云南省昌宁一中2023年高二数学第一学期期末检测模拟试题含解析

云南省昌宁一中2023年高二数学第一学期期末检测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设是等差数列，是其公差，是其前n项的和．若，，则下列结论不正确的是（）A. B.C. D.与均为的最大值2．数列1，6，15，28，45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出米，故称它们为六边形数，那么第11个六边形数为（）A.153 B.190C.231 D.2763．平面与平面平行的充分条件可以是（）A.平面内有一条直线与平面平行B.平面内有两条直线分别与平面平行C.平面内有无数条直线分别与平面平行D平面内有两条相交直线分别与平面平行4．双曲线的渐近线方程是（）A. B.C. D.5．函数，则的值为（）A B.C. D.6．已知三棱锥O­ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且，用表示，则等于（）A. B.C. D.7．设点关于坐标原点的对称点是B，则等于（）A.4 B.C. D.28．已知实数，满足，则的最大值为（）A. B.C. D.9．已知函数，若，，则实数的取值范围是A. B.C. D.10．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）.A.函数在上是增函数B.C.D.是函数的极小值点11．的展开式中的系数是（）A.1792 B.C.448 D.12．圆与圆的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数极值点的个数是______14．若，满足约束条件，则的最大值为_____________15．已知递增数列共有2021项，且各项均不为零，，如果从中任取两项，当时，仍是数列中的项，则的范围是________________，数列的所有项和________16．如图，椭圆左顶点为轴上一点满足，且线段与椭圆交于点是以为底边的等腰三角形，则椭圆离心率为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知复数，其中i是虚数单位，m为实数（1）当复数z为纯虚数时，求m的值；（2）当复数在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围18．（12分）已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）记，其中表示不超过最大整数，如，.（i）求、、；（ii）求数列的前项的和.19．（12分）如图1，四边形为直角梯形，，，，，为上一点，为的中点，且，，现将梯形沿折叠(如图2)，使平面平面.（1）求证：平面平面.（2）能否在边上找到一点(端点除外)使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.20．（12分）某校高二年级全体学生参加了一次数学测试，学校利用简单随机抽样的方法从甲班、乙班各抽取五名同学的数学测试成绩（单位：分）得到如下茎叶图，若甲、乙两班数据的中位数相等且平均数也相等.（1）求出茎叶图中m和n的值：（2）若从86分以上（不含86分）的同学中随机抽出两名，求此两人都来自甲班的概率.21．（12分）某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；（2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望22．（10分）已知椭圆的左顶点、上顶点和右焦点分别为，且的面积为，椭圆上的动点到的最小距离是（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的左顶点作两条互相垂直的直线交椭圆于不同的两点（异于点）.①证明：动直线恒过轴上一定点；②设线段中点为，坐标原点为，求的面积的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由已知条件可以得出，，，即可得公差，再利用等差数列的性质以及前n项的和的性质可判断每个选项的正误，进而可得正确选项.【详解】由可得，由可得，故选项B正确；由可得，因为公差，故选项A正确，，所以，故选项C不正确；由于是等差数列，公差，，，，所以都是的最大值，故选项D正确；所以选项C不正确，故选：C2、C【解析】细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时联系相关知识,如等差数列、等比数列等，结合图形即可求解.【详解】由题意知，数列的各项为1，6，15，28，45，...所以，，，，，，所以.故选：C3、D【解析】根据平面与平面平行的判定定理可判断.【详解】对A，若平面内有一条直线与平面平行，则平面与平面可能平行或相交，故A错误；对B，若平面内有两条直线分别与平面平行，若这两条直线平行，则平面与平面可能平行或相交，故B错误；对C，若平面内有无数条直线分别与平面平行，若这无数条直线互相平行，则平面与平面可能平行或相交，故C错误；对D，若平面内有两条相交直线分别与平面平行，则根据平面与平面平行的判定定理可得平面与平面平行，故D正确.故选：D.4、A【解析】先将双曲线的方程化为标准方程得，再根据双曲线渐近线方程求解即可.【详解】解：将双曲线的方程化为标准方程得，所以，所以其渐近线方程为：，即.故选：A.5、B【解析】求出函数的导数，代入求值即可.【详解】函数,故，所以，故选：B6、D【解析】根据空间向量的加法、减法和数乘运算可得结果.【详解】.故选：D7、A【解析】求出点关于坐标原点的对称点是B，再利用两点之间的距离即可求得结果.【详解】点关于坐标原点的对称点是故选：A8、A【解析】画出不等式组所表示的平面区域，利用直线的斜率公式模型进行求解即可.【详解】不等式组表示的平面区域如下图所示：，代数式表示不等式组所表示的平面区域内的点与点连线的斜率，由图象可知：直线的斜率最大，由，即，即的最大值为：，因此的最大值为，故选：A9、A【解析】函数，若，，可得，解得或，则实数的取值范围是，故选A.10、B【解析】根据导函数的图像，可求得函数的单调区间，再根据极值点的定义逐一判断各个选项即可得出答案.