第4章粘性流体动力学基础

第4章粘性流体动力学基础4.1、流体的粘性及其对流动的影响4.2、雷诺实验、层流与湍流4.3、粘性流体的应力状态4.4、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程4.6*、流动相似及相似准则*

工程中的问题大多是粘性流体运动问题，实际的粘性流体运动现象远比理想流复杂，而控制粘性流体运动的基本方程及其求解也相对复杂。4、5两章的任务是：介绍粘性流体运动的基本概念、流动现象和流动特征建立控制粘性流体运动的基本方程得到解决粘性流体运动问题的基本思路、方法和途径第4章粘性流体动力学基础4.1流体的粘性及其对流动的影响

流体的粘滞性流体的粘滞性是指，流体在运动状态下抵抗剪切变形能力。流体的剪切变形是指流体质点之间出现相对运动。因此流体的粘滞性是指抵抗流体质点之间的相对运动能力。在静止状态下，流体不能承受剪力。但是在运动状态下，流体可以承受剪力，而且对于不同种流体所承受剪力大小是不同的。粘性流体抵抗剪切变形的能力，可通过流层间的剪切力表现出来（这个剪切力称为内摩擦力）。粘性流体在流动过程中必然要克服内摩擦力做功，因此流体粘滞性是流体发生机械能损失的根源。牛顿的内摩擦定律（Newton，1686年）

F=µAU/h

FhU4.1流体的粘性及其对流动的影响流层之间的内摩擦力与接触面上的压力无关。设表示单位面积上的内摩擦力（粘性切应力），则µ-----流体的动力粘性系数（单位：Ns/m2=Pa.s）=µ/

---流体的运动粘性系数（单位：m2/s

）

水=1.139

10-6(m2/s)

空气=1.461

10-5(m2/s)4.1流体的粘性及其对流动的影响一般流层速度分布不是直线，如图所示。

y

u

0

du/dy----表示单位高度流层的速度增量，称为

速度梯度4.1流体的粘性及其对流动的影响速度梯度du/dy

物理上也表示流体质点剪切变形速度或角变形率。如图所示：u+du

dy

d

u

dudt

4.1流体的粘性及其对流动的影响流体切应力与速度梯度的一般关系为：1.=0+µdu/dy，binghan流体，泥浆、血浆、牙膏等2.

=µ（du/dy）0.5，伪塑性流体，尼龙、橡胶、油漆等3.

=µdu/dy

，牛顿流体，水、空气、汽油、酒精等4.

=µ(du/dy)2，胀塑性流体，生面团、浓淀粉糊等5.

＝0，µ＝0，理想流体，无粘流体。12344.1流体的粘性及其对流动的影响要注意流体的粘性与流体的粘性剪应力是不同的概念流体的粘性是指流体抵抗剪切变形的能力，用流体的物性参数μ即动力粘性系数代表这种能力的大小。流体的粘性剪应力只有当流体质点之间出现相对运动时才会体现出来。因此：静止容器中的甘油具有较大粘性（μ

