专题12圆锥曲线的统一定义（教师版）

专题12：圆锥曲线的统一定义<<<专题综述>>><<<专题综述>>>椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线,其方程形式为二元二次方程,从几何角度上看都是平面截圆锥面所得的截线,这就是这几种曲线的统一性,而它们的统一性还体现在定义中.圆锥曲线的定义(包括椭圆、双曲线的第一定义，椭圆、双曲线、抛物线的统一定义，是研究圆锥曲线有关问题的出发点和归宿，它反映了圆锥曲线的本质和属性，因此若能灵活运用其定义，则能使许多问题得以顺利解决。<<<专题探究>>><<<专题探究>>>题型题型一：圆锥曲线的第一定义圆锥曲线的定义是：用一平面去截割一个圆锥面，得到的截交线就称为圆锥曲线，阿波罗尼奥斯就是采用平面截割圆锥的方法进行研究的。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；继续用余下的倾斜角度的平面截割，可得到双曲线，利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面的下方，并且与平面π及圆锥均相切）。结论1：利用椭圆第一定义可证明：FA+AE=BA+AC=定值。结论2：上面一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为π',如果平面π与平面π'的交线为m，在图中椭圆上任取一点A，该Dandelin球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是（小于（称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数为离心率e）例1(2023·广东省期末·多选)圆锥曲线为什么被冠以圆锥之名?因为它可以从圆锥中截取获得.我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角θ不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.截口曲线形状与θ和圆锥轴截面半顶角α有如下关系(θ,α∈(0,π2)):当θ>α时，截口曲线为椭圆;当θ=α时，截口曲线为抛物线;当θ<α时，截口曲线为双曲线.(如图1)现有一定线段AB与平面β夹角为φ(如图2)，B为斜足，β上一动点P满足∠BAP=γ，设P点在β上的运动轨迹是Γ，则(

)

A.当φ=π4，γ=π6时，Γ是椭圆 B.当φ=π3，γ=π6时，Γ是双曲线

C.当φ=π4，γ=π【思路点拨】由∠BAP=γ知P在以A为顶点，母线与轴AB夹角为γ的圆锥侧面上，又P点在平面β上，所以P点的轨迹是平面β与圆锥侧面的交线，结合题意，对各选项分析即可．【规范解析】解：由∠BAP=γ知P在以A为顶点，母线与轴AB夹角为γ的圆锥侧面上，

又P点在平面β上，所以P点的轨迹是平面β与圆锥侧面的交线，

由题意，对各选项进行分析：

对A,因为平面

β与圆锥的轴的夹角为

π4,圆锥轴截面半顶角为

π6，由π4>π6，知Γ是椭圆，故A正确；

对B,因为平面

β与圆锥的轴的夹角为

π3,圆锥轴截面半顶角为

π6，由π3>π6，知Γ是椭圆，故B不正确；

对C,因为平面

β与圆锥的轴的夹角为

π4,圆锥轴截面半顶角为

π4,由两角相等,知Γ是抛物线,故C正确；

对D,因为平面

β与圆锥的轴的夹角为

例2(2022·辽宁省期中)如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinal dandelin(1794-1847)的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E,F，在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C,B，由球和圆的几何性质，可以知道，AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC.由B,C的产生方法可知，它们之间的距离BC是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E,F为焦点的椭圆．如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知A1A2是椭圆的长轴，PA1垂直于桌面且与球相切，PA1=5【思路点拨】根据题意易知A1A2为椭圆的长轴，长为2a，F为椭圆的左焦点，A1F=a-c【规范解析】解：易知A1A2为椭圆的长轴，长为2a，F为椭圆的左焦点，A1F=a-c，

在直角三角形PA1A2中，球的截面圆是其内切圆，

设A1A2=x，则由三角形面积不变性可得：12练1(2022·安徽省联考)古希腊数学家阿波罗尼奥斯著作《圆锥曲线论》中采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支(把圆锥面换成相应的二次锥面时，则可得到双曲线)。现有一个正方体ABCD-A1B1C1D1，点O为线段B1D1的中点，P是平面A1BD内一动点，如图所示，若直线OCA.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分【思路点拨】关键是能将立方体ABCD-A1B1C1【规范解析】解：因为直线OC与PC所成角为45°，所以点P在以CO为轴的圆锥曲线的表面上，

且是平面A1BD内一动点，连接AC交BD于点M，

则在平面ACC1A1中易得A1M//CO，所以故选C练2(2022·广东省中山市模拟)古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究曲线，如图①，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.图②，在底面半径和高均为1的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，F是线段EO的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分，则该曲线为

，M，N是该曲线上的两点且MN//CD，若MN经过点F，则|MN|=

．【思路点拨】利用平面切割圆锥的方法，结合截面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到的是抛物线，即可得到答案；建立合适的平面直角坐标，求出点C的坐标，利用待定系数法求出抛物线的标准方程，由题意可知，MN为抛物线的通径，从而求解得到答案．【规范解析】解：因为E是母线PB的中点，F是线段EO的中点，

