高中数学选修函数的单调性与导数

函数的单调性与导数函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2∈G且x1＜x2时函数单调性判定单调函数的图象特征yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在G上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在G上是减函数；若f(x)在G上是增函数或减函数，增函数减函数则G称为单调区间G=(a,b)定义法图象法知识回顾知识回顾比如：判断函数的单调性。xyo函数在上为____函数，在上为____函数。减增如图：xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3

观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0一.函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有,则为常数.设函数y=f(x)在某个区间内可导，f(x)增函数f(x)减函数函数单调性与导数正负的关系注意：应正确理解“某个区间”的含义，它必是定义域内的某个区间。

在某个区间(a,b)内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;

如果,那么函数在这个区间内单调递减.如果恒有，则是常数。例1已知导函数的下列信息：试画出函数图象的大致形状。分析：ABxyo23解：的大致形状如右图：题型一：应用导数信息确定函数大致图象练习题1：

判断下列函数的单调性,并求出单调区间:（5）f(x)＝xlnx（6）f(x)＝x＋(a＞0)；总结:当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。纳①求定义域②求③令④作出结论1°什么情况下，用“导数法”求函数单调性、单调区间较简便？2°试总结用“导数法”求单调区间的步骤？归

一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);

反之,函数的图象就“平缓”一些.

如图,函数在或内的图象“陡峭”,在或内的图象平缓.例4

如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO（1）（2）（3）（4）（1）→（B），（2）→（A），（3）→（D），（4）→（C）xyo12xyo12xyo12xyo12xyo2(A)(B)(C)(D)C高考试尝设是函数的导函数，的图象如右图所示,则的图象最有可能的是()[解析]

解法一：(区间法)f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0，所以x＝1或x＝a－1.当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)内单调递增，不合题意．当a－1>1，即a>2时，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(1，a－1)上单调递减，由题意知：(1,4)⊆(1，a－1)且(6，＋∞)⊆(a－1，＋∞)，所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7.解法二：(数形结合)如图所示，f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．若在(1,4)内f′(x)≤0，(6，＋∞)内f′(x)≥0，且f′(x)＝0有一根为1，则另一根在[4,6]上．解法三：(转化为不等式的恒成立问题)f′(x)＝x2－ax＋a－1.因为f(x)在(1,4)内单调递减，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1，因为2<x＋1<5，所以当a≥5时，f′(x)≤0在(1,4)上恒成立，又因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，所以a≤x＋1，因为x＋1>7，所以a≤7时，f′(x)≥0在(6，＋∞