较大），但其中不存在剪切应力；空气粘性较小（μ

较小）但相对运动时也可能具有较大的剪切应力；理想流体既不具有粘性（μ

=0），运动时也不会体现出剪切应力。4.1流体的粘性及其对流动的影响2.粘性对流动的影响为了说明粘性对流动的影响，我们先回顾一下在绪论中曾经提到的几个与粘性流体运动有关的基本现象和问题：为什么麻面的高尔夫球比光球打得更远？4.1流体的粘性及其对流动的影响为什么自行车运动员要戴一个圆头尖尾的帽子？能否反过来戴成尖头圆尾，或做成尖头尖尾？2.流体的粘滞性对流动的影响为什么汽车的阻力更多的是取决于汽车后部而不是前部？2.流体的粘滞性对流动的影响为什么汽车和飞机作高速运行时，我们在功率（燃料消耗）上必须付出与速度增加不成比例的超乎想象的高代价？为什么空气阻力是速度的最终限制？2.流体的粘滞性对流动的影响为什么海洋中体形大的生物（鲸）姿态幽雅、动作轻松、迁徙距离遥远？为什么体形越小的生物则游动越笨拙、速度和运动都局限在一个很小范围？2.流体的粘滞性对流动的影响为什么微生物在水银中和在酒精中运动时，受到的阻力几乎相等不受二者密度巨大差别的影响？诸多与粘性流体运动有关的问题及其解决，有赖于我们对粘流基本概念、基本理论和方法的掌握。2.流体的粘滞性对流动的影响以上均为粘流的工程例子。自然界中流体都具有粘性，因此粘性对流体运动的影响是普遍存在的。对于具体流动问题粘性所起的作用并不一定相同。特别是象水和空气这样的小粘性流体，对于某些问题忽略粘性的作用可得到满意的结果。因此为了简化起见，提出了理想流体的概念和理论。然而对于实际的流动，粘性对流动的影响是如何体现的？粘性流动的特点是什么？粘性流动与理想流动最本质的差别体现在何处？以下用两个典型流动来说明粘性流动与无粘流动的差别。2.流体的粘滞性对流动的影响

以下用两个典型流动来说明粘性流动与无粘流动的差别。（1）绕过平板的均直流动理想流流过无厚度平板时的流动特点：

不允许流体穿透平板（不穿透条件）允许流体质点滑过平板平板对流动不产生任何影响，平板对流动无阻滞作用，平板阻力为零2.流体的粘滞性对流动的影响粘性流体流过无厚度平板时的流动特点：既不允许流体穿透平板（满足不穿透条件）也不允许流体在平板上滑移（满足不滑移条件，由于粘性，紧贴板面的流体质点粘附在平板上与板面无相对运动）平板附近速度梯度很大，流层之间的粘性切应力不能忽略，这个区称为边界层区。平板对流动起阻滞作用，平板阻力不为零。2.流体的粘滞性对流动的影响与物面的粘附条件（无滑移条件）是粘性流体运动有别与理想流体运动的主要标志。沿平板的边界层实验演示无滑移实验演示随着离开板面的距离加大，与物面的强粘性作用逐步向外层传递，直至流层间不存在速度差别。2.流体的粘滞性对流动的影响（2）圆柱绕流理想流体绕过圆柱时的流动特点：在流体质点绕过圆柱的过程中，只有动能、压能的相互转换，而无机械能的损失。在圆柱面上压强分布对称，无阻力存在。（达朗贝尔疑题）2.流体的粘滞性对流动的影响粘性流体绕圆柱时的绕流特点：物面近区由于粘性将产生边界层，由A点到B点的流程中将消耗部分动能用于克服摩擦阻力做功，机械能损失。丧失部分机械能的边界层流动无法满足由B点到D点压力升高的要求，在BD流程内流经一段距离就会将全部动能消耗殆尽（一部分转化为压能，一部分克服摩擦阻力做功），于是在壁面某点速度变为零（S点）。流体将从这里离开物面进入主流场中，这种现象称为边界层分离，S点称为分离点。分离点下游流体发生倒流，形成了旋涡区。2.流体的粘滞性对流动的影响旋涡区的出现，使得圆柱壁面压强分布发生了变化，前后不对称（如前驻点的压强要明显大于后驻点的压强），因此出现了压差阻力。对绕圆球的粘性流动不仅存在摩擦阻力，还存在压差阻力，压差阻力是由于边界层分离后压强不平衡造成的，但本质上仍然是由于粘性造成的。2.流体的粘滞性对流动的影响达朗贝尔疑题所指出的矛盾多少耽误了一点流体力学的发展，那时人们以为用无粘的位流去处理实际流动是没有什么价值的。曾经出现理论与实验研究十分脱节的情况：理想流体力学家们在解释着自己观察不到的现象水力学工程师们在观察着自己解释不了的现象理想流绕圆柱的解实际粘流绕圆柱的观察上述粘流现象是理想流理论不能描述的，基于理想流结果达朗贝尔提出了所谓的达朗贝尔疑题：理想流绕任意封闭物体无阻力。显然这与人们的实际观察相矛盾。2.流体的粘滞性对流动的影响以普朗特等为代表的近代流体力学家的出色工作，成功解决了理想流体力学和粘性流体力学的适用性和二者之间相互关系的问题。后来知道理想流假设撇开粘性来处理问题是一种很有价值的合乎逻辑的抽象，可成功解决与粘性关系不大的升力等问题，而与粘性关系密切的阻力等问题则需用粘性流体力学及其简化理论来解决。2.流体的粘滞性对流动的影响粘性对流动的影响小结：（1）粘性摩擦切应力及其与物面的粘附条件（无滑移条件）是粘性流体运动有别与理想流体运动的主要标志。（2）粘性是产生摩擦阻力的根本原因，粘性边界层在一定条件（下章详述）下产生分离是形成压差阻力的根本原因。（3）粘性流体在流动过程中必然要克服内摩擦力做功，因此流体粘滞性是流体发生机械能损失的根源。（4）对于研究阻力、边界层及其分离、旋涡及其扩散等问题时，粘性起主导作用不能忽略。2.流体的粘滞性对流动的影响雷诺（OsborneReynolds，1842~1921，英国工程师兼物理学家，维多利亚大学（曼彻斯特）教授）最早详细研究了管道中粘性流体的流动状态及其影响因素。4.2、雷诺实验、层流与湍流层流湍流加大流速或减小粘性时H＝C甘油和水的混合液，可变混合比例流态从层流到湍流的过渡称为转捩。实验表明流态的转捩不是单单取决于某一个流动参数V,μ等，而是取决于无量纲的相似组合参数雷诺数，记为Re：在非管道流动中也存在层流与湍流这两种不同的流态，从层流到湍流的转捩也与雷诺数大小有关4.2、雷诺实验、层流与湍流雷诺数之所以对粘性流体运动的流态及其他相关特性起着重要作用，在于雷诺数具有很明显的物理意义。实验发现，随着雷诺数增加而呈现的不同流态(层流或湍流)对于流动的摩擦阻力、流动损失、速度分布等影响很大。雷诺数的物理意义：雷诺数代表作用在流体微团上的惯性力与粘性力之比。4.2、雷诺实验、层流与湍流雷诺数正比于惯性力与粘性力之比的说明：

