一次函数的图象与性质

第2课时

一次函数的图象与性质第十九章

一次函数19.2一次函数1、理解一次函数的图象的平移规律；2、掌握一次函数的图象的两种画法：两点法和平移法；3、能够根据一次函数的图象总结一次函数的性质，并且熟练掌握和运用性质进行解题。（1）什么是一次函数？（2）从解析式上看正比例函数与一次函数有什么关系？图象呢？性质呢？y=kx(k≠0)

y=kx+b(k≠0)加常数b常数b=01、y=2x

与y=2x+1的对比：x···00.511.522.53···y1=2x···0123456···y2=2x+1······(0,0)↓(0,1)(0.5,1)↓(0.5,2)(1,2)↓(1,3)(1.5,3)↓(1.5,4)(2,4)↓(2,5)(2.5,5)↓(2.5,6)(3,6)↓(3,7)7654321(0,0)(0.5,1)(1,2)(1.5,3)(2,4)(2.5,5)(3,6)分析：对于相同的x的值，y2=2x+1的函数值总比y1=2x的值大1.1知识点一次函数的图象平移规律1、y=2x

与y=2x+1的对比：x···00.511.522.53···y1=2x···0123456···y2=2x+1······(0,0)↓(0,1)(0.5,1)↓(0.5,2)(1,2)↓(1,3)(1.5,3)↓(1.5,4)(2,4)↓(2,5)(2.5,5)↓(2.5,6)(3,6)↓(3,7)分析：对于相同的x的值，y2=2x+1的函数值总比y1=2x的值大1.因此，只要把y=2x的图象上的所有点都向上平移一个单位，所得的图形就是y=2x+1的图象.7654321(x0,y0)↓(x0,y0+1)1知识点一次函数的图象平移规律结论：y=2x+1的图象是由y=2x的图象向上平移1个单位得到的，因此也是直线.1<1注意：它们在y方向相距一个单位.但它们的距离小于一个单位.-3-2-1123x-4-3-2-11234yOy=2xy=2x+1结论：

y=2x+1的图象是由y=2x的图象向上平移1个单位得到的，因此也是直线.y=2x-1的图象呢？-3-2-1123x-4-3-2-11234yOy=2xy=2x+1y=2x-1

这两个函数的图象形状都是

，并且倾斜程度

。函数y=2x的图象经过原点，函数y=2x+1的图象与y轴交于点

，即它可以看作由直线y=2x向

平移_____

个单位长度得到。一条直线相同（0，1）上1比较一次函数y＝kx＋b(k≠0)与正比例函数y＝kx(k≠0)的解析式，容易得出：

一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象可以由直线y＝kx平移|b|个单位长度得到(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移).

一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象也是一条直线，我们称它为直线y＝kx＋b.归纳上加下减小练习1.把y=5x

的图象向____平移____个单位可以得到直线y=5x+3.2.把y=5x

的图象向____平移____个单位可以得到直线y=5x-7.3.直线y=5x+3

与直线y=5x-7

的位置关系是__________4.把y=5x+3

的图象向_____平移____个单位可得到直线y=5x-7.5.直线y=-6x+4

可看成将直线_______向___平移___个单位得到.上3下7下10平行练练手y=-6x上4例3.画出函数y=2x-1与y=-0.5x+1的图象。一次函数的图象是直线，故选择其上合适两点即可。一般选择（，0），（0，b）。x01y=2x-1y=-0.5x+1-1110.5O1xy1-1-1y=2x-1y=-0.5x+12知识点一次函数的图象的画法

先画直线y＝2x与y＝－0.5x，再分别平移它们，也能得到直线y＝2x－1与y＝－0.5x＋1.除了描点的方法之外，你结合刚才学习过的知识，还能想到什么方法？联系上述例题，你能总结一次函数图象的简便画法吗？两点法平移法

一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象可以由直线y＝kx平移|b|个单位长度得到。当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移.(1)一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的图象是一条直线.由两点确定一条直线可知，在画一次函数图象时，只要描出函数图象中的两个点就可画出此函数的图象.(2)一般地，一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)都过(0,b)

(与y轴交点坐标)和()(与x轴交点坐标)两点.画出函数y=x+1，y=-x+1，y=2x+1，y=-2x+1的图象。x01y=x+1y=-x+1y=2x+1y=-2x+11210131-1O1xy1-1-1y=x+1y=-x+1y=2x+1y=-2x+1深入探究：3知识点一次函数的图象和性质画出函数y=x+1，y=-x+1，y=2x+1，y=-2x+1的图象。一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）中，k的正、负对函数图象有什么影响？当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。O1xy1-1-1y=x+1y=-x+1y=2x+1y=-2x+1请用简便方法画出下列一次函数的图象：（1）y=x+1，y=2x-1；（2）y=-x+2，y=-2x-2．

（1）k＞0时，

直线y=kx+b从左到右______，即y随x的增大而______；(2)k＜0时，

直线y=kx+b从左到右______，即y随x的增大而______；2-2-4-6-44xyO42-2-4-6-44xyO4y=x+1y=2x-1上升增大y=-x+2y=-2x-2

下降减小函数K图象函数增减性y=kx(k≠0)

K>0y随x的增大而增大K<0y随x的增大而减小y=kx+b(k≠0)K>0y随x的增大而增大K<0y随x的增大而减小xyOxyOxyOxyO观察下表，你发现了什么？

同左(k

反映了直线的倾斜程度)

同左|k|越小，直线越平缓；3.同左3.|k|越大，直线越陡峭；

同左

y随x的增大而减小.

