四川省绵阳市重点高中2021-2022学年高二上学期期中联考 数学（理）试题

2020级高二上期半期联合考试理科数学满分：150分考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．质检机构为检测一大型超市某商品的质量情况，从编号为1~120的该商品中利用系统抽样的方法抽12件进行质检，若所抽样本中含有编号67的商品，则下列编号一定被抽到的是A．55 B．57 C．59 D．612．若直线与以，为端点的线段有公共点，则实数的取值范围是A．B．C． D．3．更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种求最大公约数算法，下图是该算法的程序框图，如果输入，，则输出的值是A．17B．34 C．36D．684．圆截直线的最短弦长为A．B．C． D．5．已知A（0，0，1），B（3，0，0），C（0，2，0），则原点到平面ABC的距离是A．B．C．1D．6．已知平行六面体的各棱长均为，，，则A．B．C． D．7．过点且与两坐标轴围成的三角形面积为4的直线的条数为A．1 B．2 C．3 D．48．l1，l2是分别经过两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程为A．B．C． D．9．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A．B．C． D．10．某校将举办秋季体育文化节，为了解该校学生的身体状况，抽取部分男生和女生的体重，将男生体重数据整理后，作出了频率分布直方图，已知图中从左到右前三个小组频率之比为，第二小组频数为13，若全校男、女生比例为，则全校抽取的学生人数为A．32B．80 C．45D．10011．已知，，圆上有且仅有一个点P满足，则r的取值可以为A．1B．2C．3D．412．如图，在长方体中，，，是侧面上的动点，且，记点到平面为，则的最大值为A．B．C． D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．某学校高一､高二､高三年级的学生人数之比为2∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为54的样本，则应从高三年级抽取____▲_______名学生.14．有一组数据：，1，2，3，4，其平均数是2，则其标准差是_____▲_____.已知空间直角坐标系中三点，则三角形的面积为▲.16.直线与圆相交于两点，点为圆心，且则▲.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分）17．过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：和l2：截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.18．某种产品的广告费支出与销售额（单位：百万元）之间有如表对应数据：245683040605070参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：，.（1）画出散点图；（2）求线性回归方程；（3）预测当广告费支出7（百万元）时的销售额.19．已知圆的方程为：.（1）试求的值，使圆的周长最小；（2）求与满足（1）中条件的圆相切，且过点的直线方程.20．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是上一点，且.（1）求点到平面的距离；（2）求异面直线与的夹角余弦.21．如图所示，在四棱锥中，平面，，，，为的中点．（1）求证平面；（2）若点为的中点，点在线段上，且，当平面平面时，求的值．已知过的直线与圆：相交于不同两点，且点在轴下方，点．（1）求直线的斜率的取值范围;（2）证明：;（3）求三角形面积的最大值.

2020级高二上期半期联合考试理科数学答案选择题BCBCBACABDAD二、填空题13．14．15．16.三.解答题（本题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分）.17．过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：和l2：截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.【答案】

【详解】设l1与l的交点为A(a，8-2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(-a，2a-6)在l2上，

代入l2的方程得:-a-3(2a-6)＋10＝0，解得a＝4，…………5分

即点A(4，0)在直线l上，∴直线l的方程为即x＋4y-4＝0.…………10分

18．某种产品的广告费支出与销售额（单位：百万元）之间有如表对应数据：245683040605070参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：，.（1）画出散点图；（2）求线性回归方程；（3）预测当广告费支出7（百万元）时的销售额.【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）销售额为百万元.【详解】（1）画出散点图如图所示：…………3分

（2）由表中数据，计算，，，，则，，所以关于的线性回归方程是；…………8分（3）当时，，所以预测当广告费支出7百万元时，销售额为63百万元.…………12分19．已知圆的方程为：.（1）试求的值，使圆的周长最小；（2）求与满足（1）中条件的圆相切，且过点的直线方程.【答案】（1）；（2）或.【详解】（1），配方得：，当时，圆的半径有最小值2，此时圆的周长最小..…………5分（2）由（1）得，，圆的方程为：.当直线与轴垂直时，，此时直线与圆相切，符合条件；..…………7分当直线与轴不垂直时，设为，由直线与圆相切得：，解得，所以切线方程为，即.综上，直线方程为或...…………12分20．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是上一点，且.（1）求点到平面的距离；（2）求异面直线与的夹角余弦.【答案】（1）；（2）【详解】（1）以A为原点建立空间直角坐标系如图所示：则B（2，0，0），P（0，0，4），C（2，4，0），D（0，4，0），面，且面，，又，面，又面，又，面，又面，，又，则点为中点，故点，设面的一个法向量为，，即，不妨设，得，所以点到平面的距离为；..…………8分（2），则，则异面直线与的夹角余弦为...…………12分21．如图所示，在四棱锥中，平面，，，，为的中点．（1）求证平面；（2）若点为的中点，点在线段上，且，当平面平面时，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【详解】（1）因为平面，所以，又，，所以平面，又，所以面，面，．又，为的中点，所以，而，所以平面．..…………5分（2）以A为坐标原点，所在方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，．所以，设（），所以，则，所以，，设平面的法向量为，则，，即，令，则，由（1）可知为平面的一个法向量，因为平面平面，则，即，解得．...…………12分已知过的直线与圆：相交于不同两点，且点在轴下方，点．（1）求直线的斜率的取值范围;（2）证明：;（3）求三角形面积的最大值.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．【详解】解:（Ⅰ）由题知，故设直线的方程为∴由得∵直线与圆：相交于不同两点∴，即∴直线的斜率的取值范围为