所以OE//PA，又PA⊄截面CDE，OE⊂截面CDE，

故PA//截面CDE，

由截面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到的是抛物线，

故过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的圆锥曲线的一部分，则该曲线为抛物线；

由题意可知，PO⊥平面AOB，又OB⊂平面AOB，则PO⊥OB，

则OB=OP=OC=1，因为E为母线PB的中点，所以OE=22，

建立适当的平面直角坐标系，以E为坐标原点，BP为y轴，OE为x轴，如图所示，

则C(-22,1)，

设抛物线的方程为y2=mx，

将点C代入方程可得，1=-22m，解得m=-2，

所以抛物线的标准方程为y2=-2x，

因为M，N是该曲线上的两点且MN//CD，

则题型二：题型二：圆锥曲线的第二定义平面内到一个定点F与到一条定直线L（F不在L上）的距离的比等于常数e的点的轨迹.当0<e<1时，它表示椭圆；当e>1时，它表示双曲线；当e=1时，它表示抛物线．（其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线是圆锥曲线的准线）.椭圆、双曲线上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径.（1）椭圆焦点在x轴上时，设F1、F则PF1=a+e（2）双曲线的焦点在x轴上时，设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，Px0简记为：绝对值内看焦，左“＋”右“－”；去绝对值看支，左“－”右“＋”.即：若点P在双曲线的左支上，则PF1=-(e若点P在双曲线的右支上，则PF1=e例3(2022·江苏省南京市模拟)已知椭圆C:x225+y216=1内有一点A(2,1),F是椭圆C的左焦点，P在椭圆【思路点拨】3|PA|+5|PF| =3(|PA|+53|PF|)，即求|PA|+53|PF|的最小值.椭圆C的离心率为e=ca=3【规范解析】3|PA|+5|PF| =3(|PA|+53|PF|)，只需求|PA|+易知椭圆C的离心率为e=ca=35则由椭圆的第二定义知，53|PF|等于椭圆上的点P过点P作左准线的垂线，垂足为E,则|PA|+|PE| ≥ |AE|，当且仅当A,P,E三点共线时等号成立，此时|AE| =2-(-25故3(|PA|+53|PF|)的最小值为31，即例4(2022·江苏省南京市模拟)已知F是抛物线C:y2=4x的焦点，过点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，直线l与抛物线的准线l1交于点M，若PM=2FPA．3 B．43 C．34 D【思路点拨】设Px1,y1,Qx2,y2，【规范解析】设Px1,联立抛物线得：k2x2由直线l与抛物线准线l1交于M，则x由PM=2FP得：-1-x1=2∴PF=x1+1=4故选：A.练3(2022·江苏省南京市模拟)若椭圆x24+y23=1内有一点P(1,-1)，F是其右焦点，椭圆上一点M，使得|MP|+2|MF|值最小，则点A.(1,±32) B.(263【思路点拨】根据椭圆的标准方程得到a2、b2的值，再由c=a2-b2【规范解析】解：依题设a2=4,b2=3,c=a2-b2=1，所以，离心率e=ca=12

如图：过M点作MQ垂直于椭圆的右准线，垂足为点Q，

由椭圆的第二定义和(1)可知：|MF||MQ|=12，所以|MF|=12|MQ|，

故|MP|+2|MF|=|MP|+|MQ|，

所以当P、M、Q练4(2022·江苏省盐城市联考)过点M(4,0)的直线l与抛物线E:y2=4x交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，且与E的准线交于点C，点FA.52 B.174 C.10 【思路点拨】由题意，由三角形面积的关系可得|AC|=3|BC|，即AC=3BC，可得A，B的坐标的关系，设直线AB的方程，与抛物线的方程联立求出两根之和及两根之积，与A，【规范解析】解：由△ABF的面积是△BCF的面积的2倍，可得△ACF的面积是△BCF的面积的3倍，

可得|AC|=3|BC|，可即AC=3BC，

由抛物线的方程可得准线方程为：x=-1，焦点坐标为F(1,0)，

设直线l的方程为：x=my+4，令x=-1，由题意可得C的纵坐标为：-5m，即C(-1,-5m)联立x=my+4y2=4x，整理可得y2-4my-16=0，则y1+y2=4m，y1y2=-16，

x1+x2=m(y1+y2)+8=4m2+8

①，x1x2=116题型三：圆锥曲线题型三：圆锥曲线的的第三定义平面内的动点到两定点A1-a,0A2其中两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点.其中如果常数e2如果e2反之，若椭圆的方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0双曲线的方程为x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0例5(2022·湖北省黄石市模拟·多选)已知平面内两个定点A(-5,0)，B(5,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为常数λ(λ≠0)，设点M的轨迹为C.下列说法中正确的有(

