n-banach空间中强收敛与弱收敛的推广

n-banach空间中强收敛与弱收敛的推广

1xe3.1首先，文本中使用的符号如下所示。(1)下面的讨论中,都设dimX≥n.(2)出现c=(c1,c2,…,cn-1)的地方,都表示c1,c2,…,cn-1∈X为线性无关的.(3)对任意c=(c1,c2,…,cn-1),Sc={x∈X:‖x,c1,…,cn-1‖=1}表示X关于c之单位球面.(4)用[x]表示Span{x}.对于n-Banach空间理论问题的研究已经日趋完善,部分学者将研究目光转移到了的n-Banach空间中.有关n-Banach空间中的相关知识可参考文献(,,,).本文中关于强收敛与弱收敛的相关结果对于进一步研究n-Banach空间理论有一定的铺垫作用.定义1设X为线性空间,若对X中的每一个n元组x1,x2,…,xn都对应一个实数‖x1,x2,…,xn‖且满足:(1)‖x1,x2,…,xn‖=0⇔x1,x2,…,xn是线性相关的.(2)‖x1,x2,…,xn‖=‖x2,x1,…,xn‖=…(可交换).(3)‖x1,x2,…,α·xn‖=|α|·‖x2,x1,…,xn‖,α∈R1.(4)‖x1,x2,…,xn+x‖≤‖x1,x2,…,xn‖+‖x1,x2,…,x‖.称X为n-赋范空间,其中‖·,…,·‖称为n-范数.定义2设{xm}是n-赋范空间X中的点列,若X中存在线性无关组c1,c2,…,cn∈X,使得limi,k∥xi-xk,ck1,ck2,⋯,ckn-1∥=0‚其中ck1,ck2,…,ckn-1为c1,c2,…,cn中任意n-1个元素组,称点列{xm}为X中的Cauchy列.定义3设{xm}是n-赋范空间X中的点列,若存在x∈X,使对任意c1,c2,…,cn-1∈X有∥xm-x,c1,c2,⋯,cn-1∥→0,m→∞,称{xm}收敛于x,记为xm→x,且x叫做{xm}的极限.此时也称{xm}强收敛于x,记为xms→x.定义4若n-赋范空间X中的每个Cauchy列都是收敛的,称X为n-Banach空间.定义5设{xm}是n-赋范空间X中的点列,若存在x∈X,以及X中线性无关的n元组c1,c2,…,cn,使对c1,c2,…,cn中任意n-1个元ck1,ck2,…,ckn-1,有∥xm-x,ck1,⋯,ckn-1∥→0,m→∞,称点列{xm}关于c1,c2,…,cn收敛于x,且x叫做{xm}关于c1,c2,…,cn的极限.定义6设X为n-赋范空间,A1,…,An⊂X为n个子空间,定义在A1×A2×…×An上的n元实函数F,如果满足:(1)F(x(1)1+x(2)1,…,x(1)n+x(2)n)=2∑i1=1⋯2∑in=1F(xi11,…,xinn);(2)F(α1x1,…,αnxn)=α1α2…αnF(x1,…,xn),α1,α2,…,αn∈R1.则称F为A1×A2×…×An上的线性n-泛函.若存在K>0,使得F(x1,x2,…,xn)≤K·‖x1,x2,…,xn‖,对∀(x1,x2,…,xn)∈A1×A2×…×An成立,则称F为A1×A2×…×An上的有界线性n-泛函.定义7设X为n-赋范空间,c=(c1,c2,…,cn-1),以B(X,c)表示X×[c1]…×[cn-1]上的有界线性n-泛函全体.对X中任意的c=(c1,c2,…,cn-1),BX=∪B(X,c)称为n-赋范空间X的共轭空间.定义8设{xm}是n-赋范空间X中的点列,若存在x∈X,使对任意c=(c1,c2,…,cn-1),及∀F∈B(X,c),有F(xm,c1,…,cn-1)→F(x,c1,…,cn-1),m→∞,称{xm}弱收敛于x,记为xmw→x.定义9n-Banach空间X称为关于c=(c1,c2,…,cn-1)之一致凸的,如果对∀ε>0,存在δ=δ(c,ε)>0,使得当x,y∈Sc,|x+y2,c1,c2,⋯,cn-1|＞1-δ时有‖x-y,c1,c2,…,cn-1‖<ε.如果对任意的c=(c1,c2,…,cn-1),X关于c都是一致凸的,则称X为一致凸.