惯性力正比于质量乘加速度：～ρV2L2粘性力正比于剪应力乘面积：～μVL因此惯性力与粘性力之比正比于：～4.2、雷诺实验、层流与湍流雷诺数的意义还可以用以下三图的对比来说明很低雷诺数情况，压差与粘性力平衡很高雷诺数情况，压差与惯性力平衡4.2、雷诺实验、层流与湍流大型民航客机的飞行雷诺数可达上百万至几千万（106～107）了解雷诺数的物理意义可帮助我们判断一个流动中何种因素占主导作用，但注意不要将雷诺数的绝对数值等同于惯性力与粘性力的绝对比值4.2、雷诺实验、层流与湍流日本设计的机械蜻蜓俄罗斯设计的机械蜻蜓美国设计的机械苍蝇微型飞行器的飞行雷诺数只有几百到几万的量级（102～104）中国大学生设计的微型扑翼机4.2、雷诺实验、层流与湍流空气中的悬浮尘埃其运动雷诺数则更低甚至可以小于1需要再次强调：雷诺数代表惯性力与粘性力之比只是宏观量级上的比例关系，根据雷诺数的大小可以判断流动中何种因素占主导作用，但绝不能认为Re=1表示流动的惯性力与粘性力刚好相等。此外Re高说明总体上粘性力相对较小但并不意味着粘性完全不起作用，只是粘性将通过某种微妙的方式（较薄的粘性剪切层即边界层）体现出来。4.2、雷诺实验、层流与湍流管中层流与湍流的对比抛物线分布

