黄炳锋“函数与导数”专题分析与思考

“函数与导数”专题分析与思考福建省福州第三中学黄炳锋复习目标理想教学数学本质数学素养教学本质复习内涵理想成绩准确定位合理取舍提质提速反复操练Pre时间节点2004年，福建省高考数学自行命题；2009年，福建省新课程高考；2016年，福建省高考采用全国卷．Pre两卷相同点关注基础知识、技能与基本思想方法的考查；强调能力立意，突出对数学学科能力的考查；考点设置基本相同，重点考查六大主干知识；不过分追求“新”“异”，着重在数学学科本质．Pre试卷结构有差异试卷选择题填空题解答题全国文理卷12题每题5分4题每题5分必考5题每题12分选考1题三选一，10分福建理科卷10题每题5分5题每题4分必考5题前4题13分，第5题14分选考1题三选二，14分福建文科卷12题每题5分4题每题4分必考6题前5题12分，第6题14分没有选考题Pre粗略比较福建卷全国卷难度结构“梯式”结构“坡式”结构难度设置把关试题上的难度一般较大总体难度略大，中档题略多考查内容理科三选二（4-2，4-4，4-5），文科无文理科都是三选一，（4-1，4-4，4-5）教学要求略有差异，比如正态分布，数列等．Pre结论与思考结论：

两卷存在差异，需要对比分析．思考：

关注变与不变，调整总复习策略；

进行对比分析，在差异中找思路．Pre研究方法纵向对比——2011至2015课标卷横向分析——2015全国各地试卷静向探微——概括试题考查类型动向启示——初探复习课的教学Pre考试内容函数概念与基本初等函数Ⅰ

（1）函数

（2）指数函数

（3）对数函数

（4）幂函数

（5）函数与方程Pre考试内容导数及其应用

（1）导数概念及其几何意义

（2）导数的运算

（3）导数在研究函数中的应用

（4）生活中的优化问题

（5）*定积分与微积分基本定理Pre考试内容函数的概念与运算函数的图象与性质函数与方程导数的概念及其几何意义导数在研究函数中的应用生活中的优化问题定积分与微积分基本定理Pre一些草稿纵向对比题型结构知识分布（一）题型结构2011年2012年2013年*2014年*2015年*选择题理2,9,12文3,10,12理10,12文11理11文12理3,11文5,12理12文10,12填空题理文理文13理16文理13文14解答题2121212121分值2722理22文1722理22文27自2011年起实施新课程高考模式，2013年起统计全国课标Ⅰ卷，可以看出，函数与导数考查题型稳定，选填一般各设一题，解答题设一题，题位偏后，题分约占15%.1知识分布知识内容考查次数占分比例函数的概念与运算1216.1%函数的图象与性质1013.4%函数与方程613.4%导数的概念及其几何意义1214.0%导数在研究函数中的应用1641.7%生活中的优化问题00.0%定积分与微积分基本定理11.3%自2013年起，全国课标卷每年命制文理各两套，统计2011年起的16份试卷可以看出，在选填题中基本上每年都有单独考查函数的概念、图象与性质，有时单独考查函数与方程以及导数的应用，理科有时考到定积分与微积分基本定理；解答题主要考查导数的概念及其几何意义以及导数在研究函数中的应用，但没有考到生活中的优化问题．2结论与思考（2）充分体现课标与考纲的总体要求题型稳定，知识分布均匀难度大思考

如何把握主体、突破难点？（一）横向分析命题特点亮点扫描（二）命题特点注重基础，考查核心概念和主干知识对函数与导数知识点的考查，除了江苏、上海安排了两道解答题，重庆没有安排选填题外，其他试卷基本上都是安排三道客观题和一道解答题，部分省份安排四道客观题和一道大题，分值在23分左右，约占总分的15%.1命题特点注重基础，考查核心概念和主干知识客观题的考查特点：以基本初等函数为载体，全面考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、有界性，以及函数图象变换等基础知识，属于简单题或中等难度题.1案例：2015年高考课标Ⅱ卷·理5试题以分段函数的形式，考查函数值的计算．解题要求理解函数的概念，掌握指数、对数的概念与运算性质，属于偏简单的中档题．（二）命题特点注重基础，考查核心概念和主干知识

