2010年天津市中考数学压轴题解析

L/O/G/O2010年天津市中考数学压轴题解析2010天津市中考数学第26题（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为E.若b=2，c=3，求此时抛物线顶点E的坐标；将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后,在四边形ABEC中满足S△BCE

=

S△ABC，求此时直线BC的解析式；将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满S△BCE=2S△AOC，且顶点E恰好落在直线y=-4x+3上，求此时抛物线的解析式.（Ⅰ）当b=2，c=3时，抛物线的解析式为

y=-x2+2x+3，即y=-(x-1)2+4.∴ 抛物线顶点E的坐标为（1，4）．（

Ⅱ ）解题要点1：设解析式解法1：设一般式将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点E在对称轴x=1上，有b=2，∴ 抛物线的解析式为y=-x2+2x+c（c＞0）∴ 此时，抛物线与y轴的交点为C(0，c)，顶点为E(1,1+c)与x轴交点为解法2：设顶点式将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，

则设抛物线的解析式为y=-(x-1)2+k∴E(1,k)

C(0,k-1)A(1-

,0)

B(1+

,0)．解法3：设交点式将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点E在对称轴x=1上设B(t,0) 则A(2-t,0)平移后抛物线为：y=

-（x-t）[x-(2-t)]=

-x2+2x+t2-2t∴C(0,t2-2t)

E(1,

t2-2t+1)（

Ⅱ ）解题要点2：求△BCE的面积思路一：割补法思路二：转化与化归思路一：割补法

解法1：（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点E在对称轴x=1上，有b=2，∴

抛物线的解析式为

y=-x2+2x+c（c＞0）∴ 此时，抛物线与y轴的交点为C(0，c)，顶点为E(1,1+c)．则EC：y=x+cEyxBDF

A

OC设EC与x轴交于点F（-c,0）,B(t,0)则A(2-t,0)∴AB=2t-2又∵ 方程-x2+2x+c=0的两个根为，，∴

=2t-2c=t2-2t

①EyxBDF

A

OCS△ABC=S△BCE=∵

S△BCE

=

S△ABC∴∴②EyxBDF

A

OC由①②解得．∴

点

，∴ 直线BC的解析式为.解法2：（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则设抛物线的解析式为y=-(x-1)2+k,0)．∴E(1,k)

C(0,k-1)

A(1-过E作EF⊥y轴于F∴S△BCE

=

S梯形FOBE

-

S△BCO-

S△CEF=S△ABC

=E,0)

B(1+yxBA

OFC∴=解得∴

点

，∴

直线的解析式为.解法3：（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点E在对称轴x=1上设B(t,0) 则A(2-t,0)平移后抛物线为：y=

-（x-t）[x-(2-t)]=

-x2+2x+t2-2t∴C(0,t2-2t)

E(1,

t2-2t+1)BC:y=(2-t)x+

t2-2t作ED⊥AB于D，交BC于F.∴F(1,

t2-3t+2)

∴EF=t-1O∵

S△BCE

=

S△ABC∴∴t(t-1)=(2t-2)(t2-2t)∵c>0

∴t>2

t=∴

直线的解析式为.O思路二：转化与化归（将三角形面积相等这个条件转化为图形中某些线段之间的关系，由此表示出某些特殊位置的点的坐标，代入曲线方程从而求解）解法1：（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点E在对称轴x=1上，有b=2∴

抛物线的解析式为（c＞0）∴ 此时，抛物线与轴的交点为

，顶点为

.O作ED⊥AB于D，交BC于F.∵AD=BD=∴

S△CDB

S△ABC∴∴

2FD=EF∴F(1,)∴CF:∴B(

)∵B在抛物线上∴（）解得解法2：（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点E在对称轴x=1上，有b=2，∴

抛物线的解析式为（

）．∴

此时，抛物线与轴的交点．，，，为 ，顶点为∵

方程的两个根为∴

此时，抛物线与轴的交为．∴B