高中数学人教A版（2023）选修1 1.1 空间向量及其运算章节综合练习题（答案+解析）

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1.1空间向量及其运算

一、选择题

1．（2023高二上·南山期末）若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（）

A．，，B．，，

C．，，D．，，

2．（2022高二上·洛阳期中）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间另一个基底的是（）

A．，，B．，，

C．，，D．，，

3．（2022高二上·东光期中）在空间直角坐标系中，点关于z轴的对称点是（）

A．B．

C．D．

4．（2023高二上·长春月考）下列说法错误的是（）

A．设是两个空间向量，则一定共面

B．设是两个空间向量，则

C．设是三个空间向量，则一定不共面

D．设是三个空间向量，则

5．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是（）

A．向量的坐标与点B的坐标相同

B．向量的坐标与点A的坐标相同

C．向量与向量的坐标相同

D．向量与向量的坐标相同

6．下列说法正确的是（）

A．若，则或

B．若、为相反向量，则

C．零向量是没有方向的向量

D．若、是两个单位向量，则

7．（2023高二上·临安开学考）在空间四边形中，等于（）

A．B．C．D．

8．在平行六面体中，AC，BD相交于，为的中点，设，，，则（）

A．B．

C．D．

9．（2023高二上·榆林期末）如图在平行六面体中，相交于，为的中点，设，，，则（）

A．B．

C．D．

10．（2022高二上·大同期中）如图所示，空间四边形中，，点M在上，且，N为中点，则等于（）

A．B．

C．D．

11．（2022高二上·通州期中）如图，在四面体中，点为棱的中点，设，，，则（）

A．B．

C．D．

12．（2022高二上·绍兴月考）空间任意四个点A，B，C，D，则等于（）

A．B．C．D．

13．（2022高二上·沧州月考）若，则（）

A．B．

C．D．

14．（2022高二上·罗湖期末）如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则为（）

A．B．

C．D．

15．（2023高二下·揭阳期末）已知空间向量，，若，则（）

A．1B．C．2D．

16．（2023高二下·宝山期末）已知，若三向量共面，则实数等于（）

A．4B．3C．2D．1

17．（2022高二上·云南期中）已知空间向量，，若，则（）

A．B．C．D．

18．（2022高二下·赣州期中）空间中，与向量同向共线的单位向量为（）

A．

B．或

C．

D．或

19．（2023高二上·牡丹江期中）以下四个命题中，正确的是（）

A．若，则三点共线

B．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底

C．

D．为直角三角形的充要条件是

20．（2022高二上·宝安期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（）

A．1B．C．D．

21．（2022高二上·辽宁月考）已知四棱锥的底面为平行四边形，M，N分别为棱，上的点，，N是的中点，向量，则（）

A．，B．，

C．，D．，

22．（2022高二上·河南月考）已知A，B，C，D四点在平面内，且任意三点都不共线，点P为平面外的一点，满足，则z＝（）

A．2B．1C．－1D．－2

23．（2022高二下·广东月考）在三棱锥中，P为内一点，若，，，则（）

A．B．

C．D．

24．（2023高二下·马山期末）已知点A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C为线段AB上一点，且3||=||，则点C的坐标是（）

A．B．

C．D．

25．已知A（4，1，3）、B（2，﹣5，1），C为线段AB上一点，且=3，则C的坐标为（）

A．（，﹣，）B．（，﹣3，2）

C．（，﹣1，）D．（，﹣，）

26．已知A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C是线段AB上一点，且=，则C点的坐标为（）

A．（，-，）B．（，﹣3，2）

C．（，﹣1，）D．（，-，）

27．设，是两个空间向量，若||=1，=（0，2，1），=λ（λ∈R），则λ=（）

A．B．-C．D．

28．已知点A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C为线段AB上一点，且3||=|||，则点C的坐标是（）

A．B．C．D．

29．设向量，，则下列结论中正确的是（）

A．B．

C．与垂直D．∥

30．（2022高二上·南阳）关于空间向量，以下说法错误的是（）

A．若，则的夹角是钝角

B．已知向量组是空间的一个基底，则不能构成空间的一个基底

C．若对空间中任意一点，有，则四点共面

D．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

答案解析部分

1．【答案】A

【解析】【解答】对于A，设，则，显然不存在使得等式成立，A符合题意；

对于B，设，则，解得，B不符合题意；

对于C，设，则，即，解得，C不符合题意；

对于D，设，则，解得，D不符合题意.