2015年文理科数学31份试卷中，函数与导数的解答题基本放置于最后两道，属难题．其考查特点是：以基本初等函数为载体，利用方程、不等式、数学建模与导数、代数推理等知识点交汇，考查函数五大性质的应用、不等式问题和函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等.1案例：2015年高考课标Ⅰ卷·文21命题特点强调交汇，突出四基、四能、三有利《2015年考试大纲的说明》在“考查要求”部分明确提出，数学科命题要“从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度”.根据这一要求，2015年的数学试题既注重了章内知识的纵向发展，又注重了不同章节知识之间的相互交汇，并且对原有的知识网络交汇点进行了自然、适当的拓宽和延伸，这在函数与导数知识点的考查上尤为明显.1命题特点强调交汇，突出四基、四能、三有利各省高考试卷中的“函数与导数”的解答题基本上涉及了函数、导数、方程和不等式的交汇.知识交汇能凸显四基、四能、三有利的落实，成为命题的显著特点．1案例：2015年高考陕西卷·理9试题依托对数的概念及其运算性质、对数函数的单调性与基本初等函数的交汇，考查三个函数值的大小比较，突出函数内部的应用．（二）案例：2015年高考福建卷·理13试题将定积分与微积分基本定理与几何概型的交汇，考查定积分的几何意义与几何概型的计算，突出函数内部的应用．（二）命题特点关注差异，文理要求不同各展所长2015年各省高考的数学试题充分考虑了文理考生在数学学习内容、学习能力上的差异.理科侧重理性思维和抽象概括，文科侧重形象思维和定量处理.同一省份的文理试题常以“同题不同题号”或“姊妹题”的形式出现.对于函数与导数知识点的考查也出现类似情况：安徽卷理科第2题就是文科第4题；理科第9题与文科第12题属于“姊妹题”；福建卷理科第2题就是文科第3题，但天津卷文理第7题相同．1命题特点关注差异，文理要求不同各展所长当然，对于函数与导数知识点文理的不同要求，在2015年的高考有些省、市的文理卷中也出现了较大的差异，如天津卷文、理的第8题虽然都是考查函数与方程的有关知识，但是考查类型与难度均有所不同，总的来看，理科的考查力度明显高于文科．1案例：2015年高考天津卷·理8（二）案例：2015年高考天津卷·文8天津卷文理第8题，虽然都是在分段函数的基础上，考查函数与方程的相关知识，但两道试题的设问、结构以及难度都有明显差异，在能力要求上理科明显高于文科．（二）亮点扫描关注数学应用，突出应用实质，倡导学以致用提高数学的提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，发展数学应用意识和创新意识，是高中数学学习的宗旨.由于大多数省份都采用概率与统计作为应用题的背景，函数应用题在近几年的高考题中出现得较少．但今年设置的应用问题更加趋于理性，没有那种“穿鞋戴帽”的形式，更加关注数学的本质，关注数学应用的实质，关注考查学生数学建模能力、运用数学模型解决问题的决策能力.2案例：2015年高考北京卷·理8本题在对“燃油效率”新定义的理解的基础上考查函数应用，要求具有识图能力，对图象的理解要求较高.（二）亮点扫描揭示函数本质，强调化归转化，倡导以形助数函数、方程、不等式可谓是“一胞三胎”，通过函数的图象可将它们紧密地结合在一起.数形结合不仅在中学数学教学中占有重要的地位，也是历年高考重点考查的内容之一.在运用数形结合解题时要注意以下两点：（1）“形”中觅“数”：根据形的直观性来寻求数量关系，将几何问题代数化，使问题得到解决；（2）“数”中构“形”：根据代数问题具有的几何特征，进而发现数与形之间的关系，从而使代数问题几何化，使问题得到解决.2案例：2015年高考课标Ⅰ卷·理12（二）案例：2015年高考课标Ⅰ卷·理12（二）亮点扫描创新情境认知，突出自主学习，倡导自我提升创新情境试题主要是在试题中给出了中学教学内容中没有遇到过的新知识，如新概念、新定义、新定理或新规则等，要求考生读懂、理解，然后利用这个新知识并结合已有的知识作进一步的推理或演算，主要考查学生的阅读理解并获取有用信息的能力、加工信息的能力或探究能力等，这是创新意识与实际能力考查的重要尝试与方法.2案例：2015年高考湖北卷·文7试题以定义的符号函数作为创新情境，要求考生读懂、理解，然后利用这个新知识并结合已有的知识作进一步的推理或演算.（二）结论与思考（3）各省试题趋于理性，题型丰富，分布均匀各省试题凸显本质，关注交汇，体现理念部分试题尝试探究，规避模式，关注应用思考：数学复习应回归数学本质，突出核心概念，做到三个理解，即理解数学、理解学生、理解教学．（二）静向探微基本类型

（1）用导数求切线（求曲线上一点处的切线方程）；

（2）用导数求函数的单调区间.

（3）用导数求函数的极值.

（4）用导数求函数的最大（小）值.常见题型

（1）单调性问题：已知函数在某个区间上的单调性求参数的取值范围.

（2）零点问题：讨论函数的零点个数，或是已知曲线y=f（x）与x轴有一个（两个、三个）交点（零点），求参数的取值范围.