同左

当k<0时图象从左向右下降；

同左

y随x的增大而增大.2.同左2.当k>0时图象从左向右上升；1.图象是一条过(0,b)的直线1.图象是一条过(0,0)的直线.一次函数y=kx+b

正比例函数y=kx

掌握一次函数的图象与正比例函数图象间的联系将有助于我们学好一次函数的性质.性质2：

增减性性质3：

倾斜程度一次函数性质总结小结一次函数的增减性只与k的正负有关那么，b的正负对函数图象有什么影响呢？

直线y=kx+b与y轴交点为(0,b)(1)当b>0时,直线y=kx+b与y轴的交点在x轴_____;(2)当b<0时,直线y=kx+b与y轴的交点在x轴_____;上方下方一次函数性质总结k的符号

b的符号

k>0k<0b>0b<0一次函数y=kx+b(常数k≠0)一、二、三一、三、四一、二、四二、三、四xyOxyOxyOxyO例题：一次函数

y=-5x+3的图象经过第____________象限；

y随x的增大而______，与y轴交点坐标为_________.一、二、四减小(0，3)分析：第一步：先找到对应的正比例函数，判断图象分布情况；

y=-5x

，图象过第二、四象限.

第二步：判断

y=-5x+3的图象是如何由y=-5x

平移得到的；向上平移3个单位得到的.

第三步：判断y=-5x+3的图象比正比例函数多过了哪个象限.

多过了第一象限.一次函数y=kx+b

的图象交y

轴于(0,b)练习：(1)一次函数

y=2x+3的图象经过第____________象限，y随x的增大而______，与y轴交点坐标为_________.(2)一次函数

y=的图象经过第____________象限，

y随x的增大而______，与y轴交点坐标为_________.(3)某一次函数的y

随x

的增大而增大，且图象交y

轴于正半轴，则图象经过第____________象限.(4)已知一次函数y=(m+2)x+1，函数y

的值随x

值的增大而增大，则m

的取值范围是_______________.一、二、三增大(0，3)二、三、四减小一、二、三m>-2例1已知直线y＝(1－3k)x＋2k－1.(1)k为何值时，直线与y轴交点的纵坐标是－2?(2)k为何值时，直线经过第二、三、四象限？(3)k为何值时，已知直线与直线y＝－3x－5平行？(1)可令2k－1＝－2或将(0，－2)代入函数解析式即可求得k值；(2)直线经过第二、三、四象限，说明y＝kx＋b中的k＜0，b＜0，即解不等式组求出k的取值范围即可；(3)两直线若平行，则它们的自变量的系数应相等，所以1－3k＝－3且2k－1≠－5，可求出k值．导引：(1)当x＝0时，y＝－2，即当2k－1＝－2，k＝

时，直线与y轴交点的纵坐标是－2.(2)当直线经过第二、三、四象限．(3)当1－3k＝－3，即当

时，2k－1＝

≠－5，此时，已知直线与直线y＝－3x－5平行．解：直线经过第二、三、四象限与不经过第一象限的区别是：经过第二、三、四象限时函数解析式中b不能等于0；不经过第一象限时函数解析式中的b可能等于0.总结1、当kb＜0时，一次函数y＝kx＋b的图象一定经过(

)A．第一、三象限B．第一、四象限C．第二、三象限D．第二、四象限2、若一次函数y＝kx＋b的图象经过第一、三、四象限，则k，b的取值范围是(

)A．k＞0，b＞0B．k＜0，b＞0C．k＜0，b＜0D．k＞0，b＜03、直线y＝2x－4与y轴的交点坐标是(

)A．(4，0)B．(0，4)C．(－4，0)D．(0，－4)BDD例4已知一次函数y＝(6＋3m)x＋(m－4)，y随x的增大而增大，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，求m的取值范围．根据一次函数的性质可知，6＋3m＞0，且m－4＜0，解不等式组即可．导引：根据题意，得解得－2＜m＜4.所以m的取值范围是－2＜m＜4.解：对于一次函数y＝kx＋b（k≠0）(1)判断k值符号的方法：①增减性法：当y随x增大而增大时，k＞0；反之，k＜0.②直线升、降法：当直线从左到右上升时，k＞0；反之，k＜0.③经过象限法：当直线过第一、三象限时，k＞0；当直线过第二、四象限时，k＜0.(2)判断b值的方法：与y轴交点法，即若直线y＝kx＋b与y轴交于正半轴，则b＞0；与y轴交于负半轴，则b＜0；与y轴交于原点，则b＝0.总结1、若一次函数y＝(m－3)x＋5的函数值y随x的增大而增大，则(

)A．m＞0

B．m＜0C．m＞3

D．m＜32、点(－1，y1)，(2，y2)是直线y＝2x＋1上的两点，则y1________y2。(填“＞”“＝”或“＜”)．3、下列函数中，同时满足下面两个条件的是(

)①y随着x的增大而增大；②其图象与x轴的正半轴相交．A．y＝－2x－1B．y＝－2x＋1C．y＝2x－1D．y＝2x＋1C＜C