定义10设X为n-Banach空间,定义X关于c=(c1,c2,…,cn-1)之凸性模为:δcX(ε)=inf{1-∥x+y2,c1,c2,⋯,cn-1∥:x,y∈Sc,∥x-y,c1,c2,⋯,cn-1∥≥ε}.2定义2、dimxn引理1设X为n-Banach空间,则X中点列xm→x当且仅当X中存在线性无关的n元组c1,c2,…,cn,使得{xm}关于c1,c2,…,cn收敛于x.引理2设X为n-Banach空间,x1,x2,…,xn∈X为线性无关组,则在X×[x2]…×[xn]上存在有界线性n-泛函F,使得F(x1,…,xn)=‖x1,…,xn‖且‖F‖=1.引理3设F为定义域D(F)上的有界线性n-泛函,则∥F∥=sup{|F(x1,⋯,xn)|:∥x1,⋯,xn∥=1,(x1,⋯,xn)∈D(F)}=sup{|F(x1,⋯,xn)|∥x1,⋯,xn∥:∥x1,⋯,xn∥≠0,(x1,⋯,xn)∈D(F)}.引理4设X是n-赋范空间,则X中点列xms→x当且仅当对任意的c=(c1,c2,…,cn-1)有‖xm-x,c1,…,cn-1‖→0,m→∞.证明结合定义3,5及引理1,dimX≥n,易证.引理5设X是n-赋范空间,{xm}是X中的点列,若对X中任意的c=(c1,c2,…,cn-1),有∥xi-xk,c1,c2,⋯,cn-1∥→0,i,k→∞,则{xm}是X中的Cauchy列.证明利用定义2及dimX≥n,易证.3xmcn-15.定理1在n-Banach空间X中.(1)若xms→x,则对任意的c=(c1,c2,…,cn-1),{‖xm,c1,c2,…,cn-1‖}为有界列.(2)若xms→x,则对任意的c=(c1,c2,…,cn-1)有∥xm,c1,c2,⋯,cn-1∥→∥x,c1,c2,⋯,cn-1∥,m→∞.(3)若{xm}是X中的Cauchy列,则xms→x∈X.证明(1)因为xms→x,所以由引理4,对任意的c=(c1,c2,…,cn-1)有∥xm-x,c1,⋯,cn-1∥→0,m→∞.于是对∀ε>0,∃M>0,当m>M时有‖xm-x,c1,…,cn-1‖<ε.特别取ε=1,必∃M1>0,当m>M1时有‖xm-x,c1,…,cn-1‖<1.此时有∥xm,c1,⋯,cn-1∥≤∥xm-x,c1,⋯,cn-1∥+∥x,c1,⋯,cn-1∥≤1+∥x,c1,⋯,cn-1∥,m＞Μ1.再令r=max{‖x1,c1,…,cn-1‖,…,‖xM1,c1,…,cn-1‖,1+‖x,c1,…,cn-1‖},则有‖xm,c1,…,cn-1‖<r,m=1,2,….故{‖xm,c1,c2,…,cn-1‖}为有界列.(2)因为∥xm,c1,⋯,cn-1∥=∥xm+x-x,c1,⋯,cn-1∥≥∥xm+x,c1,⋯,cn-1∥-∥x,c1,⋯,cn-1∥,于是用xm-x代替xm得∥xm-x,c1,⋯,cn-1∥≥∥xm-x+x,c1,⋯,cn-1∥-∥x,c1,⋯,cn-1∥=∥xm,c1,⋯,cn-1∥-∥x,c1,⋯,cn-1∥.又因为∥x-xm,c1,⋯,cn-1∥≥∥x,c1,⋯,cn-1∥-∥xm,c1,⋯,cn-1∥,故有-∥xm-x,c1,⋯,cn-1∥≤∥x,c1,⋯,cn-1∥-∥xm,c1,⋯,cn-1∥≤∥xm-x,c1,⋯,cn-1∥.即|∥xm,c1,⋯,cn-1∥-∥x,c1,⋯,cn-1∥|≤∥xm-x,c1,⋯,cn-1∥.由xm→sx知,0≤limm→∞|∥xm,c1,⋯,cn-1∥-∥x,c1,⋯,cn-1∥|≤limm→∞∥xm-x,c1,⋯,cn-1∥=0.于是对任意的c=(c1,c2,…,cn-1)有∥xm,c1,c2,⋯,cn-1∥→∥x,c1,c2,⋯,cn-1∥,m→∞成立.(3)由n-Banach空间的定义知,xm→sx∈X成立.4定理解析定理2在n-Banach空间X中.(1)若xm→wx,则极限唯一.(2)若xm→wx,则{xm}的任一子序列{xmi}也弱收敛于x,即xmi→wx.证明(1)若xm→wx,xm→wx′,则由弱收敛的定义,对任意的c=(c1,c2,…,cn-1),及∀F∈B(X,c)有F(xm,c1,⋯,cn-1)→F(x,c1,⋯,cn-1),m→∞,F(xm,c1,⋯,cn-1)→F(x′,c1,⋯,cn-1),m→∞,于是F(x,c1,…,cn-1)=F(x′,c1,…,cn-1).由于F为线性泛函,所以F(x-x′,c1,…,cn-1)=0.