高中数学同步讲义（人教A版必修一）：第28讲 4.5.2用二分法求方程的近似解（教师版）

第06讲4.5.2用二分法求方程的近似解课程标准学习目标①理解运用二分法逼近方程近似解的数学思想。②了解二分法只能用于求变号零点的方法。③借助数学工具用二分法求方程的近似解。④能解决与方程近似解有关的问题。通过本节课的学习，要求会用二分法进行简单方程近似解的求解，并能根据题的要求，解决与二分法相关的参数问题的处理。知识点01：区间中点对于区间，其中点知识点02：二分法1、二分法的概念对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection)【即学即练1】（2023·全国·高一假期作业）下列图象中，不能用二分法求函数零点的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【详解】根据零点存在定理，对于A，在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数零点.故选：A．2、用二分法求零点的近似值给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：（1）确定零点的初始区间，验证；（2）求区间的中点（3）计算;①若（此时)，则就是函数的零点；②若（此时)，则令；③若（此时)，则令；（4）判断是否达到精确度，若，则得到零点近似值(或)，否则重复2--4【即学即练2】（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算、的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则．【答案】/【详解】因为，，取的中点，则，所以，函数的零点在区间内，故为区间的中点值，因此，.故答案为：.题型01二分法概念的理解【典例1】（2023·全国·高一假期作业）用二分法求函数零点的近似值适合于（

）A．变号零点 B．不变号零点C．都适合 D．都不适合【答案】A【详解】由零点存在定理可知，二分法求函数零点的近似值适合于在零点两边的函数值异号，即适用于变号零点.故选：A.【典例2】（2023·高一课时练习）下列函数图象与x轴都有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】根据题意，利用二分法求函数零点的条件是：函数在零点的左右两侧的函数值符号相反，即穿过x轴，据此分析选项：A选项中函数不能用二分法求零点，故选：A.【典例3】（多选）（2023春·湖南长沙·高二长沙市长郡梅溪湖中学校考期中）下列函数中，能用二分法求函数零点的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】选项A：由，可得在上存在零点；选项B：由，可得在上存在零点；选项C：，则其零点为，但不存在实数满足，因而不能用二分法求此函数零点；选项D：由，可得在上存在零点.故选：ABD【变式1】（2023春·全国·高一校联考开学考试）下列函数中，不能用二分法求零点的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，则可用二分法求零点；对于B，有唯一零点，但函数值在零点两侧同号，则不可用二分法求零点；对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，则可用二分法求零点；对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，则可用二分法求零点.故选：B.【变式2】（2023·高一课时练习）下列函数一定能用“二分法”求其零点的是（

）A．（k，b为常数，且）B．（a，b，c为常数，且）C．D．（，k为常数）【答案】A【详解】解：由指数函数与反比例函数的性质可知其没有函数零点，故C，D不能用“二分法”求其零点，故CD错误；对于二次函数（a，b，c为常数，且），当时，不能用二分法，故B错误；由于一次函数一定是单调函数，且存在函数零点，故可以用“二分法”求其零点，故A选项正确.故选：A【变式3】（2023·上海·高一专题练习）下列函数图象均与轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是【答案】③【详解】若函数的零点能用二分法求解，则在零点的左右两侧，函数值符号相反；由图象可知：只有③中图象满足此条件.故答案为：③．题型02确定零点（根）所在区间【典例1】（2023·全国·高一假期作业）函数在区间上的零点必属于区间（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解法一：二分法由已知可求得，，，，，.对于A项，因为，所以A项错误；对于B项，因为，所以B项错误；对于C项，因为，所以C项错误；对于D项，因为，所以D项正确.解法二：因为，所以，即函数在区间上的零点为2，故D正确.故选：D.【典例2】（2023·全国·高一假期作业）函数的零点，对区间利用两次“二分法”，可确定所在的区间为．【答案】/【详解】解：，，而，∴函数的零点在区间．又，，∴函数的零点在．故答案为：．【典例3】（2023秋·山东济宁·高一校考期末）已知定义在上的偶函数满足，且当时，，若在内关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【分析】∵,∴，即，∴函数f(x)的周期为4．当x∈[0,2]时，则−x∈[−2,0]，∴，∵f(x)是偶函数，∴由f(x)−loga(x+2)=0，得f(x)=loga(x+2)，令作出函数的图象如图所示：①当0<a<1时，函数g(x)=loga(x+2)单调递减，此时两函数的图象只有1个交点，不满足条件；②当a>1时，要使方程f(x)−loga(x+2)=0恰有3个不同的实数根，则需函数f(x)与g(x)=loga(x+2)的图象有3个不同的交点，则需满足，即，解得．故a的取值范围是．答案：C【变式1】（2023春·江苏宿迁·高一校考期中）用二分法求方程在内的近似解，已知判断，方程的根应落在区间（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】令，因为与在上单调递增，所以在上单调递增，因为，，，所以在上有唯一零点，即，故，所以方程的根落在区间上，故选：B.【变式2】（2023·全国·高一假期作业）用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，，且单调递增，即当时，，所以零点在内，故选：A【变式3】（2023·全国·高一假期作业）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】令，因为函数在上都是增函数，所以函数在上是增函数，，所以函数在区间上有唯一零点，所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是.故选：B.题型03用二分法求函数的零点的近似值【典例1】（2023·全国·高一假期作业）某同学在用二分法研究函数的零点时，．得到如下函数值的参考数据：x11.251.3751.406251.43751.50.05670.14600.3284则下列说法正确的是（

