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文档简介
浙江省杭十四中2024届高二数学第一学期期末考试试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知数列满足,,在()A.25 B.30C.32 D.642.已知椭圆的左焦点是,右焦点是,点P在椭圆上,如果线段的中点在y轴上,那么()A.3:5 B.3:4C.5:3 D.4:33.已知数列满足,,则()A. B.C.1 D.24.已知抛物线的焦点为F,过点F作倾斜角为的直线l与抛物线交于两点,则POQ(O为坐标原点)的面积S等于()A. B.C. D.5.以下四个命题中,正确的是()A.若,则三点共线B.C.为直角三角形的充要条件是D.若为空间的一个基底,则构成空间的另一个基底6.对于实数a,b,c,下列命题为真命题的是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则7.曲线与曲线的A.长轴长相等 B.短轴长相等C.离心率相等 D.焦距相等8.某家庭准备晚上在餐馆吃饭,他们查看了两个网站关于四家餐馆的好评率,如下表所示,考虑每家餐馆的总好评率,他们应选择()网站①评价人数网站①好评率网站②评价人数网站②好评率餐馆甲100095%100085%餐馆乙1000100%200080%餐馆丙100090%100090%餐馆丁200095%100085%A.餐馆甲 B.餐馆乙C.餐馆丙 D.餐馆丁9.若集合,,则A. B.C. D.10.设抛物线的焦点为,点为抛物线上一点,点坐标为,则的最小值为()A. B.C. D.11.19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日,创立了画法几何学,推动了空间几何学的独立发展,提出了著名的蒙日圆定理:椭圆的两条切线互相垂直,则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上,称为蒙日圆,且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点,则b的值为()A. B.C. D.12.若是双曲线的左右焦点,是坐标原点.过作的一条渐近线的垂线,垂足为,若,则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知直线:和:,且,则实数__________,两直线与之间的距离为__________14.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点,焦点,均在轴上,且,的面积为,则的标准方程为______15.已知向量,,若,则实数m的值是___________.16.若关于的不等式的解集为R,则的取值范围是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列中,.(1)证明是等比数列,并求通项公式;(2)设,记数列的前n项和为,求使恒成立的最小的整数k.18.(12分)已知点关于直线的对称点为Q,以Q为圆心的圆与直线相交于A,B两点,且(1)求圆Q的方程;(2)过坐标原点O任作一直线交圆Q于C,D两点,求证:为定值19.(12分)已知数列满足:(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前n项和为.若对恒成立.求正整数m的最大值20.(12分)已知椭圆的离心率为,以坐标原点为圆心,以椭圆M的短半轴长为半径的圆与直线有且只有一个公共点(1)求椭圆M的标准方程;(2)过椭圆M的右焦点F的直线交椭圆M于A,B两点,过F且垂直于直线的直线交椭圆M于C,D两点,则是否存在实数使成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由21.(12分)已知,(1)若,p且q为真命题,求实数x的取值范围;(2)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围22.(10分)已知椭圆,离心率为,短半轴长为1(1)求椭圆C的方程;(2)已知直线,问:在椭圆C上是否存在点T,使得点T到直线l的距离最大?若存在,请求出这个最大距离;若不存在,请说明理由
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据题中条件,得出数列公差,进而可求出结果.【详解】由得,所以数列是以为公差的等差数列,又,所以.故选:A.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量运算,属于基础题型.2、A【解析】求出椭圆的焦点坐标,再根据点在椭圆上,线段的中点在轴上,求得点坐标,进而计算,从而求解.【详解】由椭圆方程可得:,设点坐标为,线段的中点为,因为线段中点在轴上,所以,即,代入椭圆方程得或,不妨取,则,所以,故选:A.3、C【解析】结合递推关系式依次求得的值.【详解】因为,,所以,得由,得.故选:C4、A【解析】由抛物线的方程可得焦点的坐标,由题意设直线的方程,与抛物线的方程,联立求出两根之和及两根之积,进而求出,的纵坐标之差的绝对值,代入三角形的面积公式求出面积【详解】抛物线的焦点为,,由题意可得直线的方程为,设,,,,联立,整理可得:,则,,所以,所以,故选:A5、D【解析】利用向量共线的推论可判断A,利用数量积的定义可判断B,利用充要条件的概念可判断C,利用基底的概念可判断D.【详解】对于A,若,,所以三点不共线,故A错误;对于B,因为,故B错误;对于C,由可推出为直角三角形,由为直角三角形,推不出,所以为直角三角形的充分不必要条件是,故C错误;对于D,若为空间的一个基底,则不共面,若不能构成空间的一个基底,设,整理可得,即共面,与不共面矛盾,所以能构成空间的另一个基底,故D正确.