期末测试卷（考试范围选择性必修第二册）（解析版）

期末测试卷考试范围：人教A版选择性必修第二册时间：150分钟满分：150分姓名：班级：得分：题号一二三四总分得分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在给出的四个选项中只有一项是正确的。1．设数列满足且，则（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】由题意首先确定数列为周期数列，然后结合数列的周期即可求得最终结果.【详解】由题意可得：，，，，据此可得数列是周期为4的周期数列，则.故选：D2．已知数列中，，，若，则（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】根据给定条件，构造新数列，求出通项公式即可计算作答.【详解】依题意，，，而，因此，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，即，由，得，所以.故选：C3．直线与曲线相切，则的值为（

）A．2 B．-2 C．-1 D．1【答案】D【分析】求出，设切点，由求出，代入可得答案.【详解】，设切点，由，所以，代入，得．故选：D.4．是函数的导函数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先对函数求导，然后求出和判断【详解】因为，所以，所以，．故选：A5．用数学归纳法证明等式，从到左端需要增乘的代数式为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】按照数学归纳法类比题干条件逐项展开即可.【详解】当时,左边等于;当时,左边等于，即左边等于；所以左边增乘的项为，故选：B.6．已知数列满足，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由可得，即数列是以为首项，2为公比的等比数列，再根据的值求出可得答案.【详解】由，可得，若，则，与矛盾，故，所以，即数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，又，所以.故选：A.7．已知函数，则（

）A．为偶函数 B．在区间单调递减C．的最小值为2e D．有1个零点【答案】C【分析】通过函数解析式，根据函数的奇偶性、单调性最小值等性质判断即可.【详解】的定义域为，，A选项不正确；当时，，，，，即，不满足在区间单调递减，B选项不正确；因为，所以关于对称，当时，，令，因为在单调递增；而在也递增，由复合函数单调性可知，在区间上单调递增，故在处取最小值，C选项正确；时，，所以，所以没有零点，D选项不正确.故选：C.8．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先将不等式进行恒等变形，然后构造新函数，结合函数的性质即可求得实数的取值范围．【详解】由题意可得：，，，令，易得在上单调递增，，记，则,故当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，故，故只需故实数的取值范围为．故选：A二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，在给出的四个选项中至少有一项是正确的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分。9．设数列是以d为公差的等差数列，是其前n项和，，且，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．或为的最大值【答案】ABD【分析】由及前n项和公式可得，即可判断A、B的正误，进而得到判断C，结合二次函数的性质判断D的正误.【详解】根据题意可得，即．因为，，所以，所以数列是递减数列，所以A，B正确；对于C，因为，，所以，所以，故C不正确；对于D，因为，所以，又为递减数列，所以或为的最大值，故D正确．故选：ABD．10．下列命题正确的有（

）A．若等差数列的前项的和为，则，，也成等差数列B．若为等比数列，且，则C．若等差数列的前项和为，已知，且，，则可知数列前项的和最大D．若，则数列的前2020项和为4040【答案】BCD【分析】A.利用等差数列的性质判断；B.利用等比数列的性质判断；C.根据等比数列前n项和公式判断；D.利用数列并项求和判断.【详解】A.等差数列的前项的和为，则，，也成等差数列，故错误；B.为等比数列，且，则，所以，故正确；C.因为，则，，则，所以，，所以数列前项的和最大，故正确；D.因为，所以数列的前2020项和为：，，故正确.故选：BCD11．对于函数和，则下列结论中正确的为（

）A．设的定义域为，的定义域为，则．B．函数的图像在处的切线斜率为0．C．函数的单调减区间是，．D．函数的图像关于点对称．【答案】ACD【分析】利用导数来研究函数的切线斜率以及单调性问题，利用函数的概念以及性质来研究定义域与对称性问题.【详解】因为，所以，即，解得，因为，所以，解得.所以.故A正确；因为，所以，所以，所以的图像在处的切线斜率为-1，故B错误；因为，定义域为：，所以，由有：，所以函数的单调递减区间是，，故C正确；当时，.所以函数的图像关于点对称，故D正确.故选：ACD.12．定义；在区间上，若数是减函数且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”，根据定义可得（

）A．在上是“弱减函数”B．在上是“弱减函数”C．在上是“弱减函数”D．若在上是“弱减函数”，则【答案】BCD【分析】利用基本初等函数的单调性可判断A选项；利用函数的单调性与导数的关系、并结合题中定义可判断BCD选项.【详解】对于A选项，因为函数在上不是增函数，A不满足条件；对于B选项，当时，，函数在上为减函数，令，则，函数在上为增函数，B满足条件；对于C选项，当时，，令，其中，则，所以，函数在上为减函数，故当时，，则，则函数在上为减函数，又因为函数在上为增函数，C满足条件；对于D选项，因为在上是“弱减函数”且该函数的定义域为，由，解得，所以，，又因为函数在上为增函数，D满足条件.故选：BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。13．已知数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为______．【答案】【分析】由题化简可得，当时，求出，当时，由，可求出，再验证是否满足，即可求出数列的通项公式.【详解】因为，所以，即．当时，，当时，，显然不满足上式.所以．故答案为：.14．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项积为Tn，若Sn+2Tn＝1，则数列中最接近2019的是第____项．【答案】45【解析】由已知条件归纳出Sn＝，从而可得an＝SnSn﹣1＝，进而可得＝n2，n≥2，然后赋值可得结果【详解】Sn+2Tn＝1，可得S1+2T1＝1，且S1＝T1＝；由S2+2S1S2＝1，解得S2＝；由S3+2S1S2S3＝1，解得S3＝；…推得Sn＝，a1＝S1＝，n≥2时，an＝SnSn﹣1＝＝，＝，由＝n2，当n＝44时，442＝1935.75，当n＝45时，452＝2024.75，当n＝46时，462＝2115.75．综上可得数列中最接近2019的是第45项．故答案为：45．15．已知函数（其中a为常数）有两个极值点，若恒成立，则实数m的取值范围是______.【答案】【分析】对函数求导后，由题意可得，是关于x的方程的两个不等的正实根，则得，，则，令，然后利用导数求出其最小值即可.【详解】.若有两个极值点为，则，是关于x的方程的两个不等的正实根.由，及方程根的情况，得，则，.又，所以，要使恒成立，只需恒成立.又，令，则，当时，，为减函数，所以当时，.由题意，要使恒成立，只需满足.故答案为：16．已知函数．若时，直线与曲线相切，则的所有可能的取值为_________；若a∈R时，直线与曲线相切，且满足条件的k的值有且只有3个，则a的取值范围为_________．【答案】