）A．1.25是满足精确度为0.1的近似值 B．1.5是满足精确度为0.1的近似值C．1.4375是满足精确度为0.05的近似值 D．1.375是满足精确度为0.05的近似值【答案】D【详解】因为，且，故AC错误；因为，，且，故D正确；因为，且故C错误；故选:D【典例2】（多选）（2023秋·高一单元测试）某同学求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：则方程的近似解（精确度）可取为（

）A． B． C． D．【答案】AB【详解】因为函数在其定义域上单调递增，结合表格可知，方程的近似解在（2.5，3），（2.5，2.75），（2.5，2.5625）内，又精确度0.1，∴方程的近似解（精确度0.1）可取为2.51，2.56.故选：AB．【典例3】（2023·高一课时练习）用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下：据此数据，可知的一个零点的近似值可取为（误差不超过0.005）．【答案】1.55935（答案不唯一）【详解】解：因为，，根据零点存在性定理，可知零点在内，由二分法可得零点的近似值可取为，所以的一个零点的近似值可取为1.55935，误差不超过0.005．故答案为：1.55935（答案不唯一）.【变式1】（2023春·江苏南通·高一校考期末）已知函数的部分函数值如下表所示：那么函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）为（

）x10.50.750.6250.56250.63210.27760.0897A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.7【答案】B【详解】易知在上单调递增，由表格得，且，∴函数零点在，∴一个近似值为0.57．故选:B．【变式2】（2023·全国·高三专题练习）函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：

那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（

）A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44【答案】C【详解】由所给数据可知，函数在区间内有一个根，因为，，所以根在内，因为，所以不满足精确度，继续取区间中点，因为，，所以根在区间，因为，所以不满足精确度，继续取区间中点，因为，，所以根在区间内，因为满足精确度，因为，所以根在内，所以方程的一个近似解为，故选：C【变式3】（2023春·江苏扬州·高一扬州市广陵区红桥高级中学校考期中）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如下表所示：121.51.6251.751.8751.8125-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为A． B． C． D．【答案】C【详解】根据表中数据可知，，由精确度为可知，，故方程的一个近似解为，选C.题型04二分法的过程【典例1】（2023春·江苏宿迁·高一校考期中）用二分法求方程在内的近似解，已知判断，方程的根应落在区间（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】令，因为与在上单调递增，所以在上单调递增，因为，，，所以在上有唯一零点，即，故，所以方程的根落在区间上，故选：B.【典例2】（2023·全国·高一假期作业）用二分法求函数在内的唯一零点时，精度为0.001，则经过一次二分就结束计算的条件是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】根据二分法的步骤知，经过一次计算，区间长度变为，当时，结束计算，故，故选：B.【典例3】（2023·全国·高一假期作业）已知函数在上有零点，用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行次函数值的计算.【答案】3【详解】至少需要进行3次函数值的计算，理由如下：取区间的中点，且，所以.取区间的中点，且，所以.取区间的中点，且，所以.因为，所以区间的中点即为零点的近似值，即，所以至少需进行3次函数值的计算.故答案为：3【变式1】（2023·全国·高一假期作业）已知函数在内有一个零点，要使零点的近似值的精确度为0.001，若只从二等分区间的角度来考虑，则对区间至少需要二等分（

