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文档简介
L/O/G/O2010年天津市中考数学压轴题解析2010天津市中考数学第26题(10分)在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴的正半轴交于点C,顶点为E.若b=2,c=3,求此时抛物线顶点E的坐标;将(Ⅰ)中的抛物线向下平移,若平移后,在四边形ABEC中满足S△BCE
=
S△ABC,求此时直线BC的解析式;将(Ⅰ)中的抛物线作适当的平移,若平移后,在四边形ABEC中满S△BCE=2S△AOC,且顶点E恰好落在直线y=-4x+3上,求此时抛物线的解析式.(Ⅰ)当b=2,c=3时,抛物线的解析式为
y=-x2+2x+3,即y=-(x-1)2+4.∴ 抛物线顶点E的坐标为(1,4).(
Ⅱ )解题要点1:设解析式解法1:设一般式将(Ⅰ)中的抛物线向下平移,则顶点E在对称轴x=1上,有b=2,∴ 抛物线的解析式为y=-x2+2x+c(c>0)∴ 此时,抛物线与y轴的交点为C(0,c),顶点为E(1,1+c)与x轴交点为解法2:设顶点式将(Ⅰ)中的抛物线向下平移,
则设抛物线的解析式为y=-(x-1)2+k∴E(1,k)
C(0,k-1)A(1-
,0)
B(1+
,0).解法3:设交点式将(Ⅰ)中的抛物线向下平移,则顶点E在对称轴x=1上设B(t,0) 则A(2-t,0)平移后抛物线为:y=
-(x-t)[x-(2-t)]=
-x2+2x+t2-2t∴C(0,t2-2t)
E(1,
t2-2t+1)(
Ⅱ )解题要点2:求△BCE的面积思路一:割补法思路二:转化与化归思路一:割补法
解法1:(Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移,则顶点E在对称轴x=1上,有b=2,∴
抛物线的解析式为
y=-x2+2x+c(c>0)∴ 此时,抛物线与y轴的交点为C(0,c),顶点为E(1,1+c).则EC:y=x+cEyxBDF
A
OC设EC与x轴交于点F(-c,0),B(t,0)则A(2-t,0)∴AB=2t-2又∵ 方程-x2+2x+c=0的两个根为,,∴
=2t-2c=t2-2t
①EyxBDF
A
OCS△ABC=S△BCE=∵
S△BCE
=
S△ABC∴∴②EyxBDF
A
OC由①②解得.∴
点
,∴ 直线BC的解析式为.解法2:(Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移,则设抛物线的解析式为y=-(x-1)2+k,0).∴E(1,k)
C(0,k-1)
A(1-过E作EF⊥y轴于F∴S△BCE
=
S梯形FOBE
-
S△BCO-
S△CEF=S△ABC
=E,0)
B(1+yxBA
OFC∴=解得∴
点
,∴
直线的解析式为.解法3:(Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移,则顶点E在对称轴x=1上设B(t,0) 则A(2-t,0)平移后抛物线为:y=
-(x-t)[x-(2-t)]=
-x2+2x+t2-2t∴C(0,t2-2t)
E(1,
t2-2t+1)BC:y=(2-t)x+
t2-2t作ED⊥AB于D,交BC于F.∴F(1,
t2-3t+2)
∴EF=t-1O∵
S△BCE
=
S△ABC∴∴t(t-1)=(2t-2)(t2-2t)∵c>0
∴t>2
t=∴
直线的解析式为.O思路二:转化与化归(将三角形面积相等这个条件转化为图形中某些线段之间的关系,由此表示出某些特殊位置的点的坐标,代入曲线方程从而求解)解法1:(Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移,则顶点E在对称轴x=1上,有b=2∴
抛物线的解析式为(c>0)∴ 此时,抛物线与轴的交点为
,顶点为
.O作ED⊥AB于D,交BC于F.∵AD=BD=∴
S△CDB
S△ABC∴∴
2FD=EF∴F(1,)∴CF:∴B(
)∵B在抛物线上∴()解得解法2:(Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移,则顶点E在对称轴x=1上,有b=2,∴
抛物线的解析式为(
).∴
此时,抛物线与轴的交点.,,,为 ,顶点为∵
方程的两个根为∴
此时,抛物线与轴的交为.∴B
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