高等数学.厦门大学出版社徐荣聪.高数课后习题详细参考答案

第三章参考答案习题3-1（P66）1、（1）不满足，在处不连续；（2）不满足，在处不可导；2、（1）、；（2）；3、证明：设任意区间，显然函数在上连续，在内可导，所以函数满足拉格朗日中值定理的条件，所以有又所以，从而所以命题成立。4、方程有2个根，分别位于区间和内；5、；6、证明：设，显然函数在内处处连续，处处可导，设区间，则在上满足拉格朗日子中值定理的条件所以内至少存在一点，使，所以，即习题3-2（P70）1、（1）1；（2）2；（3）；（4）；（5）；（6）0；（7）；（8）；（9）0；（10）；2、（1）1，不能；（2）1，不能；习题3-3（P77）1、（1）增加，减少；（2）减少；（3）和增加，减少；（4）减少，增加；2、（1）减少，增加；（2）减少，增加；（3）增加，减少；（4）和增加，减少；3、证明：设，则，当时，所以函数在上单调增加，所以当时，，即，从而4、证明：设，显然函数在上连续，且由零点存在定理知，函数在至少有一个零点，又当时，，函数单调减少所以函数在至多只有一个零点，即方程在至多只有一个实根，因为，所以不是方程的根，所以方程在至多只有一个实根。5、（1）极小值，无极大值；（2）极小值，极大值；（3）极小值，极大值；（4）极小值，无极大值；（5）极小值，极大值；（6）无极值；（7）极小值，极大值；（8）提示：，极小值，极大值；6、解：显然函数在上可导，要使函数在处取得极值，须有，即，解得因为所以函数在处取得极大值，此时所以当时，函数在处取极大值。7、（1）最大值，最小值；（2）最大值，最小值；（3）最大值，最小值；（4）最大值，最小值；（5）最大值，最小值；（6）最大值，最小值；8、解：设车间靠墙壁的长为米，则不靠墙壁的长为米，面积，，令，得唯一驻点，因为所以在处取极大值，又驻点唯一，所以在处取最大值，所以当小屋靠墙壁的长为10米，不靠墙壁的长为5米时，面积最大。9、解：设经过小时两船相距为海里，则当时，，令，得驻点，没有不可导点，依题意知目标函数存在最小值，且驻点唯一，所以当时，函数取最小值当时，综上可知，经过5小时，两船距离最近。10、解：设，那么，所以掘进费,令，得唯一驻点，没有不可导点当时，；当时，；时，比较得最小，此时，所以从A处沿水平掘进516.7米后，再斜向下沿直线掘进到C处，掘进费最省，为4717.2元。11、解：矩形底宽为米，高为米，则周长由得，所以，令，得驻点依题意目标函数存在最小值，且驻点唯一，所以当米时，截面的周长最小。12、解：设漏斗的地面半径为，高为，则由，得，所以，令，解得依题意，目标函数存在最大值，且驻点唯一，所以当时，函数取最大值，即当时，做成的漏斗容积最大。13、解：设内接直圆柱的底半径为，高为，则圆柱的体积因为球内接圆柱，所以有，得所以，，令，得，此时依题意，函数 存在最大值，且驻点=唯一，所以当时，函数取最大值，所以内接直圆柱的半径为、高为时，体积最大。14、解：如图因为，所以，令，解得此时，依题意知，函数存在最大值，且驻点唯一，所以当时，函数取最大值所该吊车能把屋架吊上去。15、解：利润，令，得唯一驻点依题意，函数存在最大值，且驻点唯一，所以当时，最大，即应生成7500台，才能获得最大利润。习题3-4（P83）1、（1）凸区间为，凹区间为，拐点为；（2）凸区间为和，凹区间为，拐点为和；（3）凸区间为和，凹区间为，拐点为和；（4）凸区间为和，凹区间为，拐点为；（5）凸区间为和，凹区间为和，拐点为、和；2、略；综合练习（三）（P83）填空题1、2；2、2；3、；4、；5、；6、2；7、；8、0；9、必要；10、；二、选择题1、D；2、C；3、A；4、B；5、B；6、C；7、B；8、D；9、C；10、B；三、计算题1、（1）；（2）；（3）原式；（4）原式2、解：函数的定义域为，令，得驻点，导数不存在的点为列表讨论—+——减增减减所以，函数在区间和单调减少，在区间单调增加，极小值为0，极大值为。3、函数在区间和单调增加，在区间单调减少，极大值为0，极小值为4、函数在区间和是凸的，在区间是凹的，拐点为和5、解：因为为函数的极值点，所以有，解得6、函数在区间是凸的，在是凹的，拐点为。四、应用与证明题1、解：设车间靠墙的长为米，则宽为米，面积，，令，得唯一驻点，因为所以在处取极大值，又驻点唯一，所以在处取最大值，此时所以这些存砖足够围成64平方米的小屋。2、解：设围成圆形的铁丝长为，围成正方形的铁丝长为则面积之和，因为，令，得唯一驻点因为，所以在处取极小值，又驻点唯一，所以在处取最小值即当围成圆形的铁丝长为，围成正方形的铁丝长为时，两图形的面积之和最小。3、证明：因为，不妨设设，则函数处处连续，处处可导，所以函数在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，所以在内至少存在一点，使所以同理，当时，上式同样成立所以当时，4、证明：设所以当时，，此时单调增加，所以当时，，即所以当时，恒有5、证明：设因为当时，均可导，且所以当时，可导，且所以当时，单调增加，所以即所以当时，。6、证明：设（），则所以当时