专题06垂直平分线（解析版）

专题06垂直平分线考向考向一：线段平分线的性质考向二：线段平分线的判定考向三：线段平分线性质的实际应用考向四：作线段平分线一、线段平分线的性质1．（2022·河北石家庄·八年级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为（

）A．8 B．11 C．16 D．17【详解】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴△ACE的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=5+6=11．故选B．2．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市梅里斯达斡尔族区八年级期末）如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝（

）A．50° B．100° C．120° D．130°【详解】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠A＝50°，∴∠BDC＝∠DCA+∠A＝100°，故选：B．3．（2022·山东青岛·八年级期末）如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【详解】∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AN=BN，∵△BCN的周长是7cm，∴BN+NC+BC=7（cm），∴AN+NC+BC=7（cm），∵AN+NC=AC，∴AC+BC=7（cm），又∵AC=4cm，∴BC=7﹣4=3（cm）．故选C．二、线段平分线的判定1．（2022·湖南衡阳·八年级期末）如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O．在直线EF上任取一点P（不与O重合），连接PA，PB，则下列结论不一定成立的是（

）A． B． C． D．【详解】由作图可知，EF垂直平分AB，，故A选项正确；，故B选项正确；，故C选项错误；，故D选项正确，故选C．2（2022·辽宁盘锦·八年级期末）在锐角三角形ABC内一点P，满足PA=PB=PC，则点P是△ABC（

）A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点【详解】∵PA=PB，∴P在AB的垂直平分线上，同理P在AC，BC的垂直平分线上．∴点P是△ABC三边垂直平分线的交点．故选D．3．（2022·北京亦庄实验八年级期末）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（

）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB【详解】解：∵AC＝AD，BC＝BD，∴点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，∴AB是CD的垂直平分线．即AB垂直平分CD．故选：A4．（2022·河北·石家庄市栾城区教育局教研室八年级期末）如图，直线与线段交于点，点在直线上，且，则下列结论正确的有（

）①；②；③；④点在线段的垂直平分线上．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【详解】点在线段的垂直平分线上根据现有条件无法判断①；②；③故选：A．三、线段平分线性质的实际应用1．（2022·河南·驻马店市第二初级八年级期末）三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（

）A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点【详解】解：∵三角形的三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，∴凳子应放在△ABC的三边中垂线的交点最适当．故选：D．2．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建（）A．A处 B．B处 C．C处 D．D处【详解】如图，可知两个圆弧交点所连直线为线段MN的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可得发射塔应该在C处，故选：C．3．（2022·河北廊坊·八年级期末）如图．已知在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，连接AE．若△ABE的周长为13，则AB＋BC的值为（

）A．10 B．13 C．16 D．18【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AE=CE，∵△ABE的周长是13，即AB+BE+AE=13，∴AB+BC=AB+BE+CE=AB+BE+AE=13，∴AB＋BC的值为13．故选：B．四、作线段平分线1．（2022·福建省尤溪县八年级期末）观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是（）A．B．C．D．【详解】解：作AB边的垂直平分线，交AB于点D，连接CD，∴点D即为线段AB的中点，∴CD为△ABC的边AB上的中线．故选：B．2．（2022·河北唐山·八年级期末）如图，已知直线AB和AB上的一点C，过点C作直线AB的垂线，步骤如下：第一步：以点C为圆心，以任意长为半径作弧，交直线AB于点D和点E；第二步：分别以点D和点E为圆心，以为半径作弧，两弧交于点F；第三步：作直线CF，直线CF即为所求．下列关于的说法正确的是（

）A．≥ B．≤ C． D．【详解】解：由作图可知，分别以点和点为圆心，以为半径作弧，两弧交于点，此时，故选：．3．（2022·吉林·长春外国语八年级期末）下列选项中的尺规作图（各图中的点P都在△ABC的边上），能推出PA＝PC的是（）A．B．C． D．【详解】解：A．由此作图知CA＝CP，不符合题意；B．由此作图知BA＝BP，不符合题意；C．由此作图知∠ABP＝∠CBP，不能得到PA＝PC，不符合题意；D．由此作图知PA＝PC，符合题意；故选：D．一、单选题1．（2022·内蒙古·乌拉特前旗第三八年级期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．A．1 B．2 C．3 D．4【详解】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确．②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确．③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD．∴点D在AB的中垂线上．故③正确．④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，∴CD=AD．∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD．∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD．∴S△DAC：S△ABC．故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．故选D．2．（2022·辽宁抚顺·八年级期末）如图，在中，DE是AC的垂直平分线，，的周长为13cm，则的周长为（

）A．16cm B．13cm C．19cm D．10cm【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，，∴，，∵的周长为13cm，∴，∴，∴的周长为，故选：C．3．（2022·河南新乡·八年级期末）如图，在中，，，，，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则周长的最小值是（

