期中押题模拟卷02（测试范围选择性必修第一册第一二章3.1椭圆）（解析版）

期中押题模拟卷02（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：选择性必修第一册第一章、第二章、3.1椭圆5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】直线l的倾斜角为，则，由，得，∴．故选：D．2．如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】连接AG并延长交BC于N，连接ON，由G是的重心，可得，则则故选：D3．若椭圆与椭圆，则两椭圆必定（

）．A．有相等的长轴长 B．有相等的焦距C．有相等的短轴长 D．长轴长与焦距之比相等【答案】B【解析】椭圆，可知，，，长轴长是10，短轴长是6；焦距是8；焦点坐标是；离心率是：．椭圆中，，，，长轴长是，短轴长是；焦距是8；焦点坐标是；离心率是．椭圆与椭圆关系为有相等的焦距．故选：B．4．点P为x轴上的点，A（-1，2），B（0，3），以A，B，P为顶点的三角形的面积为，则点P的坐标为（

）A．（4，0）或（10，0） B．（4，0）或（-10，0）C．（-4，0）或（10，0） D．（-4，0）或（11，0）【答案】B【解析】根据题意，设点的坐标为，则，故直线为：，即，故到直线上的距离为：，又因为，所以由得，解得或，即为或.故选：B.5．已知圆C：，若直线l：ax－y＋1－a＝0与圆C相交于A，B两点，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．【答案】B【解析】易知直线，过定点，圆的标准方程是，圆心为，半径为，而，所以．故选：B．6．已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则的内切圆的半径（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】椭圆中，，，则，、∴，，∴．∵，，∴，∵，∴，解得．故选：C．7．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则所在直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设坐标原点为，以为直径的圆的方程为，即，把圆与圆相减，得：，直线经过两圆的交点，即切点.所以直线即为圆与圆的公共弦所在的直线，AB方程为:.故选：B.8．在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点满足，直线l：与动点Q的轨迹交于A，B两点，记动点Q轨迹的对称中心为点C，则当面积最大时，直线l的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设，由题意得，化简可得动点Q的轨迹方程为，圆心为，半径为．又由，可得．则由解得所以直线l过定点，因为，所以点在圆C的内部．作直线，垂足为D，设，因为，所以，所以，所以，所以当，即时，．此时，又，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为，故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列说法正确的是（

）A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示B．方程表示的直线的斜率一定存在C．直线的倾斜角为，则此直线的斜率为D．经过两点，的直线方程为【答案】BD【解析】对于A选项，当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等，如但不能用表示，故A选项错误；对于B选项，方程表示的直线的斜率为－m，故B选项正确；对于C选项，若，则直线斜率不存在，故C选项错误；对于D选项，经过两点，的直线斜率，而，则直线斜率存在，结合直线点斜式方程可知，D选项正确.故选：BD.10．下面四个结论正确的是（

）A．空间向量，若，则B．若对空间中任意一点，有，则四点共面C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底D．任意向量满足【答案】ABC【解析】对于：空间向量，若，则，故正确；对于B：若对空间中任意一点，有，由于，则四点共面，故B正确；对于C：已知是空间的一组基底，若，则两向量之间不共线，故也是空间的一组基底，故C正确；对于D：任意向量满足，由于是一个数值，也是一个数值，则说明和存在倍数关系，由于是任意向量，不一定存在倍数关系，故D错误．故选：ABC．11．如图，在棱长为1的正方体中（

）A．与的夹角为 B．二面角的平面角的正切值为C．与平面所成角的正切值 D．点到平面的距离为【答案】BCD【解析】如图建立空间直角坐标系，则，∴，，即，与的夹角为，故A错误；设平面的法向量为，，所以，令，则，平面的法向量可取，二面角的平面角为，则，所以，故B正确；因为，设与平面所成角为，则，故C正确；因为，设点到平面的距离为，则，故D正确.故选：BCD.12．已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（

