高中数学同步讲义（人教A版必修一）：第21讲 第三章 函数的概念与性质章末重点题型大总结（学生版）

第07讲第三章函数的概念与性质章末题型大总结一、思维导图二、题型精讲题型01求函数的定义域【典例1】（2023·高一单元测试）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，则函数的定义域为______.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为[－2,2]，则函数的定义域为______.【变式2】（2023秋·陕西西安·高一长安一中校考期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.题型02求函数的值域【典例1】（2023春·江苏泰州·高一靖江高级中学校考阶段练习）若函数的定义域是，则其值域为（

）.A． B．C． D．【典例2】（2023·全国·高三对口高考）函数的值域是（

）A． B． C． D．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为（

）A． B． C． D．【典例4】（多选）（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为，则实数的可能取值是（

）A． B． C． D．【典例5】（2023秋·陕西咸阳·高一统考期末）定义：表示不超过的最大整数，，.已知函数，，则函数的值域为______.【变式1】（2023·高一课时练习）函数的图象如图所示，观察图象可知函数的定义域、值域分别是（

）A．， B．，C．， D．，【变式2】（2023·高一课时练习）若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有（

）A．4个 B．8个 C．9个 D．12个【变式3】（2023秋·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）函数的值域是______________（用区间表示）【变式4】（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为_________【变式5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)若函数定义域为，求的取值范围；(2)若函数值域为，求的取值范围.题型03求函数解析式【典例1】（2023春·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习）已知，则的解析式为（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知，则（

）A． B． C． D．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足，则（

）A．的最小值为2 B．C．的最大值为2 D．【典例4】（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数，，且.(1)求函数的解析式；(2)求函数在区间上的值域．【典例5】（2023·高一课时练习）已知函数（，为常数），且满足，.(1)求函数的解析式；(2)若，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【变式1】（2023秋·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知函数，则函数的解析式为（

）A． B．C． D．【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足，则的解析式为（

）A． B．C． D．【变式3】（多选）（2023·全国·高三专题练习）函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（

）A． B．C． D．【变式4】（2023·高一课时练习）函数对一切实数都有成立，且.求的解析式；【变式5】（2023·全国·高三专题练习）若函数，满足，且，则________．题型04分段函数【典例1】（2023春·江苏苏州·高二星海实验中学校考阶段练习）已知函数则“”是“在上单调递减”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【典例2】（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知函数，则方程的解集为（

）A． B． C． D．【典例3】（2023·高一单元测试）己知函数满足对任意，且，都有成立，则实数的取值范围是__________．【典例4】（2023·全国·高一专题练习）若函数为奇函数，则__________（结果用数字表示）.【变式1】（2023秋·高一单元测试）已知函数在其定义域上单调递减，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【变式2】（2023·高一课时练习）已知函数，则__________．【变式3】（2023秋·高一单元测试）若函数为上的单调函数，则实数的取值范围是__________．【变式4】（2023秋·安徽六安·高一金寨县青山中学校考期末）已知函数(1)求，，；(2)若，求的取值范围．题型05函数图象【典例1】（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则它的一个可能的解析式为（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·福建南平·高二校考阶段练习）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）设，定义符号函数，则函数的图像大致是（）A．B．C．D．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）函数的图象大致为（

）A．B．C．D．【变式2】（2023·全国·高三专题练习）函数的图象如图所示，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【变式3】（2023·全国·高三专题练习）函数与的定义域均为，它们的图象如图所示，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．题型06函数单调性【典例1】（多选）（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）下列函数在上是减函数的是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）已知是定义在上的偶函数，对于任意的，（），都有成立．若，则实数的取值范围为（