)A.存在常数λ(λ≠0)，使C上所有的点到两点(-6,0)，(6,0)的距离之和为定值

B.存在常数λ(λ≠0)，使C上所有的点到两点(-6,0)，(6,0)的距离之差的绝对值为定值

C.存在常数λ(λ≠0)，使C上所有的点到两点(0,-6)，(0,6)的距离之和为定值

D.存在常数λ(λ≠0)，使C上所有的点到两点(0,-6)，(0,6)的距离之差的绝对值为定值【思路点拨】设M坐标为x,yx≠±5,y≠0，则

yx+5·【规范解析】解：设M坐标为(x,y)x≠±5,y≠0，由yx+5·yx-5=λ，得y2=λ(x2-25)(x≠±5)，

对于A项，存在常数λ(λ≠0)，使C上所有的点到两点(-6,0)，(6,0)的距离之和为定值

则c=6，且焦点在x轴上，此时-1<λ<0，a=5<c=6，矛盾，故A错误；

对于B项，存在常数λ(λ≠0)，使C上所有的点到两点(-6,0)，(6,0)的距离之差的绝对值为定值

则c=6，且焦点在x轴上，此时λ>0，a=5<c=6，符合题意，故B正确．

对于C项，存在常数λ(λ≠0)，使C上所有的点到两点(0,-6)，(0,6)的距离之和为定值

则c=6，且焦点在y轴上，此时-25λ>36，符合题意，故C正确;

对于D项，存在常数λ(λ≠0)，使C上所有的点到两点(0,-6)，(0,6)的距离之差的绝对值为定值

则c=6，且焦点在y轴上，但y例6(2023·湖南省长沙市联考·多选)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>b>0的左，右顶点分别为A1，A2，点P，Q是双曲线C上关于原点对称的两点(异于顶点)，直线PA1，PAA.双曲线C的渐近线方程为y=±34x B.双曲线C的离心率为72

C.kPA【思路点拨】本题考查双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系及其应用，结合双曲线的性质判断各选项即可．【规范解析】解：设P(x,y)，则y2=b2(x2a2-1)，因为A1(-a,0)，A2(a,0)，

故kPA1⋅kPA2=yx+a⋅yx-a=y2x2-a2=b2(x2a2-1)x2-根据对称性不妨设P在x轴上方，则β>α，则∠A1PA2=β-α，

则tan∠A1PA2=tan(β-α)=tanβ-tanα1+tanα⋅tanβ练5(2022·四川省乐山市模拟)椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA.[12,34] B.[【思路点拨】由椭圆C：x24+y23=1可知其左顶点A1(-2,0)，右顶点A【规范解析】解：由椭圆C：x24+y23=1可知其左顶点A1(-2,0)，右顶点A2(2,0)．

设P(x0∵-2≤kPA2≤-1，∴-2≤-3练6(2023·浙江省联考·多选)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，E(0,b)，A(m,n)为椭圆E上一点，m≠0，点B、A关于x轴对称，直线EA，EB分别与xA.|AE|的最大值为a2+b2

B.直线EA，EB的斜率乘积为定值

C.若y轴上存在点P，使得∠MPO=∠PNO，则P的坐标为(0,a)或(0,-a)

【思路点拨】本题考查直线与椭圆的位置关系及应用问题，利用椭圆的几何性质何斜率的定义求解.【规范解析】解：因为A(m,n)在椭圆C上，所以m2a2+n2b2=1，m2=a2(1-n2b2)，

所以|AE|=m2+(n-b)2=-c2b2n2-2bn+a2+b2≤a2c所以xM=bmb-n，xN=bmb+n，

所以OP2=OM⋅ON=|bmb-n||bmb+n|=b2m2b2-n2，

因为m2=<<<专题训练>>><<<专题训练>>>1.在实际生活中，常常要用到如图1所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如图2，用一个与圆柱底面所成角为45°的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段(如图3)的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象(如图4).记该正弦型函数的最小正周期为T，截口椭圆的离心率为e.若圆柱的底面直径为2，则(

)

A.T=2π，e=12 B.T=2π，e=22

C.T=4π，e=1【解析】解：设截口椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距长为c，

因为圆柱的底面直径为2，所以2b=CD=2，故b=1，因为椭圆截面与底面的夹角为45∘，

所以∠AOB=45∘，所以2b=OB=OAcos45∘=2acos45∘，所以a=2，

所以c=a2-b2=1，所以e=ca=12=22，

观察图4知，正弦型函数的最小正周期T为圆柱的侧面展开图的底边边长，即圆柱的底面圆的周长，所以T=2π×1=2πA.4.5 B.5.5 C.6 D.7.5【解析】解：经过椭圆x24+y23=1的右焦点F做直线l交椭圆于A，B两点，若FA+2FB=0，

设B(x1,y1)，则A的横坐标为：3-2x3.已知F是椭圆C：x29+y25=1的左焦点，P为C上一点，AA.9 B.72 C.4 D.【解析】

解：因为a=5，b=5，所以c=2，则左准线方程为x=-a2c=-92则PF1d=e=23，所以d=32PF1，

所以|PA|+32⋅|PF|=PA+d，

所以过A4.已知点P是双曲线C：x28-y24=1上的动点，F1，F2分别是双曲线CA.[0,6]

B.(2,6]

C.(【解析】解：设P(x,y)x>0，由焦半径公式|PF1|=ex+a，|PF2|=ex-a，

则|PF1|+|PF2||OP|=ex+a+ex-ax2+y2

(y2=x22-4,e=62)，

5.已知椭圆x22+y2=1，点