故答案为：A.

【分析】根据空间向量基底的定义，结合选项逐项判定，即可求解.

2．【答案】C

【解析】【解答】对于A，，共面，不能作为空间一组基底，A不符合题意；

对于B，，共面，不能作为空间一组基底，B不符合题意；

对于C，假设共面，则可设

，方程组无解，不共面，可以作为空间一组基底，C符合题意；

对于D，，共面，不能作为空间一组基底，D不符合题意.

故答案为：C.

【分析】根据空间向量共面定理可知ABD选项中的向量共面，无法作为一组基底；假设C中向量共面，可知不存在满足条件的实数，由此知假设错误，则C中向量可以作为基底.

3．【答案】B

【解析】【解答】关于z轴的对称点是竖坐标不变，横纵坐标变为相反数，因为，所以对称点坐标为.

故答案为：B.

【分析】根据空间直角坐标系的概念与对称性，即可求解.

4．【答案】C

【解析】【解答】解：对于A，设是两个空间向量，因为向量可以平移，则一定共面，正确；

对于B，设是两个空间向量，因为向量的数量积满足交换律，则正确；

对于C，设是三个空间向量，则可能共面，可能不共面，故C错误；

对于D，设是三个空间向量，因为向量的数量积满足乘法对加法的分配律，则，D正确，

故答案为：C

【分析】由向量的平移可判断A，C；由向量数量积满足交换律分配律可判断B，D.

5．【答案】D

【解析】【解答】因为点A不一定为坐标原点，所以A，B，C都不对；

由于，D符合题意．

故答案为：D．

【分析】由空间定点向量以及向量坐标的定义对选项逐一判断即可得出答案。

6．【答案】B

【解析】【解答】对A，若，只能表示和的长度相等，不能说明方向相同或相反，故A不符合题意；

对B，若、为相反向量，则它们的和为零向量，B对；

对C，零向量的方向是任意的，C不符合题意；

对D，两个单位向量只是模都为1，但方向不一定相同，D不符合题意．

故答案为：B

【分析】根据题意由向量的定义结合零向量、相反向量、单位向量以及向量的模的概念对选项逐一判断即可得出答案。

7．【答案】C

【解析】【解答】解：由题意可得.

故答案为：C.

【分析】根据空间向量的加法运算求解.

8．【答案】C

【解析】【解答】如图所示：

因为为的中点，

所以.

故答案为：C.

【分析】根据中线的性质，结合空间向量的线性运算求解.

9．【答案】C

【解析】【解答】由已知得，，

故答案为：C

【分析】根据向量的运算法则，结合，即可求解.

10．【答案】B

【解析】【解答】，

故答案为：B.

【分析】根据向量的加减运算三角形法则表示出，可得答案.

11．【答案】A

【解析】【解答】连接，

因为为棱的中点，，，

所以，

所以，

故答案为：A

【分析】根据空间向量的线性运算法则，得到，利用，即可求解.

12．【答案】D

【解析】【解答】易知，.

故答案为：D.

【分析】利用空间向量加法三角形法则和向量减法的定义即可求出答案.

13．【答案】B

【解析】【解答】，

．

故答案为：B．

【分析】根据空间向量的坐标运算，即可求出相应向量的坐标。

14．【答案】B

【解析】【解答】

.

故答案为：B

【分析】根据空间向量的线性运算法则，准确运算，即可求解.

15．【答案】A

【解析】【解答】若，则，解得，

所以.

故答案为：A.

【分析】根据空间向量平行的坐标表示求，进而可得结果.

16．【答案】D

【解析】【解答】因为三向量共面，所以存在唯一有序数对，使得，

所以，即，

解得.

故答案为：D

【分析】利用空间共面向量定理，列出方程组即可得到答案.

17．【答案】A

【解析】【解答】因为，所以，故.

故答案为：A

【分析】根据空间向量数量积的坐标运算可得答案.

18．【答案】C

【解析】【解答】解：因为，所以，

所以与向量同向共线的单位向量，

故答案为：C.

【分析】求得再由，即可求解。

19．【答案】B

【解析】【解答】因为中，所以三点不一定共线，

因为为空间的一个基底，所以不在同一个平面，因此也不在同一个平面，从而构成空间的另一个基底，

因为，所以不恒成立，

因为为直角三角形时A角不一定为直角，即不一定成立，所以D不符合题意，

故答案为：B.

【分析】由于≠1，故三点不一定共线；空间的基底不在同一平面，故有也不在同一平面，由此B正确；根据向量的运算得C错误；由于直角三角形中A不一定为直角，故D错误。

20．【答案】C

【解析】【解答】连接如下图：

由于是的中点，

.

根据题意知.

.

故答案为：C.

【分析】连接，根据是的中点，化简得到，结合题意，即可求解.

21．【答案】B

【解析】【解答】解：因为，所以，

，

又，

所以.

故答案为：B.

【分析】根据向量的线性运算，化简得到，结合题意，即可求得的值.

22．【答案】A

【解析】【解答】因为四点在平面内，且点为平面外的一点，

而，所以，

所以，所以

所以，解得.

故答案为：A.

【分析】根据空间向量的线性运算，表示出相应的向量，即可求出参数z的值。

23．【答案】C

【解析】【解答】延长PB到，使得，延长PC到，使得，连接，，，如图所示：

因为，，，

所以，

所以P是的重心，

所以，即，

所以，

整理得．

故答案为：C

【分析】如图，延长PB到，使得，延长PC到，使得，连接，，，结合已知条件可得，即可确定P为重心，从而得到，即可求解。

24．【答案】C

【解析】【解答】解：∵C为线段AB上一点，且3||=|||，

∴，

∴

=（4，1，3）+（﹣2，﹣6，﹣2），

=．

故选：C．

【分析】C为线段AB上一点，且3||=|||，可得，利用向量的坐标运算即可得出．

25．【答案】C

【解析】【解答】解：设C（x，y，z），又A（4，1，3）、B（2，﹣5，1），

可得

又=3，

故有解得

C的坐标为（，﹣1，）

故选C

【分析】由题意，可设C（x，y，z），又A（4，1，3）、B（2，﹣5，1），求出两个向量，的坐标，代入=3，即可得到x，y，z所满足的方程，求出值即可得到C的坐标

26．【答案】C

【解析】【解答】解：∵

∴

=（，﹣1，）

故选C．

【分析】利用向量的线性运算即可得出．

27．【答案】C

【解析】【解答】解：∵=λ（λ∈R），∴，

∴|λ|=，

∴λ=．

故选：C．

【分析】由=λ（λ∈R），可得，再利用向量模的计算公式即可得出

28．【答案】C

【解析】【解答】解：∵C为线段AB上一点，且3||=|||，

∴，

∴

=（4，1，3）+（﹣2，﹣6，﹣2），

=．

故选：C．

【分析】C为线段AB上一点，且3||=|||，可得，利用向量的坐标运算即可得出．

29．【答案】C

【解析】【解答】∵，，∴，，，∴，∴与垂直，故选C

【分析】熟练掌握向量的坐标运算及数量积的定义、变形是解决此类问