）A．或 B．C．或 D．【典例3】（2023·高一课时练习）己知函数．(1)若函数的单减区间是，求实数的值；(2)若函数在区间上是单减函数，求实数的取值范围．【典例4】（2023秋·安徽安庆·高一统考期末）已知函数（b，）是定义在R上的偶函数，且满足．(1)求函数的解析式；(2)试判断函数在上的单调性并证明．【典例5】（2023春·四川宜宾·高一校考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．(1)求．(2)求函数的解析式．(3)若，求实数的取值范围．【变式1】（2023·高一课时练习）函数在上是增函数，则实数的值为__________．【变式2】（2023·高一课时练习）函数在上为增函数，则的取值范围是__________．【变式3】（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）已知.(1)判断的奇偶性；(2)判断在[1,+∞）上的单调性，并说明理由；(3)若方程有四个不同的实数根，求实数的取值范围.【变式4】（2023秋·湖南娄底·高一统考期末）已知幂函数为偶函数.(1)求幂函数的解析式；(2)若函数，根据定义证明在区间上单调递增.题型07函数奇偶性【典例1】（2023·高一课时练习）已知是上的偶函数，当时，，则（

）A．1.4 B．3.4 C．1.6 D．3.6【典例2】（2023春·云南昆明·高一昆明一中校考期中）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（

）A． B． C． D．【典例3】（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知函数的定义域为，的图象关于点对称，，且对任意的，，满足，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【典例4】（2023春·湖北·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校联考阶段练习）已知函数满足为奇函数，则函数的解析式可能为______________（写出一个即可）．【典例5】（2023·高一课时练习）己知偶函数的定义域为，且在上是增函数，若，则不等式的解集是__________．【典例6】（2023·高一课时练习）已知为奇函数．(1)求a，b的值；(2)试判断的单调性；(3)试求的值域．【典例7】（2023·高一课时练习）设函数是定义在上的奇函数，且在区间上是减函数，实数a满足不等式，求实数的取值范围.【变式1】（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）函数的奇偶性为（

）A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数【变式2】（2023春·湖北·高一荆州中学校联考期中）设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【变式3】（2023春·天津南开·高二天津市第二南开中学校考阶段练习）定义在上的函数满足，且在上有，则（

）A． B． C． D．【变式4】（2023春·云南红河·高一蒙自一中校考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则___.【变式5】（2023春·天津河东·高二天津市第七中学校考阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为______．【变式6】（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）已知定义在上的函数在上单调递增，且函数为奇函数，则的解集为___________.【变式7】（2023·高一课时练习）已知是定义在上的奇函数，当时，.(1)求的解析式：(2)若方程有3个不同的解，求的取值范围.题型08单调性和奇偶性综合【典例1】（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当，，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·全国·高三对口高考）已知函数为奇函数，，且不等式的解集是．(1)求，，；(2)是否存在实数使不等式对一切成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【典例3】（2023秋·陕西西安·高一长安一中校考期末）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对所有的恒成立，则实数的取值范围是______.【变式1】（2023·全国·高一专题练习）函数是定义在上的奇函数，且．(1)确定的解析式；(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；(3)解关于的不等式．【变式2】（2023·河北·统考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为_________．题型09函数模型【典例1】（2023·高一课时练习）如图，在直角梯形中，已知，且，梯形被直线截得位于直线左方图形的面积为．