（3）极值点问题：探究极值点的有关属性，或是已知极值点的范围求参数的有关范围问题.

（4）恒成立问题（f(x)≥m型，f(x)≥ax型，f(x)≥g(x)型，f(x)≥kg(x)型），求参数范围.

（5）带量词的命题问题，带量词的命题成立求参数的取值范围.

（6）证明不等式成立.（三）静向探微求范围从必要条件入手

若已知“p→q”，则q是p的必要条件，意味着q是p成立的必不可少的条件．解题时恰当利用必要条件可帮助探求解题思路，简化解题过程，这在课标卷解题中常常被考查．（三）案例：2012年高考课标Ⅰ卷·理21（三）案例：福州三中高二下·理21本题从题型到设问比较符合课标卷特点，属基本类型题.（三）案例：福州三中高二下·理21静向探微证明题用充分性的方法

A是B的充分条件，表示A成立可以推出B成立，课标卷中常出现用证明A成立的方法去证B成立，这就是证明题不用等价转化，而用充分性的方法，引起大家的关注．（三）证明f(x)>1的一般思路是证明f(x)的最小值大于1，做等价变换后，可以转化为xlnx>xe-x-2/e．一般考虑构造函数证明，但本题却从两个结论，用充分性证得.案例：2014年高考课标Ⅰ卷·理21（三）结论与思考（4）题型、类型固然重要，但不能局限于此函数与导数试题变多，但本质上是转化思考：如何适应变化？（三）动向启示动向注意点总复习建议（四）动向注意点应注意分段函数的引入导致问题复杂化分段函数也是函数的一种表示法，只是对应法则以分段形式表示，但由于复习过程中较少涉及这类函数，导致问题因陌生而复杂.1案例：2015年高考湖南卷·理15函数g(x)有两个零点，即函数f(x)的图象与直线y=b有两个交点，画出f(x)的图象即可判断，但由于涉及分段函数，使得并不太难的试题，因分段表示的陌生而困难重重．（四）动向注意点应注意复合函数、隐函数的导数求法复合函数、隐函数因求导运算错误而影响函数性质的研究，是高考常见的令人痛心的错误，避免的方法就是正视这类函数的求导，从导数的概念到运算法则，真正落实．1案例：2015年高考课标Ⅰ卷·文12（四）动向注意点应注意含有量词的代数问题的求解方法近年在函数与导数的考查中，出现了一类具有形如“任意…，存在…，使得…恒成立（能成立）”固定结构形式的代数证明题，因为问题的表述结合了全称量词、存在量词等常用逻辑用语，使得本来够难的试题更加抽象，如果不适应这种问法，很难得到满分．1案例：2014年高考福建卷·理21本例第（3）问，试题用“任意…，存在…，使得…”以及“恒成立”的数学特有的固定结构，阐述x2与ex的变化情况．从背景来看，试题就是“指数爆炸”这个现象的美妙的数学解析；用图象分析，得到结论是显然的．但指数函数增长的背景与图象分析都不能用于代数证明，正确的证明思路应先从题意理解开始，即需要针对任意的正数c，寻找相应x0的值，并证明当x>x0时，恒有x2<cex成立.（四）得分比例1112131421人3人3人2人（四）案例：2014年高考福建卷·理21（四）评析借助函数的单调性证明不等式，其本质是通过构造相应的函数实现转化．本题的困难在于，对于不同的正数c，需要用数学严谨的方法（而不是感觉上）寻找到相应的x0，并证明当x∈(x0，+∞)时，恒有x2<cex成立.貌似简单的不等式证明问题，实质要构造函数求解，这就是化归与转化的威力，只有理解了“固定结构”的叙述内容，才明白要构造什么函数模型，本例的三种解法中所构造的函数都是有“技术”含量的，解法一是引入自然对数，解法二与解法三都是借助幂函数做过渡，目的是在理解题意的前提下，能按照要求逐步化解寻找x0值的困难．（四）案例：2015年高考四川卷·理15本题以函数图象上两点连线的斜率作为研究对象，结合全称量词、存在量词提供了全新的背景，考查函数的图象与性质.（四）动向注意点应熟悉三次函数的图象与性质引入导数工具，在函数性质研究上，最典型的扩充就是可以全面研究三次函数的图象与性质．三次函数具有丰富的性质，利用导数研究这些性质，其研究的过程和方法具有普适性、一般性和有效性，可以迁移到其他函数的研究中．因此，复习中应以三次函数的图象的形状特征为主线，探索三次函数的单调性、极值、零点个数等问题．并在此过程中，体会数形结合、分类与整合、化归与转化等思想方法．1案例：2015年高考江苏卷·19本题围绕三次函数的图象与性质命题，考查研究函数性质的基本思路和思维层次.在讨论函数的单调性时，完全遵循研究单调性的步骤，即求导、求驻点，列表、看趋势三步曲．第二小题，函数有三个不同零点不难理解，但给出a的取值范围再求c的值，却感觉无从下手，如果继续遵循研究函数性质的基本步骤，以普适性、一般性的方法求解，又能柳暗花明，找到出路，说明函数模型、研究基本策略的重要性．（四）动向注意点应注意分类与整合思想的层次性分类与整合思想是必考的思想方法，而且常常落脚于函数与导数，不论是对函数单调性的讨论，还是在研究函数其他性质的求解过程，总是避免不了进行分类讨论．分类与整合思想是有层次性的，最重要的是，要学生明白为什么要讨论，以及怎么分类讨论．1案例：2015年高考课标Ⅰ卷·理21先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的a值，这是常规题型；h(x)的零点个数由a决定，所以需要对a进行分类讨论．（四）动向注意点应注意二阶导数在研究函数中的拓展应用虽然高中数学没有涉及二阶导数的提法和应用，但将函数的导数表示为新的函数，并继续研究函数的性质的试题比比皆是，尤其是课标卷．因此有必要关注二阶导数在研究函数中的拓展应用，留意函数凸性的等价性，但要注意需要的过程性的学习，而不是定理的记忆．1定义与定理（四）定义与定理（四）定义与定理（四）动向注意点应注意部分内容在要求上的不同把握虽然福建省考试说明的修订与全国统一考试大纲一致，我们研读的结果也发现没有太大差异，但具体实施时，有些知识内容的考查常常超出了福建的要求，这需要引起我们的注意和重视，比如，互为反函数的图象特征，二阶导数的应用等．1案例：2012年高考课标Ⅰ卷·理12本题中的两个动点分别位于一对互为反函数的图象上，因此两点间的距离最小值应转化为其中一个点到对称轴的距离的最小值的两倍.本题对互为反函数的识别，图象的特征提出了较高的要求．（四）总复习建议从习题课、讲评课中区分出来，

