三角形的五心整理

三角形的五心三角形五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心（几何术语）。一、重心定义：数学上的重心是指三角形的三条中线的交点，其证明定理有燕尾定理或塞瓦定理，应用定理有梅涅劳斯定理、塞瓦定理。别名：形心重心的性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均。5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。6.三角形ABC的重心为G，点P为其内部任意一点，则3PG²=(AP²+BP²+CP²)-1/3(AB²+BC²+CA²)。7.在三角形ABC中，过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP+AC/AQ=38.从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线，所得的6个切点为Pi，则Pi均在以重心G为圆心，r=1/18(AB²+BC²+CA²)为半径的圆周上。9、G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点，则PA²+PB²+PC²=GA²+GB²+GC²+3PG²。二、外心定义：三角形的外心是指三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。外心的性质：性质一：1.锐角三角形的外心在三角形内；2.直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；3.钝角三角形的外心在三角形外.4.等边三角形外心与内心为同一点。性质二：三角形三条边的垂直平分线交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心，外心到三顶点的距离相等。三、内心定义：三角形内心指三个内角的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。内心的性质：内心的点也是这个三角形内切圆的圆心，三角形内心到三角形三条边的距离相等。四、垂心定义：三角形的三条高线所在直线的交点叫做三角形的垂心。垂心的性质：1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。2.三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。3.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。（垂心伴随外接圆，必有平行四边形）4.等边三角形的重心把三角形的高分成2:1两段，靠近顶点的那段长度为高的三分之二。(高中学习中常用知识）五、旁心定义：三角形旁切圆的圆心,简称为三角形旁心。它是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点；显然，任何三角形都存在三个旁切圆、三个旁心。旁心的性质：1.三角形的旁心是其一内角的平分线(所在直线)和其他两角的外角平分线的交点，每一个旁心到三边的距离相等。2.三角形的三个旁心与内心构成一垂心组，反过来．一个三角形的顶点与垂心是高的垂足三角形的旁心与内心。3.一个旁心与三角形三条边的端点连结所组成的3个三角形面积之比等于原三角形三条边长之比；三个旁心与三角形的一条边的端点连结所组成的三角形面积之比等三个旁切圆半径之比。

三角形五个“心”的简单介绍好久没更新了，由于我看好多人，对于三角形的五个“心”。老是混淆，今天就简单的介绍一些三角形的五个“心”。三角形的五个“心”，分别为重心、垂心、外心、内心、旁心。1、重心重心：三角形三条中线的交点。如图为的重心，由重心可得如下结论。重心是中线的三等分点，即、、。重心带三角形3个顶点距离的平方和最小即最小重心和三角形三个顶点组成的3个三角形面积相等，即2、垂心垂心：三角形三条高的交点。由于垂心的特殊性，我们将其分为三类。如图锐角三角形的垂心，为垂心（注内部偏上的点为垂心）直角三角形的垂心，为垂心钝角三角形的垂心（图片未显示，下方三条线即将交汇的点为其垂心）由图我们可以得到垂心的以下结论。锐角三角形的垂心在其三角形的内部直角三角形的垂心在其三角形的直角顶点钝角三角形的垂心在其三角形的外部重心关于三边的对称点，都在的外接圆上。上述图中的圆就为三角形的外接圆。3、内心内心：三角形三个内角的角平分线的交点，亦是三角形内切圆的圆心。如图为的内心，由内心可得如下结论三边等距，即内心到三角形三条边之间的距离相等（由角平分线的性质可得）图中的圆即为三角形的内切圆4.外心外心：三角形三条边垂直平分线的交点，亦是三角形外接圆的圆心。如图为的外心由外心可得如下结论三点等距，即外心到三角形三个顶点之间的距离相等（由垂直平分线的性质可得）锐角三角形在外心在其内部直角三角形的外心在其斜边的中点上。钝角三角形的外心在其外部图中的圆即为三角形的外接圆读者可以下去将其余的两类三角形的外心做一做感受一下。5.旁心旁心：三角形一个内角的角平分线和其剩余两个角的外角的角平分线的交点，亦是三角形旁切圆的圆心，如图为的旁心由外心可得