【详解】解：根据函数的导函数的图象，可得或时，，当或时，，所以函数在和上递减，在和上递增，故A错误；，故B正确；，故C错误；是函数的极大值点，故D错误.故选：B.11、D【解析】根据二项式展开式的通项公式计算出正确答案.【详解】的展开式中，含的项为.所以的系数是.故选：D12、A【解析】圆的圆心为，圆的圆心为，两圆的相交弦的垂直平分线即为直线，其方程为，即；故选A.【点睛】本题考查圆的一般方程、两圆的相交弦问题；处理直线和圆、圆和圆的位置关系时，往往结合平面几何知识（如本题中，求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程）可减小运算量.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、0【解析】通过导数判断函数的单调性即可得极值点的情况.【详解】因为，，所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以函数的极值点的个数是0，故答案为：0.14、6【解析】首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式，之后在图中画出直线，在上下移动的过程中，结合的几何意义，可以发现直线过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由，可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线在y轴截距最大时，z取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.15、①.②.1011【解析】根据题意得到，得到，，，，进而得到，从而即可求得的值.【详解】由题意，递增数列共有项，各项均不为零，且，所以，所以的范围是，因为时，仍是数列中的项，即，且上述的每一项均在数列中，所以，，，，即，所以，所以.故答案为：；.16、##【解析】根据题设条件可得坐标，代入椭圆方程后可求椭圆的离心率.【详解】因为，故，，且在轴的正半轴上，则在第二象限中，故，代入椭圆方程有：即，故，故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）4（2）【解析】（1）根据纯虚数，实部为零，虚部不为零列式即可；（2）根据第三象限，实部小于零，虚部小于零，列式即可.【小问1详解】因为为纯虚数,所以解得或，且且综上可得,当为纯虚数时;【小问2详解】因为在复平面内对应的点位于第三象限,解得或，且即,故的取值范围为.18、（1）；（2）（i），，；（ii）.【解析】（1）推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式；（2）（i）利用对数函数的单调性结合题中定义可求得、、的值；（ii）分别解不等式、、，结合题中定义可求得数列的前项的和.【小问1详解】解：因为，，则，可得，，可得，以此类推可知，对任意的，.由，变形为，是一个以为公差的等差数列，且首项为，所以，，因此，.【小问2详解】解：（i），则，，则，故，，则，故；（ii），当时，即当时，，当时，即当时，，当时，即当时，，因此，数列的前项的和为.19、（1）证明见解析.（2）存在点，为线段中点【解析】（1）根据线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，即可证得平面平面；（2）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）在直角梯形中，作于于，连接，则，，则，，则，在直角中，可得，则，所以，故，且折叠后与位置关系不变.又因为平面平面，且平面平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）在中，由，为的中点，可得.又因为平面平面，且平面平面，所以平面，则以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，则，，设平面的法向量为，则，令，可得平面的法向量为，假设存在点使平面与平面所成角的余弦值为，且()，∵，∴，故，又，∴，又由，设平面的法向量为，可得，令得，∴，解得，因此存在点且为线段中点时使平面与平面所成角的余弦值为.本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解及应用，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20、（1），（2）【解析】（1）根据茎叶图得甲班中位数为，由此能求出，根据由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，乙班86分以有2人，从86分以上(不含86分)的同学中随机抽出两名，用列举法写出基本事件总数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.【小问1详解】根据茎叶图可知1班中位数为86，则，又∵，且故【小问2详解】由（1）可知，甲班86分以上有2人，乙班86以上有2人设甲班86分以上2人为，，乙班86分以上2人为，，从中任取两名同学共有，，，，,共有6组基本事件，且每组出现都是等可能的记：“从86分以上（不含86分）的同学中随机抽出两名，两人都来自甲班”为事件M，事件M包括：共1个基本事件，由古典概型的计算概率的公式知∴所以两人都来自甲班的概率为21、（1）（2）分布列见解析；【解析】（1）利用组合的知识计算出基本事件总数和满足题意的基本事件数，根据古典概型概率公式求得结果；（2）确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可计算出每个取值对应的概率，进而得到分布列和数学期望.【小问1详解】名同学中，会法语的人数为人，从人中选派人，共有种选法；其中恰有人会法语共有种选法；选派的人中恰有人会法语的概率.【小问2详解】由题意可知：所有可能的取值为，；；；；的分布列为：数学期望为22、（1）（2）①证明见解析；②【解析】（1）根据题意得，，解方程即可；（2）①设直线：，直线：，联立曲线分别求出点和的坐标，求直线方程判断定点即可；②根据题意得，代入求最值即可.【小问1详解】根据题意得，，，又，三个式