对数分布层流Re<2100湍流Re>40004.2、雷诺实验、层流与湍流平板湍流平板层流平板上层流与湍流的对比4.2、雷诺实验、层流与湍流管中层流管中湍流1.Re2.外观3.质量与动量交换4.速度分布5.损失6.剪应力较大流动紊乱、不规则，外表粗糙在纵向和横向存在较大的微团宏观质量、动量交换平均速度是较饱满的对数分布，壁面附近速度和梯度相对较大随Re增加转捩时损失增加牛顿应力及雷诺应力较小色线规则，流动分层，外表光滑流层间只限于分子间的较小的扩散较尖瘦的抛物线分布，壁面附近速度和梯度都相对较小随Re增加而降低牛顿应力4.2、雷诺实验、层流与湍流雷诺数不同使得射流流态及其混合状况根本不同：

甘油甘油与水的混合液水

Re=0.051020030004.2、雷诺实验、层流与湍流雷诺数不同使绕柱体的实际流动及其阻力特性不同：低雷诺数下的绕圆柱流动中等雷诺数下的绕圆柱流动较高雷诺数下的绕圆柱流动可见较低雷诺数下的粘性流体绕圆柱流动流线与理想流非常类似，但这时圆柱存在较大的粘性阻力。可见较高雷诺数下，不同雷诺数会造成绕圆柱下游的分离区不同，从而压差阻力明显不同。4.2、雷诺实验、层流与湍流雷诺数不同使圆球绕流及其相应阻力特性根本不同：雷诺数不同可能使得绕机翼的流态、速度分布、压力分布、阻力特性和升力特性根本不同－－美国C－141运输机的失事教训4.2、雷诺实验、层流与湍流微生物在水银和在酒精中运动阻力对比问题；汽车和飞机作高速运动时，燃料消耗与速度增长不成比例问题；海洋中大生物和微小生物的游动机制问题；本节开头提到的其他问题如高尔夫球、流线型帽子等问题将在下一章“边界层理论”学习后得到解答。斯托克斯阻力定律：高雷诺数时物体受到的流动阻力正比于:ρV2L2

低雷诺数时物体受到的流动阻力正比于:μVL4.2、雷诺实验、层流与湍流1、理想流体和粘性流体作用面受力差别4.3、粘性流体的应力状态静止或理想流体内部任意面上只有法向力，无切向力粘性流体内部任意面上力既有正向力，也有切向力在粘性流体运动中，过任意一点任意方向单位面积上的表面力不一定垂直于作用面，可分解为法向应力和切向应力如果作用面的法线方向与坐标轴重合，则合应力可分解为三个分量，分别为法应力分量和切应力分量4.3、粘性流体的应力状态2、粘性流体中的应力状态从而三个面的合应力可表示为

x面

:y面:z面:4.3、粘性流体的应力状态由此可见，用两个下标可把各个应力分量的作用面方位和投影方向表示清楚。其中第一个下标表示作用面的法线方向，第二个下标表示应力分量的投影方向。如果在同一点上给定三个相互垂直坐标面上的应力，那么过该点任意方向作用面上的应力可通过坐标变换唯一确定。上述九个应力分量可写为：这九个应力分量并不全部独力，其中的六个切向应力是两两相等的，所以独立的一共是三个法向的，三个切向的。这个结论可利用对微元六面体的动量矩定理得到证明，思路是：一对剪应力对微元产生的力矩将与彻体力力矩和微元质量的动量矩平衡，而后二者都正比于微元的体积乘以微距离，是一个高阶小量可略去，从而得到这一对剪应力相等。4.3、粘性流体的应力状态注：有的教材将法向应力记为:关于应力的几个要点：（1）在理想流体及静止流体中不存在切应力，三个法向应力相等（各向同性），等于该点压强的负值。即：（2）在粘性运动流体中，任意一点的任何三个相互垂直面上的法向应力之和为一个不变量，并定义此不变量的平均值为该点的平均压强的负值。即：（3）在粘性运动流体中，任意面上的切应力一般不为零。4.3、粘性流体的应力状态4.4、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）Stokes（1845年）根据牛顿内摩擦定理的启发（粘性流体作直线层状流动时，层间切应力与速度梯度成正比），在一些合理的假设下将牛顿内摩擦定律进行推广，提出广义牛顿内摩擦定理----应力应变率关系（本构关系）：这个关系将六个应力与微团的变形率直接联系（线性关系）。满足上述关系的流体称为牛顿流体。