）A．7 B．6 C．12 D．8【详解】解：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，设AC交EF于D，∴当P和D重合时，即A、P、C三点共线时，AP+BP的值最小，∵EF垂直平分BC，∴AD=CD，∴AD+BD=AD+CD=AC=4，∴△ABP周长的最小值是AB+AC=3+4=7，故A正确．故选：A．4．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧交于、于，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于，下列四个结论：①是的平分线；②；③点在的中垂线上；④．其中正确的有（）A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有①③④ D．①②③④【详解】解：根据作图过程可知是的角平分线，①正确；∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAC=∠DAB=30°，∴∠ADC=60°，故②正确；∵∠B=30°，∠DAB=30°，∴AD=DB，∴点D在AB的中垂线上，故③正确；∵∠CAD=30°，∴CD=AD，∵AD=DB，∴CD=DB，∴CD=CB，S△ACD=CD•AC，S△ACB=CB•AC，∴S△ACD：S△ACB=1：3，故④正确，故选D．5．（2022·河北保定·八年级期末）如图是李老师在黑板上演示的尺规作图及其步骤，已知钝角，尺规作图及步骤如下：步骤一：以点为圆心，为半径画弧；步骤二：以点为圆心，为半径画弧，两弧交于点；步骤三：连接，交延长线于点．下面是四位同学对其做出的判断：小明说：；小华说：；小强说：；小方说：．则下列说法正确的是（

）A．只有小明说得对 B．小华和小强说的都对C．小强和小方说的都不对 D．小明和小方说的都对【详解】如图，连接CD、BD，则：CA=CD，BA=BD，∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，即直线BC是线段AD的垂直平分线，∴BH⊥AD，且AH=DH，即小明与小方的说法正确，∵CA不一定平分∠BAH，故小华的说法错误，∵点C不一定是BH的中点，故小强的说法错误，综上所述，小明与小方的说法正确，故选：D.6．（2022·上海·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H，AD平分∠BAC，与CH相交于点D，过点D作DE∥BC，与边AB相交于点E，那么下列结论中一定正确的是（

）A．DA=DE B．AC=EC C．AH＝EH D．CD＝ED【详解】解：可以分析出A、B、C选项任何一个成立，那么都可以得到CH是AE的垂直平分线，那么就可以推出其他两个选项也都成立，但这是不可能的，所以A、B、C都不一定正确，D选项一定正确，证明如下：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵AD平分，∴，在和中，，∴，∴．故选：D．7．（2022·上海·上外附中八年级期末）如图，在中，的垂直平分线交边于点的垂直平分线交边于点，若，则的度数为

．A． B． C． D．【详解】∵的垂直平分线交边于点的垂直平分线交边于点，∴，∴，∵∴∵∴∴∴∴故选：B．二、填空题8．（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）如图，在中，，，垂直平分，垂足为Q，交于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线．若与的夹角为，则________°．【详解】如图，∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，，，，∵是的平分线，，是的垂直平分线，是直角三角形，，，∵∠α与∠1是对顶角，．故答案为：55°．9．（2022·河北保定·八年级期末）如图：点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为___________．【详解】∵P点关于OA的对称是点P1，P点关于OB的对称点P2，∴OB垂直平分PP1，OA垂直平分PP2，∴PM=P1M，PN=P2N，∴△PMN的周长为PM+PN+MN=MN+P1M+P2N=P1P2=15，故答案为：15.10．（2022·辽宁·丹东市第十九八年级期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为13cm．分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为27cm，则OA的长为______cm．【详解】解：连接OB，OC，∵OM是线段AB的垂直平分线，∴，，∵ON是AC的垂直平分线，∴，，∴．∵的周长13cm，∴cm，∴cm．∵的周长为27cm，∴cm，∴cm，∴cm．故答案为：7．11．（2022·上海·上外附中八年级期末）锐角中，，AB的垂直平分线与的垂直平分线交于点，则____________【详解】解：如图，根据直平分线的性质可得，∵∴∴∴故答案为：136°三、解答题12．（2022·宁夏固原·八年级期末）有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）【详解】解：连接A,B两点，作AB的垂直平分线，作两直线交角的角平分线，交点有两个．（1）作两条公路夹角的平分线OD或OE；（2）作线段AB的垂直平分线FG；则射线OD，OE与直线FG的交点C1，C2就是所求的位置．13．（2022·黑龙江大庆·八年级期末）如图，已知△ABC的BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G，求证：（1）BF＝CG；（2）AB+AC＝2AG．【详解】（1）证明：连接BE、EC，∵ED⊥BC，D为BC中点，∴BE＝EC，∵EF⊥AB，EG⊥AG，且AE平分∠FAG，∴FE＝EG，在Rt△BFE和Rt△CGE中，，∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），∴BF＝CG；（2）在Rt△AFE与Rt△AGE中，，∴Rt△AF