教师独具)1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质．(重点)2．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．(难点、易错点)通过学习本节内容提升学生的数学运算和直观想象核心素养.正切函数的图象与性质解析式y＝tanx图象定义域eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))值域R周期π奇偶性奇函数单调性在开区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上都是增函数对称性无对称轴，对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)思考：正切函数在定义域内是单调函数吗？[提示]不是．1．思考辨析(1)正切函数在定义域上是单调递增函数．()(2)正切函数的对称轴方程为x＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.()(3)正切函数的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.()[解析](1)×.正切函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))，k∈Z上是单调递增函数．(2)×.正切函数不是轴对称图形．(3)×.正切函数的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z.[答案](1)×(2)×(3)×2．函数f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的定义域是________，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝________.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,3)，k∈Z))))eq\r(3)[由题意知x＋eq\f(π,6)≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即x≠eq\f(π,3)＋kπ(k∈Z)．故定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,3)，k∈Z))))，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,6)))＝eq\r(3).]3．函数y＝－tanx的单调递减区间是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)[因为y＝tanx与y＝－tanx的单调性相反，所以y＝－tanx的单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)．]正切函数的定义域【例1】求下列函数的定义域．(1)y＝eq\f(1,1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))))；(2)y＝eq\r(\r(3)tanx－3).思路点拨：(1)分母不为0，且taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))有意义；(2)被开方数非负，且tanx有意义．[解](1)若使得y＝eq\f(1,1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))))有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)≠kπ＋\f(π,2)k∈Z，,2x－\f(π,4)≠kπ－\f(π,4)k∈Z，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)＋\f(3π,8)k∈Z，,x≠\f(kπ,2)k∈Z，))∴函数y＝eq\f(1,1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))))的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)且x≠\f(kπ,2)＋\f(3π,8)，k∈Z)))).(2)由题意得eq\r(3)tanx－3≥0，∴tanx≥eq\r(3)，∴kπ＋eq\f(π,3)≤x＜kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，∴y＝eq\r(\r(3)tanx－3)的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,3)≤x＜kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义，即eqx≠kπ＋\f(π,2)k∈Z，而对于构建的三角函数不等式，常利用三角函数的图象求解.1．求函数y＝eq\f(1,1＋tanx)的定义域．[解]要使函数y＝eq\f(1,1＋tanx)有意义，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋tanx≠0，,x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanx≠－1，,x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(π,4)＋kπ，k∈Z，,x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z.))∴函数y＝eq\f(1,1＋tanx)的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(π,4)＋kπ且x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).正切函数的单调性及应用【例2】(1)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)．①taneq\f(2π,7)________taneq\f(10π,7)；②taneq\f(6π,5)________taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,5))).(2)求函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))的单调区间及最小正周期．思路点拨：(1)把各角化归到同一单调区间内再利用函数的单调性进行比较．(2)先利用诱导公式将x的系数化为正数，再把eq\f(1,2)x－eq\f(π,4)看作一个整体，利用y＝tanx的单调区间求解．利用T＝eq\f(π,ω)求周期．①＜②＜[(1)①taneq\f(10π,7)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(3π,7)))＝taneq\f(3π,7)，∵0＜eq\f(2π,7)<eq\f(3π,7)＜eq\f(π,2)，且y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函数，∴taneq\f(2π,7)<taneq\f(10π,7).②taneq\f(6π,5)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,5)))＝taneq\f(π,5)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,5)))＝taneq\f(2π,5)，∵0＜eq\f(π,5)<eq\f(2π,5)＜eq\f(π,2)，且y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函数，∴taneq\f(6π,5)<taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,5))).](2)[解]y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))，由kπ－eq\f(π,2)<eq\f(1,2)x－eq\f(π,4)<kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得2kπ－eq\f(π,2)<x<2kπ＋eq\f(3,2)π(k∈Z)，所以函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))的单调减区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(3,2)π))，k∈Z，无增区间．最小正周期T＝eq\f(π,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝2π.1．求y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，由kπ－eq\f(π,2)＜ωx＋φ＜kπ＋eq\f(π,2)求得x的范围即可．比较两个同名函数的大小，应保证自变量在同一单调区间内．2．运用正切函数单调性比较大小时，先把各角转化到同一个单调区间内，再运用单调性比较大小．2．(1)求函数y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))的单调区间；(2)比较taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))与taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16π,5)))的大小．[解](1)y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))＝－3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))，令－eq\f(π,2)＋kπ<2x－eq\f(π,4)<eq\f(π,2)＋kπ，则－eq\f(π,8)＋eq\f(kπ,2)<x<eq\f(3π,8)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z，从而函数y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)＋\f(kπ,2)，\f(3π,8)＋\f(kπ,2)))，k∈Z，故函数y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))的单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)＋\f(kπ,2)，\f(3π,8)＋\f(kπ,2)))，k∈Z.(2)因为taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))＝－taneq\f(π,4)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16π,5)))＝－taneq\f(π,5)，又0＜eq\f(π,5)＜eq\f(π,4)＜eq\f(π,2)，y＝tanx在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))内单调递增，所以taneq\f(π,4)＞taneq\f(π,5)，所以－taneq\f(π,4)＜－taneq\f(π,5)，即taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))＜taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16π,5))).正切函数的图象及应用[探究问题]1．如何由y＝tanx的图象画出y＝|tanx|的图象．提示：只需保持y＝tanx的图象在x轴上方的不动，x轴下方的关于x轴对称便可得出y＝|tanx|的图象．2．如何由y＝tanx的图象画出y＝tan|x|的图象．提示：把y＝tanx(x≥0)的图象关于y轴对称便可得出y＝tan|x|的图象．【例3】根据函数y＝|tanx|的图象，判断其单调区间、奇偶性、周期性．思路点拨：eq\x(画y＝tanx图象)→eq\x(y＝|tanx|图象)→eq\x(研究性质)[解]由y＝|tanx|得，y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanx，kπ≤x<kπ＋\f(π,2)k∈Z，,－tanx，－\f(π,2)＋kπ<x<kπk∈Z，))其图象如图．由图象可知，函数y＝|tanx|是偶函数，单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)，单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，kπ))(k∈Z)，周期为π.将本例中的函数y＝|tanx|改为y＝tan|x|，解答同样的问题．[解]由y＝tan|x|得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanx，x≥0且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，,－tanx，x<0且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，))根据y＝tanx的图象，作出y＝tan|x|的图象如图：由图象可知，函数y＝tan|x|是偶函数，单调增区间为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，kπ＋\f(3,2)π))(k＝0,1,2，…)；单调减区间为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3,2)π，kπ－\f(π,2)))(k＝0，－1，－2，…)，不具有周期性．作由正切函数复合而成的简单函数图象可用两种方法：1直接描点法，要注意定义域；2图象变换法，即以y＝tanx的图象为基础，采用反转对称平移等变换，作出函数的图象.教师独具1．本节课的重点是正切函数的定义域、单调性以及奇偶性和周期性，难点是正切函数单调性的应用．2．本节课要学会“三点两线法”画正切函数的图象类似于正弦、余弦函数的“五点法”作图，正切曲线的简图可用“三点两线法”作出，这里的三个点分别为(kπ，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，－1))，其中k∈Z.两线为直线x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，直线x＝kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)．3．要掌握与正切函数性质有关的三个问题(1)与正切函数有关的定义域、值域问题．(2)正切函数的单调性及应用．(3)与正切函数有关的奇偶性、周期性问题．4．本节课的易错点有两处(1)易忽视正切函数y＝tanx的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠k