广东省潮州市湘桥区南春中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题（解析版）

第1页/共1页2021～2022学年度第一学期高二级期中考试数学科问卷本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．一、单选题：（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出直线的斜率后可求直线的倾斜角.【详解】直线的斜率为，故其倾斜角满足，而，故，故选：D.2.若直线：与互相平行，且过点，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由两条直线平行得到斜率，进而通过点斜式求出直线方程.【详解】由题意，的斜率为，则的斜率为，又过点，所以的方程为：.故选：C.3.圆的圆心到直线的距离为（）A.2 B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】由圆的方程可得圆心坐标，再由点到直线的距离公式求解即得.【详解】由圆可得圆心坐标为：(-1，2)，所以圆心到直线的距离为.故选：B4.P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（）A.1 B.3 C.5 D.9【答案】A【解析】【分析】首先将椭圆方程化成标准形式，进而得出椭圆长半轴长，再根据椭圆定义即可求解.【详解】解：对椭圆方程变形得，易知椭圆长半轴的长为4，由椭圆的定义可得,又，故.故选：A.5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知下列各式：①；②；③；④.其中运算的结果为向量的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断选项即可.【详解】①：，故①正确；②：，故②正确；③：，故③正确；④：，故④正确.所以4个式子的运算结果都是，故选：D.6.经过圆的圆心，且和直线垂直的直线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由圆的方程写出圆心坐标，根据与垂直，写出直线方程即可.【详解】由题设，圆的方程可化为，即圆心为，∴过圆心且垂直于的直线方程为，整理得.故选：B7.正方体中，分别是的中点，则直线与所成角的大小是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积求出异面直线与所成角的大小．【详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系；设棱长为2，则，0，，，2，，，1，，，0，，，2，，，1，；∴，∴，即，异面直线与所成的角的大小是．故选：D．8.在平面直角坐标系中，动圆与直线相切，则面积最大的圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求得直线过定点，由圆心到直线的距离等于半径，要使得这个距离最大，可得最大距离为圆心到定点的距离．由此可得圆半径，得圆方程．【详解】解：根据题意，直线，恒过定点，动圆，其圆心为，半径为，若圆的面积最大，即圆心到直线的距离最大，且其最大值，即圆的面积最大时，圆的半径，此时圆的方程为：，故选：B．二、多选题：（本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.（多选）已知直线l经过点，且点到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】由题可知直线l的斜率存在，所以设直线l的方程为，然后利用点到直线的距离公式列方程，可求出直线的斜率，从而可得直线方程【详解】当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即．由已知得，所以或，所以直线l的方程为或．故选：AB【点睛】此题考查直线方程的求法，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）A.两条不重合直线，的方向向量分别是，，则B.两个不同的平面，的法向量分别是，，则C.直线的方向向量，平面的法向量是，则D.直线的方向向量，平面的法向量是，则【答案】AB【解析】【分析】利用方向向量、法向量之间的共线关系或垂直关系，判断线线、线面的位置关系即可.【详解】解：A项，因为，，即，且直线，不重合，所以，故A项正确；B项，因为，，即，所以，所以，故B项正确；C项，因为，，即，所以，所以，故C项错误；D项，因为，，即，所以，所以，故D项错误.故选：AB.11.已知平面过点，其法向量，则下列点不在内的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由法向量与平面的任意向量垂直判断．【详解】A．，，，在平面内；B．，，，不在平面内；C．，，，不在平面内；D．，，，不在平面内；故选：BCD．12.设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是（）A.|PF1|＋|PF2|＝2B.离心率e＝C.△PF1F2面积的最大值为D.以线段F1F2为直径的圆与直线相切【答案】AD【解析】【分析】由椭圆定义可判断A；求出离心率可判断B；当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，求出可判断C；求出圆心到直线距离可判断D.【详解】对于A，由椭圆的定义可知，故A正确；对于B，由椭圆方程知，所以离心率，故B错误；对于C，，当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，最大值为，故C错误；对于D，以线段F1F2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为c＝1，圆心到直线的距离为＝1，即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F1F2为直径的圆与直线相切，故D正确.故选：AD.三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.）13.