垂直于弦的直径

24.1.2垂直于弦的直径(1)回顾思考CBADO有关概念:圆弦弧·ABCDOP直径CD垂直于弦AB.猜想AD=BD,AC=BC⌒⌒⌒⌒AP=BP·ABCDOPAP=BP，AC=BC

，AD=BD⌒⌒⌒⌒求证：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为P。已知：

连接OA,OB,则OA=OB.∵OA=OB，OP⊥ＡＢ，∴AP=BP.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒

AD=BD.证:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。垂径定理：二、垂径定理·ABCDOP①直线CD过圆心O②CD⊥AB几何语言：③AP=BP④AD=BD⑤AC=BC⌒⌒⌒⌒①直线CD过圆心O②CD⊥AB垂径定理：③AP=BP④AD=BD⑤AC=BC⌒⌒⌒⌒·ABCDOP

如果交换垂径定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的结论呢？①直线CD过圆心O③AP=BP②CD⊥AB④AD=BD⑤AC=BC⌒⌒⌒⌒?①直线CD过圆心O③AP=BP②CD⊥AB④AD=BD⑤AC=BC⌒⌒⌒⌒条件结论垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

·ABCDOP几何语言:例1如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离（弦心距）为3厘米，求⊙O的半径。.AEBO求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定理转化为直角三角形,从而利用勾股定理来解决问题.

变式一:在⊙O中,直径为10cm,弦AB的长为8cm,求圆心O到AB的距离.变式二:在⊙O中,直径为10cm,圆心O到AB的距离为3cm,求弦AB的长.思考:若圆心到弦的距离用d表示,半径用r表示,弦长用a表示,这三者之间有怎样的关系?垂径定理及其推论的本质是:满足其中任两条，必定同时满足另三条（1）一条直径（2）垂直弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧·ABCDOP判断（1）垂直于弦的直线平分弦并且平分弦所对的弧…………..()（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心……..()（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分…………...()（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧………()（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）×√××√（6）弦的垂直平分线一定是圆直径所在的直线。（7）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。（8）弦垂直于直径，这条弦就被直径平分。（√）（）（√）ABCD

O(5)ABCD

O(6)E例如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。若OA=10cm,OE=6cm,求弦AB的长。若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？若下面的弓形高为h，则r、d、h之间有怎样的关系?r=d+h即右图中的OE叫弦心距.如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为____.最大值为____________.

35ＯＡＢＣＤＥ练习：ＡＢ是⊙Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ，Ｅ为垂足，若ＡＥ＝９，ＢＥ＝１，求ＣＤ的长．

赵州桥又名安济桥，建于隋大业(公元605-618)年间，距今已1400年，是著名匠师李春建造。主桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦）长37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为

7.2m，是当今世界上跨度最大、建造最早的单孔敞肩型石拱桥。你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？37.47.2

赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？问题？OABDCr垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。垂径定理：·ABCDOP①直线CD过圆心O②CD⊥AB几何语言：③AP=BP④AD=BD⑤AC=BC⌒⌒⌒⌒①直线CD过圆心O③AP=BP②CD⊥AB④AD=BD⑤AC=BC⌒⌒⌒⌒条件结论垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

·ABCDOP几何语言:

例２．已知⊙O的直径是５０cm，⊙O的两条平行弦AB=４０cm，CD=４８cm，求弦AB与CD之间的距离。

.AEBOCD20152525247.AEBOCDFFAB、ＣＤ在点O两侧ＥＦ＝ＯＥ＋ＯＦ＝１５＋７＝２２AB、ＣＤ在点O同侧ＥＦ＝ＯＥ－ＯＦ＝１５－７＝８过点Ｏ作直线ＯＥ⊥ＡＢ，交ＣＤ于Ｆ。船能过拱桥吗如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？ADOFCENBHMr垂径定理的逆应用在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的深度.ED┌

600在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的深度.BAO600ø650DC某机械加工厂要把一个如图所示的破轮子重新加式成新的一个轮子,加工前先要在图纸上计算出这个破轮子所在圆的直径.已知图中弦AB=40cm,高CD=10cm,请你帮助工人师傅求出该破轮的直径.ABCD练习:例３.

已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。试说明：AC＝BD。E.ACDBO证明：过Ｏ作ＯＥ⊥ＡＢ于Ｅ∵ＯＥ⊥ＡＢ∴ＡＥ＝ＥＢ∵ＯＥ⊥ＣＤ∴ＣＥ＝ＥＤ∴ＡＥ－ＣＥ＝ＥＢ－ＥＤ即ＡＣ＝ＢＤ应用2:垂径定理有关的证明题.CDABE例1：平分已知弧AB已知：弧AB作法：⒈连结AB.⒉作AB的垂直平分线CD，交弧AB于点E.点E就是所求弧AB的中点。求作：弧AB的中点CDABEFG变式一：求弧AB的四等分点。

mn变式二：你能确定弧AB的圆心吗？CABMO耐心填一填:如图1,在圆O中,若MN⊥AB,MN为直径,则_________,____________,___________.·MOABNC2.如图2,已知圆O的半径OA长为5,直径MN垂直于AB,AB长为8,则OC的长为(

)A.3B.6C.9D.103.如图2:MN为圆O的直径,AB为弦,MN垂直于AB于点C,则下列结论错误的是(

)A.∠AOC=∠BOCB.AC=BCC.MC=NCD.AN=BN