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文档简介

第四章、数值微分与数值积分数值微分x-hxx+hBCAT

f(x)差商型求导公式的余项从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越准确；从舍入误差的角度来看，步长不宜太小。2、插值型求导公式两点公式三点公式同样，针对m也可扩展，如五点插值求积公式。3、样条求导数值积分§1.插值型求积公式(二)抛物型求积公式(三.1)Newton-Cotes求积公式(三.2)计算系数Ai(三.3)Newton-Cotes系数n12345678Newton-Cotes公式的稳定性§2.梯形、抛物线公式的误差估计

衡量插值型求积公式的精度,可以用多项式的次数作为标准.梯形求积公式的代数精确度Newton-Cotes求积公式的代数精确度n=偶数时，考虑n+1次多项式梯形公式的截断误差抛物求积(Simpson)公式的截断误差证明思路:1,将

用插值多项式表示，且与抛物公式值相同，抛物求积公式误差证明(1)证明:求积公式抛物求积公式误差证明(2)§3.复化公式及其误差估计

误差公式:区间越小,误差更小——复化。[a,b]2n等分,可得T2n:

复化梯形公式的分半加密算法复化抛物型公式

由于抛物线公式用到区间中点，故可将区间看作等分偶数份.令

是整数,在每个

上用抛物线公式：则有复化公式误差复化求积例自动选步长计算

由误差要求可定出n，但事先难估计：应边算边估计进而加密，自动分半的Simpson公式只要利用公式不断计算新分点之函数值，

S2

，S4

…，Sn

，S2n

…复化求积例（3）§4.Richardson外推算法如何仅通过构造

的线性组合产生更高阶逼近函数

呢？通过适当线性组合就可以明显提高逼近阶!§5.Romberg求积法同样可继续推广(Richardson外推算法)：两个步长分别为h,0.5h的低级计算值的线性组合产生一个高级计算值，因此不断地分半计算是必须的：Romberg求积法的收敛性Romberg算法§6.高斯公式

Newton-Cotes求积公式是封闭型的（区间[a,b]的两端点a,b均是求积节点）而且要求求积节点是等距的,受此限制，它的代数精确度只能是n(n为奇数)或n+1(n为偶数).而如果对求积节点也适当的选取,即在求积公式中不仅Ak而且xk也加以选取,这就可以增加自由度，从而可提高求积公式的代数精确度.

高斯－勒让德公式带权的高斯公式高斯公式的余项高斯公式的稳定性作业:确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精:1)

2)2.已知

，1)推导以这三个点为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式;2)求上述求积公式的代数精确度;3)用上述公式计算.

3.如果要用复化梯形公式计算积分

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