对于不可压缩流体，上述应力应变率关系可化简为：4.4、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）不论是否可压缩流体，本构关系都满足以下规律：4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程1、流体运动的基本方程

利用牛顿第二定理推导以应力形式表示的流体运动微分方程。像推导欧拉方程一样，在流场中取一个微元六面体进行分析，以x方向为例，建立运动方程。现在由于是粘性流体，作用在中心P点处不仅有法向应力，而且还有切向应力，控制面上的应力可用中心点处应力泰勒召开表示。作用在ABCD和A’B’C’D’两个侧面的法向力差是：作用在ABB’A’和CDC’D’两个侧面的切向力差是：作用在ADA’D’和BCB’C’两个侧面的切向力差是：仍然设单位质量彻体力分量为：fx,fy,fz,按照牛顿第二定律：是欧拉法表示的加速度或速度的物质导数。4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程或：同理：将反映粘性应力与应变率关系的广义牛顿内摩擦定理代入上式右端，即得到粘性流动的运动方程N－S方程：（纳维Navier,C.L.M.H.1785-1836,法国力学家、工程师；斯托克斯Stokes,G.G.1819-1903,英国力学家、数学家）4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程其中是拉普拉斯算子：可见，对于理想流右端的粘性项为零，方程化为欧拉方程。4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程当不可压时，根据连续方程：则不可压粘流的N－S方程写为：4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程用三个方向的单位向量i、j、k分别乘上三式并相加，可得不可压粘流N-S方程比较简捷的向量形式：其中为速度分量

为哈密顿算子

为拉普拉斯算子4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程

与第二章一样，这个方程中速度的随体导数可以加以分解，把涡量分离出来，写成格罗米柯形式的方程也称为兰姆型方程。这样有利于研究流体的有旋性：4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程事实上速度随体导数中迁移加速度项也可以直接应用向量导数运算公式得到：定常、不可压、彻体力有势时格罗米柯方程可化为：2、伯努利(Bernoulli)积分

伯努利家族（瑞士）前后四代，数十人，形成历史上罕见的数学大家族。其中，Bernoulli,Nicholas(尼古拉斯.伯努利，1623-1708），瑞士伯努利数学家族第一代。Bernoulli,Johann（约翰.伯努利，1667-1748

），伯努利数学家族第二代，提出著名的虚位移原理。Bernoulli,Daniel（丹尼尔.伯努利，1700-1782），伯努利数学家族第三代，

Johann.伯努利的儿子，著有《流体动力学》（1738），将微积分方法运用到流体动力学中，提出著名的伯努利方程。4.5、粘性流体运动方程---Bernoulli积分4.5、粘性流体运动方程---Bernoulli积分将定常、不可压、彻体力为重力（Ω=gy）条件下的格罗米柯方程沿流线投影得：上式与第二章中得到的有粘性损失一维能量方程形式相同。其中为单位质量流体所具有的机械能，是从1－2流动过程中粘性力做功使每单位质量流体损失的能量。写为高度量纲：如果令:方程变为:4.5、粘性流体运动方程---Bernoulli积分沿着同一条流线积分，得到：注：dE可看成由于粘性引起的机械能变化，根据热力学第二定理，流动过程中机械能减小，因此dE为负值，记为－E1-2表示。上式说明，在粘性流体中，沿同一条流线上无论势能、压能和动能如何转化，总机械能是沿程减小的，总是从机械能高的地方流向机械能低的地方，不能保持守恒，减小的部分代表流体质点克服粘性应力做功所消耗的能量。下图是理想流和粘流沿流线（管）的能量关系几何意义对比。