）A．存在P使得 B．的最小值为C．，则的面积为9 D．直线与直线斜率乘积为定值【答案】ABC【解析】设椭圆短轴顶点为，由题知椭圆：中，，所以，，，，，对于A选项，由于，，所以的最大角为钝角，故存在P使得，正确；对于B选项，记，则，由余弦定理：，当且仅当时取“=”，B正确；对于C选项，由于，故，所以，C正确；对于D选项，设，则，，于是,故错误.故选：ABC第ⅠⅠ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知空间向量，，，若，，共面，则______.【答案】3【解析】因为，，共面，所以存在唯一实数，使，即，则，解得，，.故答案为：314．设两圆与圆的公共弦所在的直线方程为_______【答案】【解析】因为圆，圆，由得，，所以两圆的公共弦所在的直线方程为.故答案为：.15．已知椭圆与过点、的直线l有且只有一个公共点，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的方程为______．【答案】【解析】依题意，所以椭圆方程为，即.直线的方程为，即，由消去并化简得，由于直线与椭圆只有一个公共点，所以，所以椭圆方程为.故答案为：16．如图所示，长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的高为2，E､F分别在､AC上，且，则直线EF与直线的距离为___________.【答案】【解析】如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，设，又，则，则，又，则，解得，则，连接并延长交于，由得为中点，同理可得连接并延长也交于点，，画出的平面图，作于，由余弦定理得，则，，又，则直线EF与直线的距离为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设，，.(1)求证EG⊥AB；(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．【解析】（1）证明：连接DE，因为空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，且E，G分别是AB，CD的中点，所以，故，又因为，平面，所以平面，因为平面，所以.（2）由题意得：均为等边三角形且边长为1，所以，，所以，设异面直线AG和CE所成角为，则18．（12分）在①过点，②圆E恒被直线平分，③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知圆E经过点，且______.(1)求圆E的一般方程；(2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.【解析】（1）方案一：选条件①.设圆的方程为，则，解得，则圆E的方程为.方案二：选条件②.直线恒过点.因为圆E恒被直线平分，所以恒过圆心，所以圆心坐标为，又圆E经过点，所以圆的半径r＝1，所以圆E的方程为，即.方案三：选条件③.设圆E的方程为.由题意可得，解得，则圆E的方程为，即.（2）设.因为M为线段AP的中点，所以，因为点P是圆E上的动点，所以，即，所以M的轨迹方程为.19．（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B．(1)求面积的最小值及此时直线l的方程；(2)求当取得最小值时直线l的方程．【解析】（1）∵点在第一象限，且直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴相交，∴直线l的斜率，则设直线l的方程为，，令，得；令，得．∴．∵，∴，∴，当且仅当，即时等号成立．∴面积的最小值为6．此时直线l的方程为，即．（2）设，，，．∵A，P，B三点共线，∴，整理得，∴，当且仅当，即时等号成立，∴当取得最小值时，直线l的方程为，即．20．（12分）图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将该图形沿，折起使得与重合，连接，如图2．(1)证明：图2中C，D，E，G四点共面；(2)求图2中二面角的平面角的余弦值．【解析】（1）证明：∵四边形和分别是矩形和菱形，∴，，∴，∴，，，四点共面．（2）在平面内过点作，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，．∴，，，．设平面的一个法向量为，则，即．令，则．∴．设平面的一个法向量为．则，令，可得．∴，显然二面角为锐角．∴二面角的平面角的余弦值为．21．（12分）已知圆C过点A（1，2），B（2，1），且圆心C在直线上.P是圆C外的点，过点P的直线l交圆C于M，N两点.(1)求圆C的方程；(2)若点P的坐标为，探究：无论l的位置如何变化，|PM||PN|是否恒为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由.【解析】（1）由于圆心在，故设圆的方程为，将A（1，2），B（2，1）代入可得，解得，所以圆的方程为：（2）当直线轴时，，当直线有斜率时，设其方程为：，