做到任务清，目标明．复习课具有两个显著特点，一是搭建知识框架，形成良好的数学认知结构；二是根据教学目标设计必要的训练以发展相应的数学思维能力[1]．2[1]黄炳锋，关于复习课教学设计的框架结构的思考[J]．中小学数学（高中版），2013，1．总复习建议认知结构的建立与完善

复习课的一个重要的任务就是引导学生按照一定标准把已学的知识进行梳理、分类、整合，并建立联系，通过对它们的重新概括，使之条理化、系统化，从整体上形成良好的数学认知结构．72（四）函数与导数专题知识框图（四）总复习建议思维能力的训练与提高

从能力训练的角度看复习课的功能，精选复习内容是重要的环节，复习内容多，复习时间少，这就需要教师选择能体现数学的核心概念和基本思想方法的典型例题，典型例题是为达成能力目标服务的，通过训练提高综合应用知识解决问题的能力，并提炼相应的核心概念和思想方法体系．74（四）结论与思考（5）把握函数与导数专题的重点知识以题组教学为核心设计一轮复习以知识为依托，训练思想与方法（四）教学示例课题：导数及其应用复习课（文科）

执教：北师大二附中金宝铮（特级教师）

地点：北师大二附中高三（6）

时间：2013年11月20日．76（四）情景再现首先，教师让学生先完成4道函数求导的训练题，试题选自北京市2010-2013年高考题，如下．求下列函数的导数

（1）

（2）

（3）

（4）77（四）情景再现接着，教师用提问的形式让学生归纳导数的应用有哪几种类型，并在教师询问下，学生为每一类型都设计了相应的例题，教师将它写在黑板上．（四）情景再现79（四）情景再现最后，在教师一再询问下，由师生合作补充了第5种类型：证明不等式．然后，教师调板4位学生，完成前4种类似的试题，并点评解答，给出小结．80（四）教学中的几个细节学生回答第一类型后，教师自然提出了一个变式训练：求过函数y=x3的图象上的点（1,1）的切线方程．将切线问题的两种情形进行对比，从语言叙述的差异、解决问题方法的相同之处，展示给学生．81（四）教学中的几个细节第4名学生开始时设计的函数y=x3+2x很容易看出是没有极值的，但教师没有点破，而是不动声色地请这个学生来解决，这名学生在解答过程中终于发现了问题，于是重新编制了一道试题：求函数y=x3-x2-x+4的极值．82（四）教学中的几个细节第5个问题是：已知函数f(x)=x，g(x)=sinx，问y=f(x)与y=g(x)的图象有几个公共点？学生在回答问题是遇到困难，教师及时从“图形”的角度提出判断，又从“构造函数”角度提出解决问题的方法．83（四）听课思考我在想，为什么我们的学生学习的数学经常会遗忘呢？我们日常