(1)求函数的解析式；(2)画出函数的图象．

【典例2】（2023·高一课时练习）改革开放四十周年纪念币从2018年12月5日起可以开始预约．通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下：上市时间（天）81032市场价（元）826082(1)根据上表数据，从下列函数：①；②中选取一个恰当的函数刻画纪念章市场价与上市时间的变化关系，并说明理由；(2)利用你选取的函数，求纪念章市场价的最低价格及其上市天数．【典例3】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）某晚报曾刊登过一则生活趣事，某市民唐某乘坐出租车时，在半途中骂骂咧咧要求司机临时停靠，打表计价结账，然后重新计价，继续前行，该市民解释说，根据经验，这样分开支付车费比一次性付费便宜一些，他的这一说法有道理吗？确实，由于出租车运价上调，有些人出行时会估计一下可能的价格，再决定是否乘坐出租车.据了解，2018年上海出租车在5时到23时之间起租价为14元/3千米，超起租里程单价为2.50元/千米，总里程超过15千米（不含15千米）部分按超起租里程单价加50%.此外，相关部门还规定了低速等候费和其他时段的计价办法，以及适合其他车型的计价办法.你乘坐过出租车吗？你会仿效那位市民唐某的做法吗？为什么？(1)根据上述情境你能提出什么数学问题？为了解决你的问题，你能否作出一些合理假设？(2)你能否根据你的假设建立数学模型，并回答你所提出的问题.【典例4】（2023春·广西防城港·高一统考期中）“硬科技”是以人工智能，航空航天，生物技术，光电芯片，信息技术，新材料，新能源，智能制造等为代表的高精尖技术，属于由科技创新构成的物理世界，是需长期投入，持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿.最近十年，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售，假设该高级设备的年产量为百台，经测算，生产该高级设备每年需投入固完成本1500万元，最多能够生产80百台，每生产一百台台高级设备需要另投成本万元，且，每台高级设备售价为2万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出.(1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式（利润销售收入成本）；(2)当该产品年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润.【变式1】（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）汽车在隧道内行驶时，安全车距（单位：）正比于车速（单位：）的平方与车身长（单位：）的积，且安全车距不得小于半个车身长．当车速为时，安全车距为个车身长．(1)求汽车在隧道内行驶时的安全车距与车速之间的函数关系式；(2)某救灾车队共有10辆同一型号的货车，车身长为，当速度为多少时该车队通过（第一辆车头进隧道起，到最后一辆车尾离开隧道止，且无其它车插队）长度为的隧道用时最短?【变式2】（2023春·甘肃张掖·高一高台县第一中学校考阶段练习）某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫米/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用．(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）【变式3】（2023·高一课时练习）某厂生产某种零件，每个零件的成本为4元，出厂单价6元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购超过100个时，每多订购一个，零件的出厂单价就降低0.01元，但实际出厂价不低于5元．(1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价降为5元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为元，求函数的表达式；(3)销售商一次订购150个零件时，该厂获得的利润是多少元？若订购500个呢？【变式4】（2023·全国·高三对口高考）有甲、乙两种商品，经营这两种商品所能获得的利润分别记为（万元）和（万元），它们与投入的资金（万元）的关系近似满足下列公式：，现有万元资金投入经营这两种商品，为获得最大的利润，应对这两种商品分别投入资金多少万元？获得的最大利润是多少万元？三、数学思想01数形结合的思想【典例1】（2022秋·江苏常州·高一校考期末）已知函数，若对任意，不等式，则实数的取值范围为______.【典例2】（2023·北京密云·统考三模）设函数.①当时，的单调递增区间为___________；②若且，使得成立，则实数的一个取值范围________.【典例3】（2023·江苏·高一假期作业）已知函数.(1)若的定义域为[－2,1]，求实数的值；(2)若的定义域为，求实数的取值范围．【典例4】（河南省三门峡市2022-2023学年高一上学期期末数学试题）已知函数的图象关于原点对称，且当时，．

(1)试求在上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．02分类讨论的思想【典例1】（2023秋·江西南昌·高一统考期末）已知函数．(1)分析的最值情况；(2)若函数在区间上，恒成立，求正实数的取值范围．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）函数在区间上的最大值为．求的解析式；【典例3】（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考阶段练习）已知函数是偶函数．当时，．(1)求函数的解析式；(2)设，求在区间上的最大值，其中．03转化与化归的思想【典例1】（2023春·湖南长沙·高二雅礼中学校考阶段练习）设二次函数同时满足下列条件：①当时，总有；②函数的图象与轴的两个交点为，，且；③.(1)求的解析式；(2)对，都有成立，求满足条件的实