4.5、粘性流体运动方程---Bernoulli积分应该指出，由于实际粘性流体必然存在剪切层是有旋的，上述对N-S方程的积分只能沿流线成立。y1y2H1H2静力水头线总水头线12yxhw12y1y2H1H2静力水头线总水头线12yx理想流粘性流1122例：进出口面积相等高度相同的管道,体积流量Q=30m3/s,测得两端压降为

p1-p2=5kpa,求流动的粘性损失功率N损

解：设流动定常、一维，由N-S方程的伯努利积分：得从1-2每单位质量流体损失的能量为：则1-2的损失功率为：(注：上述管道围起来可看成风洞的一段，因此1-2压差可看成由风扇提供用于克服管道损失，故所求即风扇功率，可由风扇两端的有机械功输入的能量方程验证。)N－S方程为非线性偏微分方程，它的求解一般需要借助计算机用数值方法求解。而在一些简单的粘流问题上，N－S方程也有解析解。例：求解二维平行壁之间的不可压粘性流动，二壁固定。2bxy解:设流动定常，彻体力可略。二维不可压N–S方程写为：3.N-S方程的解析解举例*4.5、粘性流体运动方程---N-S方程的解析解举例*由于，第二个方程化为：即在流动横截面压强不变。又第一个方程化为：对y积分，注意到不是y的函数，对y积分时当常数看4.5、粘性流体运动方程---N-S方程的解析解举例*由边界条件定常数C1

和C2：y=±b处，u=0，定得C1＝0，C2＝－b2/2，于是：即u

在y向作抛物线分布。中心点流速为：表明沿x轴是个负值，即压强是逐步下降的。一段长度L上的压降是：这个压降是用于克服壁面摩擦阻力的。4.5、粘性流体运动方程---N-S方程的解析解举例*xu2by璧面间平均流速为：壁面摩擦应力为：一段长L的壁面上摩擦应力是：两侧壁面上的总摩擦力是:这个力刚好等于压降乘以通道面积，说明流动的损失完全消耗在克服壁面摩擦上了。4.5、粘性流体运动方程---N-S方程的解析解举例*例：求解二维平行壁之间的不可压粘性流动，其中底璧固定不动，上璧以速度U向右运动。璧面间距为h。这种流动称为古艾特流。解：此题和例1的前半部分相同，只是边界条件不同，有：由边界条件y=0，u=0，定得c2＝0;由y=h,u=U，定得于是速度分布为：如果压强在x方向无压强梯度，则这种压强梯度等于零的流动称为简单的古艾特流或简单剪切流，速度分布在y向为一直线。如果压强梯度不为零就是一般的古艾特流，一般的古艾特流等于简单古艾特流与例1的抛物线分布流动的叠加。定义一个无量纲的压强梯度：则无量纲的速度分布可写为：P=0是简单剪切流。P>0表示压强在运动方向是下降的，这时一个截面上的流速全都指向正x方向，除了y=0和y=h的两端外其他流速都比简单剪切流为大（图中P＝1，2，3），P<0表示压强在运动方向是上升的，这时无量纲速度分布较简单古艾特流为小，当P绝对值足够大时可出现倒流（P=-2、-3）。剪应力分布为：该剪应力分布可看成简单剪切流的常数分布和例1中的线性分布的叠加。由连续方程：得出：与平面理想无旋速度位方程类似，而上述速度与压强关系也类似于位流的速度与位函数关系，因此理想无旋位流的流线可以用这种狭缝中粘性起主要作用的实验来模仿。（注意理想位流中位函数沿流线是增加的，这里压强沿流线则是减少的）例：关于平板间狭缝的流动（海莱肖仪原理）。解：从前面平行璧面间的粘性流动解可以看到，板间的速度与压力降落成正比。因此狭缝平板之间的流动与之类似，可以假设速度与压力降落成正比：事实上，对于狭缝中的低雷诺数流动，初步可以假设流动的惯性力项与粘性力项相比可以忽略不计，对于不可压缩流动，不计彻体力，N-S方程可简化为：上式两端分别取对x和y的偏导数，然后相加，并利