若x-x′,c1,c2,…,cn-1线性无关,则‖x-x′,c1,c2,…,cn-1‖≠0.由引理2,在X×[c1]…×[cn-1]上存在有界线性n-泛函F0,使得F0(x-x′,c1,c2,…,cn-1)=‖x-x′,c1,c2,…,cn-1‖≠0,这与对∀F∈B(X,c)有F(x-x′,c1,…,cn-1)=0,产生矛盾.于是x-x′,c1,c2,…,cn-1线性相关,再由c=(c1,c2,…,cn-1)的任意性得x-x′=0,即x=x′.(2)若xm→wx,则由弱收敛的定义,对任意的c=(c1,c2,…,cn-1),及∀F∈B(X,c)有F(xm,c1,⋯,cn-1)→F(x,c1,⋯,cn-1),m→∞.再由极限的性质得F(xmi,c1,⋯,cn-1)→F(x,c1,⋯,cn-1),i→∞.故xmi→wx.定理3设X是n-Banach空间,{xm}是X中的点列,若xm→wx,且对任意的c=(c1,c2,…,cn-1)有limm→∞¯∥xm,c1,c2,⋯,cn-1∥＜∞,则∥x,c1,c2,⋯,cn-1∥≤limm→∞¯∥xm,c1,c2,⋯,cn-1∥.证明(i)若x,c1,c2,…,cn-1线性相关,则‖x,c1,c2,…,cn-1‖=0.于是有0=∥x,c1,c2,⋯,cn-1∥≤limm→∞¯∥xm,c1,c2,⋯,cn-1∥,故结论成立.(ii)若x,c1,c2,…,cn-1线性无关,则‖x,c1,c2,…,cn-1‖≠0.由假设条件可设limm→∞¯∥xm,c1,c2,⋯,cn-1∥=d,其中d为有限数.若定理结论不成立,则∥x,c1,c2,⋯,cn-1∥＞limm→∞¯∥xm,c1,c2,⋯,cn-1∥.取实数r满足:‖x,c1,c2,…,cn-1‖>r>d.于是∃M>0,当m>M时有‖xm,c1,c2,…,cn-1‖<r.由引理2,在X×[c1]×…×[cn-1]上存在有界线性n-泛函F,使得F(x,c1,c2,…,cn-1)=‖x,c1,c2,…,cn-1‖且‖F‖=1.再由引理3知|F(xm,c1,c2,⋯,cn-1)|≤∥F∥⋅∥xm,c1,c2,⋯,cn-1∥=∥xm,c1,c2,⋯,cn-1∥＜r,而|F(x,c1,c2,⋯,cn-1)|=∥x,c1,c2,⋯,cn-1∥＞r.故limm→∞F(xm,c1,c2,⋯,cn-1)≠F(x,c1,c2,⋯,cn-1),这与xm→wx相矛盾,因此定理成立.5．2.2cn-1xm,c2,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,定理4设X是n-Banach空间,{xm}是X中的点列,若xm→sx,则xm→wx.证明利用定义3,8易证.定理5设X是一致凸的n-Banach空间,若(1){xm}⊂X,且xm→wx.(2)对任意的c=(c1,c2,…,cn-1)有limm→∞∥xm,c1,c2,⋯,cn-1∥=∥x,c1,c2,⋯,cn-1∥,则{xm}强收敛于x,即xm→sx.证明对X中任意的c=(c1,c2,…,cn-1).当x=0时,limm→∞∥xm,c1,c2,⋯,cn-1∥=∥0,c1,c2,⋯,cn-1∥=0,即limm→∞∥xm-0,c1,c2,⋯,cn-1∥=0,于是由引理4知xm→sx.当x≠0时,分两种情况讨论如下:(i)若x,c1,c2,…,cn-1线性相关,则‖x,c1,c2,…,cn-1‖=0.由于‖xm-x,c1,c2,…,cn-1‖≤‖xm,c1,c2,…,cn-1‖+‖x,c1,c2,…,cn-1‖,所以limm→∞∥xm-x,c1,c2,⋯,cn-1∥≤limm→∞∥xm,c1,c2,⋯,cn-1∥+∥x,c1,c2,⋯,cn-1∥,于是limm→∞∥xm-x,c1,c2,⋯,cn-1∥≤∥x,c1,c2,⋯,cn-1∥+∥x,c1,c2,⋯,cn-1∥=0,故有limm→∞∥xm-x,c1,c2,⋯,cn-1∥=0.由引理4知,{xm}强收敛于x,即xm→sx.(ii)若x,c1,c2,…,cn-1线性无关,则‖x,c1,c2,…,cn-1‖≠0.于是limm→∞∥xm,c1,c2,⋯,cn-1∥=∥x,c1,c2,⋯,cn-1∥＞0.