第12章全等三角形（知识清单）（14个考点梳理典型例题核心素养提升中考热点聚焦）（原卷版）

第12章全等三角形（知识清单）（14个考点梳理+典型例题+核心素养提升+中考热点聚焦）【知识导图】【知识清单】考点1.全等形的概念（重点）形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.【例1】（2022秋•西乡塘区校级期末）下列四个图形中，属于全等图形的是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．全部考点2.全等三角形的概念和表示方法（重点）能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.2.对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.3.找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.【例2】（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）下列说法正确的是（

）A．两个直角三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等C．全等三角形的面积一定相等 D．面积相等的两个三角形全等考点3全等三角形的性质（重点）全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【例3】（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，，若，则的长度为（）A．2 B．5 C．10 D．15考点4.三角形全等的基本事实：边边边（重点）三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.【例4】（2022秋·福建龙岩·八年级校联考期中）如图，，，求证：．考点5.用直尺和圆规作一个角等于已知角【例5】（2023春·安徽宿州·八年级校考期中）已知，求作．(不要求写作法，但是必须保留作图痕迹)考点6.三角形全等的基本事实：边角边（重点）1.全等三角形判定——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.要点诠释：如图，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，则△ABC≌△.注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2.有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【例6】（2023春·四川达州·七年级校考期末）如图，由，，，得的根据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS考点7.三角形全等的基本事实：角边角（重点）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.考点8.三角形全等的推论：角角边（重点）1.全等三角形判定——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.【例7】（2021秋·辽宁盘锦·八年级校考期中）如图，，，连接交于点O，点E，F在线段上，且．求证：．考点9.直角三角形全等的判定方法：HL（重点）【例8】．（2023春·广东梅州·八年级校考期中）已知：如图，、是的高，且．求证：．考点10.常见全等三角形的基本图形1、截长补短有一类几何题其命题主要证明三条线段长段的“和”或“差”及其比例关系，这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已经线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段关系。有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。2、倍长中线图一图二图三3、过端点向中线作垂线一线三等角模型三垂直全等模型图一如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。结论：Rt△BDC≌Rt△CEA图二如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。结论：△BEC≌△CDA5、手拉手图一图二图三图四图五图六图七手拉手模型的定义：定义：有两个顶角相等而且有公共顶点的等腰三角形开成的图形。特别说明：其中图一、图二为两个基本图形等腰三角形，图二至图七为手拉手的基本模型，（左手拉左手，右手拉右手）如右图：手拉手模型的重要结论：结论1：∆ABC≅∆ABC=B/C结论2：∠BOB=∠BAB（利用三角形全等及顶角相等的等腰三角形底角相等）结论3：AO平分∠BOC/【例9】（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）如图（1），已知中，，，是过A的一条直线，且在的异侧，于D，于E．(1)试说明：．(2)若直线绕A点旋转到图2位置时（），其余条件不变，问与的关系如何？请直接写出结果；(3)若直线绕A点旋转到图3位置时（），其余条件不变，问与、的关系如何？请直接写出结果，不需说明．【例10】（2022秋·湖北孝感·八年级统考期中）已知：，，．(1)如图1当点在上，______．(2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（两三角形可以看成是等底的）考点11.作已知角的平分线（重点）角平分线的尺规作图

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.

（3）画射线OC.射线OC即为所求.【例11】（2023春·陕西榆林·七年级校考期末）如图，已知，利用尺规，在边上求作一点，使得.（保留作图痕迹，不写作法）考点12.角的平分线的性质（重点）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

要点诠释：

用符号语言表示角的平分线的性质定理：

若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.

【例12】（2023春•普宁市校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB，∠B＝50°，∠C＝60°．（1）求∠ADC的度数．（2）若DE＝5，点F是AC上的动点，求DF的最小值．考点13.证明几何命题的一般步骤（难点）(1)按题意画出图形.(2)分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论(3)在“证明”中写出推理过程【例13】（2022秋·山东德州·八年级校考期中）求证：三角形两外角的平分线的交点到三角形三边（或所在的直线）距离相等．要求：画图，写出已知，求证，然后写出证明过程．【例14】（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期中）证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．(1)已知：如图，，点在上，______，求证：______．请你补全已知和求证．(2)并写出证明过程．考点14.角的平分线的判定（重点）角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：

用符号语言表示角的平分线的判定：

若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB

【例15】（2023春•达川区期中）如图：AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，（1）图中EC、BF有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论．（2）连接AM，求证：MA平分∠EMF．【核心素养提升】逻辑推理——构建全等三角形进行证明【例16】．（2023春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）如图，，，，求的度数．【例17】（2022秋·福建龙岩·八年级校考期中）如图，点E在线段AB上，，，.求证：(1)；(2)．【例18】（2022秋·福建福州·八年级校考期中）（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：①延长到Q，使得；②再连接，把集中在中；③利用三角形的三边关系可得，则AD的取值范围是．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（2）请你写出图1中与的位置关系并证明．（3）思考：已知，如图2，是的中线，，，．试探究线段与的数量和位置关系并加以证明．【中考热点聚焦】热点1.三角形全等的判定1．（2023•衢州）已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．2．（2023•云南）如图，C是BD的中点，AB＝ED，AC＝EC．求证：△ABC≌△EDC．热点2.三角形全等的判定和性质的综合应用3．（2023•苏州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．（1）求证：△ADE≌△ADF；（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．4．（2023•营口）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．（1）求证：△ACE≌△BDF；（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长．5．（2023•南通）如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC．求证：∠1＝∠2．小虎同学的证明过程如下：证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°．∵∠DOB＝∠EOC，∴∠B＝∠C．……第一步又OA＝OA，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO．……第二步∴∠1＝∠2．……第三步（1）小虎同学的证明过程中，第步出现错误；（2）请写出正确的证明过程．6．（2023•陕西）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD＝AC．在边AC上截取AF＝AB，连接DF．求证：DF＝CB．7．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．8．（2023•聊城）如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．（1）求证：∠EAD＝∠EDA；（2）若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积．热点3.三角形全等的实际应用9．（2022•扬州）如图，小明家仿古家具的一块三角形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（）A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC