人教B版数学必修四讲义第2章章末复习课Word版含答案

(教师用书独具)平面向量的线性运算1.向量线性运算的结果仍是一个向量，因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面．2．向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题．3．题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等．【例1】如图，在△ABC中，点M是AB边的中点，E是中线CM的中点，AE的延长线交BC于F.MH∥AF交BC于H.求证：eq\o(HF,\s\up8(→))＝eq\o(BH,\s\up8(→))＝eq\o(FC,\s\up8(→)).[思路探究]选择两不共线向量作基底，然后用基底向量表示出eq\o(HF,\s\up8(→))、eq\o(BH,\s\up8(→))与eq\o(FC,\s\up8(→))即可证得．[证明]设eq\o(BM,\s\up8(→))＝a，eq\o(MH,\s\up8(→))＝b，则eq\o(BH,\s\up8(→))＝a＋b，eq\o(HF,\s\up8(→))＝eq\o(HB,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(AF,\s\up8(→))＝－eq\o(BH,\s\up8(→))＋2eq\o(BM,\s\up8(→))＋2eq\o(MH,\s\up8(→))＝－a－b＋2a＋2b＝a＋beq\o(FC,\s\up8(→))＝eq\o(FE,\s\up8(→))＋eq\o(EC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(HM,\s\up8(→))＋eq\o(ME,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(MH,\s\up8(→))＋eq\o(MA,\s\up8(→))＋eq\o(AE,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)b＋eq\o(BM,\s\up8(→))＋eq\o(AF,\s\up8(→))－eq\o(EF,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)b＋a＋2eq\o(MH,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(MH,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)b＋a＋2b－eq\f(1,2)b＝a＋b.综上，得eq\o(HF,\s\up8(→))＝eq\o(BH,\s\up8(→))＝eq\o(FC,\s\up8(→)).1.如图，平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM＝eq\f(1,2)AB，点N在BC上，且BN＝eq\f(1,3)BC，求证：M，N，D三点共线．[证明]设eq\o(AB,\s\up8(→))＝e1，eq\o(AD,\s\up8(→))＝e2，则eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＝e2，∵eq\o(BN,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)e2，eq\o(BM,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)e1，∴eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(BN,\s\up8(→))－eq\o(BM,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)e2－eq\f(1,2)e1，又∵eq\o(MD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AM,\s\up8(→))＝e2－eq\f(3,2)e1＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)e2－\f(1,2)e1))＝3eq\o(MN,\s\up8(→))，∴向量eq\o(MN,\s\up8(→))与eq\o(MD,\s\up8(→))共线，又M是公共点，故M，N，D三点共线.平面向量的数量积平面向量的数量积是由物理问题中的做功问题引入的，向量数量积的结果是一个数量，根据定义式可知，当向量夹角为锐角、钝角和直角时，其结果分别为正值、负值和零，零向量与任何一个向量的数量积均为零．平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用向量的数量积可以计算向量的夹角和长度．【例2】非零向量a，b满足(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，求a，[思路探究]eq\x(由a＋b⊥2a－b，a－2b⊥2a＋b列出方程组)→eq\x(求出|a|2，|b|2，a·b的关系)→eq\x(利用夹角公式可求)[解]由(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2|a|2－|b|2＋a·b＝0，,2|a|2－2|b|2－3a·b＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a|2＝－\f(5,2)a·b，,|b|2＝－4a·b，))所以|a||b|＝－eq\r(10)a·b，所以cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(\r(10),10).2.如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝________.18[∵eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AP,\s\up8(→))·(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))＝eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AP,\s\up8(→))·(eq\o(BD,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→)))＝eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(BD,\s\up8(→))＋2eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))，∵AP⊥BD，∴eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(BD,\s\up8(→))＝0.∵eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝|eq\o(AP,\s\up8(→))||eq\o(AB,\s\up8(→))|cos∠BAP＝|eq\o(AP,\s\up8(→))|2，∴eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝2|eq\o(AP,\s\up8(→))|2＝2×9＝18.]向量的坐标运算1.向量的坐标表示实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一．2．向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现．3．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角判断共线、平行、垂直等问题．【例3】已知向量eq\o(AB,\s\up8(→))＝(4,3)，eq\o(AD,\s\up8(→))＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点P(2，y)满足eq\o(PB,\s\up8(→))＝λeq\o(BD,\s\up8(→))(λ∈R)，求y与λ的值．[思路探究](1)先求B，D点的坐标，再求M点坐标；(2)由向量相等转化为y与λ的方程求解．[解](1)设点B的坐标为(x1，y1)．∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝(4,3)，A(－1，－2)，∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋1＝4，,y1＋2＝3，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝3，,y1＝1，))∴B(3,1)．同理可得D(－4，－3)．