若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】根据方程表示焦点在y轴上的椭圆列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】由于方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以，解得，所以的取值范围是.故答案为：14.已知长方体中，，，，为的中点，则点到平面的距离为________．【答案】【解析】【分析】利用空间向量的知识，点到平面的距离可用公式来求，其中为平面的法向量，为平面上任意一点到为终点的向量．【详解】解：以为坐标原点，射线、、依次为、、轴，建立空间直角坐标系，则点，2，，，0，，，0，，，4，，从而，0，，，2，，，4，，设平面的法向量为，，，由可得，令，所以点到平面的距离为：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了向量法求直线与平面所成角，以及点到平面的距离．属于立体几何的常规题，属于中档题．15.已知P为圆上任意一点，A，B为直线上的两个动点，且，则面积的最大值是___________．【答案】3【解析】【分析】直接利用直线和圆的位置关系，利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】解：根据圆的方程，圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最大距离，此时最大面积．故答案为：．16.为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站只能建在与村相距，且与村相距的地方.已知村在村的正东方向，相距，村在村的正北方向，相距，则垃圾处理站与村相距__________．【答案】2或7##7或2【解析】【分析】由条件建立平面直角坐标系，由条件，求出点的轨迹方程，进一步求出其位置，再由两点距离公式求.【详解】以为为坐标原点，为x轴建立平面直角坐标系，则．由题意得处理站在以为圆心半径为5的圆A上，同时又在以为圆心半径为的圆C上，两圆的方程分别为和．，解得或．∴垃圾处理站的坐标为或，∴或，即垃圾处理站与村相距或．答案：2或7四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17已知直线．（1）若，求实数a的值；（2）当时，求直线与之间的距离．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由垂直可得两直线系数关系，即可得关于实数a的方程.（2）由平行可得两直线系数关系，即可得关于实数a的方程，进而可求出两直线的方程，结合直线的距离公式即可求出直线与之间的距离.【详解】（1）由知，解得．（2）当时，有，解得．此时，即，则直线与之间的距离．【点睛】本题考查了由两直线平行求参数，考查了由两直线垂直求参数值，属于基础题.18.已知点M(0，3)，N(-4，0)及点P(-2，4)；（1）若直线l经过点P且lMN，求直线l的方程；（2）求△MNP的面积.【答案】（1）；（2）5.【解析】【分析】（1）先求出直线的斜率，运用点斜式求出直线l的方程；（2）求出直线的方程，运用点到直线的距离公式计算出三角形的高，即可求出三角形面积.【详解】解：（1）由题意可得：，直线的方程为，即则直线l的方程为（2）由题意可得直线MN的方程为：，即，点P到直线MN的距离为，，△MNP的面积△MNP的面积为5【点睛】关键点点睛：求直线l的方程关键是求出直线的斜率，这样可以运用点斜式求出直线方程，要计算三角形面积就要先求出三角形的底和高，然后再求面积.19.已知三点在圆C上，直线，（1）求圆C方程;（2）判断直线与圆C的位置关系；若相交，求直线被圆C截得的弦长．【答案】（1）（2）直线与圆C相交，弦长为【解析】【分析】（1）圆C的方程为:，再代入求解即可；（2）先求解圆心到直线的距离可判断直线与圆C相交，再用垂径定理求解弦长即可【小问1详解】设圆C的方程为:，由题意得:，消去F得:，解得:，∴F=-4，∴圆C的方程为:.【小问2详解】由（1）知:圆C的标准方程为:，圆心，半径;点到直线的距离，故直线与圆C相交，故直线被圆C截得的弦长为20.如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面；（2）求平面与平面夹角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理可知，要证平面C1DE，只需证明即可.（2）以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为轴正方向,的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系，利用空间向量求解两平面的法向量，即可求解两个平面夹角的正弦值.【小问1详解】证明：连接．因为分别为的中点，所以，且．又因为为的中点，所以．由题设知，可得，故，因此四边形MNDE为平行四边形，．又平面EDC1，平面EDC1，所以平面C1DE．【小问2详解】解：由已知可得DE⊥DA．以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为轴正方向,的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则，，，，，，，．设为平面A1MA的法向量，则，所以可取．设为平面A1MN的法向量，则所以可取.于是，.所以平面AMA1与平面NMA1夹角的正弦值为．21.已知过点的圆M的圆心为，且圆M与直线相切．求圆M的标准方程；若过点且斜率为k的直线l交圆M于A，B两点，若的面积为，求直线l的方程．【答案】(1)．(2)．【解析】【分析】根据题意设出圆的方程：，因为圆M与直线相切，得，求出a，r进而得出圆的标准方程．求出，及点P到直线l的距离，表示出，求出斜率k，进而得出直线方程．【详解】设圆M的标准方程为：，则圆心M到直线的距离为，由题意得，解得或舍去，所以，所以圆M方程为．设直线l的方程为，则圆心M到直线l的距离为，，又点到直线l的距离为，，解得，，则直线方程为．【点睛】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.在直角坐标系中，椭圆的焦点分别为，经过且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，．（1）求椭圆M的