）A．8次 B．9次 C．10次 D．11次【答案】D【详解】设对区间至少二等分n次，此时区间长度为2，则第n次二等分后区间长为，依题意得，所以，，所以.故选：D【变式2】（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算、的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则．【答案】/【详解】因为，，取的中点，则，所以，函数的零点在区间内，故为区间的中点值，因此，.故答案为：.【变式3】（2023·全国·高一假期作业）用“二分法”研究函数的零点时，第一次计算，可知必存在零点，则第二次应计算，这时可以判断零点．【答案】【详解】因为第一次计算，可知必存在零点，又，，由零点存在性定理可知.故答案为：；A夯实基础一、单选题1．（2023秋·吉林·高一吉林省实验校考期末）函数的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程在内近似解的过程中可得，，，则方程的解所在区间为（

）A． B．C． D．不能确定【答案】B【详解】解：因为是连续函数，且，，，所以，，所以在上存在零点，即方程的解所在区间为.故选：B2．（2023·全国·高一假期作业）已知函数的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：x00.50.531250.56250.6250.7510.0660.2150.5121.099由二分法，方程的近似解（精确度为0.05）可能是（

）A．0.625 B． C．0.5625 D．0.066【答案】C【详解】由题意得在区间上单调递增，设方程的解的近似值为，由表格得，所以,因为，所以方程的近似解可取为0.5625．故选：C.3．（2023·全国·高一假期作业）用二分法求函数的一个零点的近似值（误差不超过）时，依次计算得到如下数据：，，，，关于下一步的说法正确的是（）A．已经达到对误差的要求，可以取作为近似值B．已经达到对误差的要求，可以取作为近似值C．没有达到对误差的要求，应该接着计算D．没有达到对误差的要求，应该接着计算【答案】C【详解】，在内有零点；，没有达到对误差的要求，应该继续计算.故选：C.4．（2023·全国·高一专题练习）用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则等于（

）A．1 B． C．0.25 D．0.75【答案】C【详解】解：因为，，所以在内存在零点，根据二分法第二次应该计算，其中；故选：C5．（2023·高一课时练习）在用“二分法”求函数零点近似值时，若第一次所取区间为，则第三次所取区间可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是；第三次所取的区间可能是.故选：.6．（2023春·全国·高一校联考开学考试）下列函数中，不能用二分法求零点的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，则可用二分法求零点；对于B，有唯一零点，但函数值在零点两侧同号，则不可用二分法求零点；对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，则可用二分法求零点；对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，则可用二分法求零点.故选：B.7．（2023春·福建福州·高一福州三中校考期中）用二分法求函数在区间上的零点,要求精确度为时,所需二分区间的次数最少为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：开区间的长度等于1,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半，经过此操作后,区间长度变为，用二分法求函数在区间上近似解,要求精确度为，，解得，故选：C.8．（2023·全国·高一假期作业）在使用二分法计算函数的零点的近似解时，现已知其所在区间为，如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来至少需要计算（

）次区间中点的函数值．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】开区间的长度等于1，每经过一次二分法计算，区间长度为原来的一半，经过次二分法计算后，区间长度变为，又使用二分法计算函数的在区间上零点的近似解时，要求近似解的精确度为0.1，所以，则，又，所以，又，故，所以接下来至少需要计算你次区间中点的函数值．故选：C.二、多选题9．（2023·全国·高一专题练习）在用二分法求函数的一个正实数零点时，经计算，，，，则函数的一个误差不超过的正实数零点可以为（

）A． B． C． D．【答案】BCD【详解】因为，，，则函数的零点所在的区间为，所以，函数的一个误差不超过的正实数零点可以为或或.故选：BCD.10．（2023·全国·高一假期作业）关于函数的零点，下列说法正确的是：（）（参考数据：，，，，，）A．函数的零点个数为1B．函数的零点个数为2C．用二分法求函数的一个零点的近似解可取为（精确到）D．用二分法求函数的一个零点的近似解可取为（精确到）【答案】AC【详解】解：易知函数在上单调递增，因为，，所以