，5

【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出过点的曲线切线斜率即可；再利用过点的曲线的切线有3条，构造函数，借助函数有3个零点求解作答.【详解】当时，，求导得：，设直线与曲线相切的切点为，则，且，即，整理得，解得或，则或，所以的所有可能的取值为，5；由求导得：，设直线与曲线相切的切点为，于是得，且，则，显然函数在R上单调递增，因直线与曲线相切的k的值有且只有3个，则有直线与曲线相切的切点横坐标t值有且只有3个，即方程有3个不等实根，令，求导得：，当或时，，当时，，即函数在，上递增，在上递减，当时，取得极大值，当时，取得极小值，方程有3个不等实根，当且仅当函数有3个不同的零点，因此，解得，所以a的取值范围为.故答案为：，5；四、解答题：本大题共6小题，共计70分，需要写出必要的推理过程。17.（10分）已知{}为等差数列，Sn为其前n项和，若．(1)求数列{}的通项公式；(2)求Sn．【答案】(1)an＝8﹣2n；(2).【分析】（1）应用等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式；（2）由等差数列前n项和公式求Sn.【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d，由a1＝6，a3+a5＝0，则6+2d+6+4d＝0，解得d＝﹣2，因此an＝a1+（n﹣1）d＝8﹣2n，所以{an}的通项公式为an＝8﹣2n．（2）由题意知：，18.（12分）已知函数.(1)求导函数；(2)当时，求函数的图像在点处的切线方程.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据基本初等函数的导数和导数的运算法则，准确运算，即可求解；（2）由（1）分别求得和，结合导数的几何意义，即可求解.【详解】(1)解：由题意，函数，可得.(2)解：当时，可得，由（1）得，所以，所以函数的图像在点处的切线方程，即.19.（12分）已知正项等差数列，，且，，成等比数列，数列的前n项和为，，．(1)求数列和的通项公式；(2)若，数列的前n项和为，求证：．【答案】(1)，；(2)证明见解析【分析】（1）利用，，成等比数列，列出方程，求出公差，写出的通项公式，再利用，得到是公比为的等比数列，求出的通项公式；（2）利用分组求和及裂项相消法，得到，从而证明出结论.【详解】（1）设数列的公差为d，则．因为，且，，成等比数列，所以，所以d＝3，所以．由，得，所以是公比为的等比数列，又，所以．（2），所以．因为，所以．20.（12分）设函数(1)求函数的单调区间；(2)对于任意正实数，，当+=2时，试判断与的大小关系并加以证明.【答案】(1)见解析(2)，见解析【分析】（1）对求导，分类讨论，和，即可得出的单调区间.（2）由，换元，构造函数，分情况讨论的最值，进而求解.【详解】（1）的定义域为，，令，，①当时，，所以在上单调递减，②当时，，所以在上单调递减，③当时，令，则，且，所以在上单调递减，在上单调递增.综上：，的单调减区间为，，的单调减区间为，单调增区间为.（2）结论：，证明如下：设，由均为正数且得设，则①当时，由得即故单调递减，从而而，此时成立②当时，在上单调递减，在上单调递增故的最小值为此时只需证，化简后即证设，故单调递增，从而有，即证.21.（12分）已知数列{an}满足a1＝2，（n∈N*）.（1）求证：数列是等比数列；（2）比较与的大小，并用数学归纳法证明；（3）设，数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn＜m对任意n∈N*恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）证明详见解析；（2）；证明详见解析；（3）.【解析】（1）由得递推式，可得证明；（2）由（1）求出，再用数学归纳法证明；（3）求得，用裂项相消可求得答案.【详解】（1）证明：由得，且首项a1+1＝3≠0，∴数列是公比为-2，首项为3的等比数列.（2）由（1）知：，∴，∴，下面利用数学归纳法证明：.（i）n＝1时，|a1|＝|3﹣1|＝2，，∴|a1|≥.（ii）假设n＝k∈N*，|ak|≥.则n＝k+1，|ak+1|＝|3×2k﹣1|＝|2（3×2k﹣1﹣1）+1|≥+1≥.综上可得：n＝k+1时成立.综上可得：假设成立.因此∀n∈N*，.（3）∴，∴.22.（12分）已知函数(1)若关于x的方程有3个不等实根，求的取值范围；(2)若关于x的不等式对一切实数x恒成立，求ab的最大值.【答案】(1)；(2)【分析】根据题意得到，求得，得出函