设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，则x2＝eq\f(3－4,2)＝－eq\f(1,2)，y2＝eq\f(1－3,2)＝－1，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1)).(2)由已知得eq\o(PB,\s\up8(→))＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，eq\o(BD,\s\up8(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．又eq\o(PB,\s\up8(→))＝λeq\o(BD,\s\up8(→))，∴(1,1－y)＝λ(－7，－4)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝－7λ，,1－y＝－4λ，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,7)，,y＝\f(3,7).))3．已知△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，求eq\o(AD,\s\up8(→)).[解]设D(x，y)，则eq\o(AD,\s\up8(→))＝(x－2，y＋1)，eq\o(BD,\s\up8(→))＝(x－3，y－2)，eq\o(BC,\s\up8(→))＝(－6，－3)，∵eq\o(AD,\s\up8(→))⊥eq\o(BC,\s\up8(→))，∴eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0，则有－6(x－2)－3(y＋1)＝0，①∵eq\o(BD,\s\up8(→))∥eq\o(BC,\s\up8(→))，则有－3(x－3)＋6(y－2)＝0，②解由①②构成的方程组得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))则D点坐标为(1,1)，所以eq\o(AD,\s\up8(→))＝(－1,2).平面向量的应用1.向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．2．向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程．3．在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题．【例4】已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.[证明]如图建立直角坐标系，其中A为原点，不妨设AB＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)．(1)eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\o(OE,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)，eq\o(CF,\s\up8(→))＝eq\o(OF,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)．∵eq\o(BE,\s\up8(→))·eq\o(CF,\s\up8(→))＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，∴eq\o(BE,\s\up8(→))⊥eq\o(CF,\s\up8(→))，即BE⊥CF.(2)设P(x，y)，则eq\o(FP,\s\up8(→))＝(x，y－1)，eq\o(CF,\s\up8(→))＝(－2，－1)，∵eq\o(FP,\s\up8(→))∥eq\o(CF,\s\up8(→))，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.同理由eq\o(BP,\s\up8(→))∥eq\o(BE,\s\up8(→))，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2.解得x＝eq\f(6,5)，∴y＝eq\f(8,5)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，\f(8,5))).∴eq\o(AP,\s\up8(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))eq\s\up8(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)))eq\s\up8(2)＝4＝eq\o(AB,\s\up8(→))2，∴|eq\o(AP,\s\up8(→))|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|，即AP＝AB.4．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD的两对角线所夹的锐角的余弦值．[解](1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴eq\o(AB,\s\up8(→))＝(1,1)，eq\o(AD,\s\up8(→))＝(－3,3)，∴eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))＝1×(－3)＋1×3＝0，∴eq\o(AB,\s\up8(→))⊥eq\o(AD,\s\up8(→))，即AB⊥AD.(2)∵四边形ABCD为矩形，∴eq\o(AB,\s\up8(→))⊥eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→)).设C点的坐标为(x，y)，则eq\o(AB,\s\up8(→))＝(1,1)，eq\o(DC,\s\up8(→))＝(x＋1，y－4)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝1，,y－4＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝5，))∴C点的坐标为(0,5)．从而eq\o(AC,\s\up8(→))＝(－2,4)，eq\o(BD,\s\up8(→))＝(－4,2)，∴|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝2eq\r(5)，|eq\o(BD,\s\up8(→))|＝2eq\r(5)，eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BD,\s\up8(→))＝8＋8＝16.设eq\o(AC,\s\up8(→))与eq\o(BD,\s\up8(→))的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(\o(AC,\s\up8(→))·\o(BD,\s\up8(→)),|\o(AC,\s\up8(→))||\o(BD,\s\up8(→))|)＝eq\f(16,20)＝eq\f(4,5)，∴矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为eq\f(4,5).数形结合思想平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合思想．向量的坐标表示的引入，使向量运算完全代数化，将数和形紧密地结合在一起．运用数形结合思想可解决三点共线，两条线段(或射线、直线)平行、垂直，夹角、距离、面积等问题．【例5】如图所示，以△ABC的两边AB，AC为边向外作正方形ABGF，ACDE，M为BC的中点，求证：AM⊥EF.[思路探究]要证AM⊥EF，只需证明eq\o(AM,\s\up8(→))·eq\o(EF,\s\up8(→))＝0.先将eq\o(AM,\s\up8(→))用eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))表示，将eq\o(EF,\s\up8(→))用eq\o(AE,\s\up8(→))，eq\o(AF,\s\up8(→))表示，然后通过向量运算得出eq\o(AM,\s\up8(→))·eq\o(EF,\s\up8(→))＝0.[证明]因为M是BC的中点，所以eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))，又eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(AF,\s\up8(→))－eq\o(AE,\s\up8(→))，所以eq\o(AM,\s\up8(→))·eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))·(eq\o(AF,\s\up8(→))－eq\o(AE,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AF,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))