故∃M>0,当m>M时有‖xm,c1,c2,…,cn-1‖>0.从而当m>M时,若‖xm,c1,c2,…,cn-1‖≠1,则由{xm}的弱收敛性知,F(xm,c1,c2,⋯,cn-1)∥xm,c1,c2,⋯,cn-1∥→F(x,c1,c2,⋯,cn-1)∥x,c1,c2,⋯,cn-1∥,m→∞,即有F(xm∥xm,c1,c2,⋯,cn-1∥,c1,⋯,cn-1)→F(x∥x,c1,c2,⋯,cn-1∥,c1,⋯,cn-1),m→∞.令zm=xm∥xm,c1,c2,⋯,cn-1∥,z=xm∥x,c1,c2,⋯,cn-1∥.则F(zm,c1,…,cn-1)→F(z,c1,…,cn-1),m→∞.并且‖zm,c1,c2,…,cn-1‖=1(m>M),‖z,c1,c2,…,cn-1‖=1.因此总可以假定‖xm,c1,c2,…,cn-1‖=1(m>M),‖x,c1,c2,…,cn-1‖=1.若limm→∞∥xm-x,c1,c2,⋯,cn-1∥=0不成立,则∃ε0>0,和自然数列m1<m2<…<mk<…,使得∥xmk-x,c1,c2,⋯,cn-1∥≥ε0(k=1,2,⋯),又因为当m>M时有‖xm,c1,c2,…,cn-1‖=1.所以∃K0>0,当k>K0时,‖xmk,c1,c2,…,cn-1‖=1与‖xmk-x,c1,c2,…,cn-1‖≥ε0同时成立,并且有‖x,c1,c2,…,cn-1‖=1.由X是一致凸的n-Banach空间可知,对c=(c1,c2,…,cn-1),∃δ=δ(c,ε)>0,使得|xmk+x2,c1,c2,⋯,cn-1|＜1-δ,k＞Κ0.利用引理2,在X×[c1]…×[cn-1]上存在有界线性n-泛函F,使得F(x,c1,…,cn-1)=‖x,c1,c2,…,cn-1‖且‖F‖=1.再根据假设条件知F(xm,c1,c2,⋯,cn-1)→F(x,c1,c2,⋯,cn-1),m→∞,从而有F(xmk,c1,c2,⋯,cn-1)→F(x,c1,c2,⋯,cn-1),k→∞.因此F(xmk+x2,c1,⋯,cn-1)=12F(xmk2,c1,⋯,cn-1)+12F(x2,c1,⋯,cn-1)→F(x,c1,c2,⋯,cn-1)=1,k→∞.所以∃K1>0,当k>K1时有F(xmk+x2,c1,⋯,cn-1)＞1-δ,另一方面F(xmk+x2,c1,c2,⋯,cn-1)≤∥F∥⋅|xmk+x2,c1,c2,⋯,cn-1|=|xmk+x2,c1,c2,⋯,cn-1|≤1-δ,k＞Κ1.令K′=max{K0,K1},则当k>K′时有F(xmk+x2,c1,c2,⋯,cn-1)＞1-δ,F(xmk+x2,c1,c2,⋯,cn-1)≤1-δ同时成立,这是不可能的.综上可知,对X中任意的c=(c1,c2,…,cn-1),都有limm→∞∥xm-x,c1,c2,⋯,cn-1∥=0.由引理4知,{xm}强收敛于x,即xm→sx.6出xmxm,c2,c,c2,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c,c定理6n-Banach空间X是一致凸的充要条件为对∀c=(c1,…,cn-1),{xm}∈Sc,{ym}∈Sc,从‖xm,c1,c2,…,cn-1‖=‖ym,c1,c2,…,cn-1‖=1(m=1,2,…)和limm→∞∥xm+ym,c1,c2,⋯,cn-1∥=2,必能推出limm→∞∥xm-ym,c1,c2,⋯,cn-1∥=0.证明必要性.假设对任意的c=(c1,c2,…,cn-1),{xm}∈Sc,{ym}∈Sc,且满足条件‖xm,c1,c2,…,cn-1‖=‖ym,c1,c2,…,cn-1‖=1(m=1,2,…)和limm→∞∥xm+ym,c1,c2,⋯,cn-1∥=2,但推不出limm→∞∥xm-ym,c1,c2,⋯,cn-1∥=0.则必∃ε0>0,及子序列{xmk}⊂{xm},{ymk}⊂{ym}(k=1,2,…),使得∥xmk-ymk,c1,c2,⋯,cn-1∥≥ε0成立.再由X是一致凸的知,存在δ=δ(c,ε0)>0,使得|xmk+ymk2,c1,c2,⋯,cn-1|≤1-δ,于是∥xmk+ymk,c1,c2,⋯,cn-1∥≤2(1-δ),故limk→∞∥xmk+ymk,c