故选:D.6、D【解析】判断不等式的真假,就是要考虑在不等式的变形过程中是否遵守不等式变形的规则.【详解】若,令,,,,,故A错误;若,令c=0,则,故B错误;若,令a=-1,b=-2,,,故C错误;∵,故,根据不等式运算规则,在不等式的两边同时乘以或除以一个正数,不等式的方向不变,故D正确.故选:D.7、D【解析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距,即可判断【详解】解:曲线表示焦点在轴上,长轴长10,短轴长为6,离心率为,焦距为8曲线表示焦点在轴上,长轴长为,短轴长为,离心率为,焦距为8对照选项,则正确故选:【点睛】本题考查椭圆的方程和性质,考查运算能力,属于基础题8、D【解析】根据给定条件求出各餐馆总好评率,再比较大小作答.【详解】餐馆甲的总好评率为:,餐馆乙的总好评率为:,餐馆丙的好评率为:,餐馆丁的好评率为:,显然,所以餐馆丁的总好评率最高.故选:D9、A【解析】通过解不等式得出集合B,可以做出集合A与集合B的关系示意图,可得出选项.【详解】因为,解不等式即,所以或,所以集合,作出集合A与集合B的示意图如下图所示:所以:,故选A【点睛】本题考查集合间的交集运算,属于基础题.10、B【解析】设点P在准线上的射影为D,则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|,进而把问题转化为求|PM|+|PD|的最小值,即可求解【详解】解:由题意,设点P在准线上的射影为D,则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|,所以要求|PM|+|PF|的最小值,即求|PM|+|PD|的最小值,当D,P,M三点共线时,|PM|+|PD|取得最小值为故选:B11、B【解析】由题意求出蒙日圆方程,再由两圆只有一个交点可知两圆相切,从而列方程可求出b的值【详解】由题意可得椭圆的蒙日圆的半径,所以蒙日圆方程为,因为圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点,所以两圆相切,所以,解得,故选:B12、D【解析】根据已知条件,找出,的齐次关系式即可得到双曲线的离心率.【详解】由题意得,,,在中,,因,故,在,由余弦定理得,即,计算得,故.故选:D.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出a,c,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、①.-4;②.2【解析】根据两直线平行斜率相等求解参数即可;运用两平行线间的距离公式计算两直线之间的距离可得出答案.【详解】解:直线和,,,解得;∴两直线与间的距离是:.故答案为:;2.14、【解析】利用待定系数法列出关于的方程解出即可得结果.【详解】设的标准方程为,则解得所以的标准方程为故答案为:.15、【解析】结合已知条件和空间向量的数量积的坐标公式即可求解.【详解】因为,所以,解得.故答案为:.16、【解析】分为和考虑,当时,根据题意列出不等式组,求出的取值范围.【详解】当得:,满足题意;当时,要想保证关于的不等式的解集为R,则要满足:,解得:,综上:的取值范围为故答案为:三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析,(2)4【解析】(1)由,得到,利用等比数列的定义求解;(2)由(1)得到,然后利用错位相减法求解.【小问1详解】证明:由,得,∴,∴数列是以3为公比,以为首项的等比数列,∴,即.【小问2详解】由题意得.,两式相减得:,因为,所以,所以使恒成立的最小的整数k为4.18、(1)(2)证明见解析【解析】(1)先求出点坐标,然后根据圆心到直线的距离公式及的值求出半径即可求得圆的方程.(2)设出直线方程,联立圆和直线方程利用韦达定理来求解.【小问1详解】解:点关于直线的对称点Q为由Q到直线的距离,所以所以圆的方程为【小问2详解】当直线CD斜率不存在时,,所以.当直线CD斜率存在时,设为k,则直线为,记,联立,得所以,综上,为定值519、(1);(2)2021.【解析】(1)求出公比和首项即可.(2)利用错位相减法,求出,再作差求出递增,即可求解.【详解】(1)因为数列满足:,所以,设的公比为q,可得,又,即,解得,所以;(2),,,上面两式相减可得,化简可,因为,所以递增,最小,且为所以,解得,则m的最大值为202120、(1)(2)存在,【解析】(1)求出后可得椭圆的标准方程.(2)设直线,联立直线方程和椭圆方程,消元后利用韦达定理可用表示,从而可求的值.【小问1详解】据题意,得,∴,∴所求椭圆M的标准方程为【小问2详解】据(1)求解知,点F坐标为若直线的斜率存在,且不等于0,设直线据得设,则,∴同理可求知,∴,∴,即此时存满足题设;若直线的斜率不存在,则;若直线的斜率为0,则,此时若,则综上,存在实数,且使21、(1);(2).【解析】(1)解一元二次不等式可得命题p,q所对集合,再求交集作答.(2)求出命题q所对集合,再利用集合的包含关系列式计算作答.【小问1详解】解不等式得:,则命题p所对集合,当时,解不等式得:,则命题q所对集合,由p且q为真命题,则,所以实数x的取值范围是.【小问2详解】解不等式得:,则命题q所对集合,因p是q的充分条件,则,于是得,解得,所以实数m的取值范围是.22、(1);(2)存在,最大距离为.,理由见解析【解析】(1)根据离心率及短轴长求椭圆参数,即可得椭圆
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