立体几何压轴小题（轨迹与最值）十四大题型汇总（原卷版）

立体几何压轴小题（轨迹与最值）十四大题型汇总题型1平行求轨迹 1题型2垂直求轨迹 4题型3翻折求轨迹 5题型4角度恒定求轨迹 8题型5定长求轨迹 10题型6向量法求轨迹 12题型7阿波罗尼斯圆相关 15题型8解析几何相关 17题型8线段最值 19题型9折线求最值 21题型10倍数求最值 23题型11点线距离求最值 25题型12点线面距离求最值 26题型13周长求最值 28题型14面积求最值 31题型1平行求轨迹【例题1】（2023·江西赣州·统考二模）在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P满足AA1=4AP，E，F分别为棱BC，A．5373 B．237 C．7【变式1-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，点M满足CC1=3A．3 B．10 C．13 D．3【变式1-1】2.（2023·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M,N分别为BDA．点P可以是棱BB1的中点 B．线段MPC．点P的轨迹是正方形 D．点P轨迹的长度为2+【变式1-1】3.（多选）（2024秋·山东临沂·高三校联考开学考试）在三棱台A1B1C1−ABC中，AA1⊥平面ABC，AB=BC=AC=2A．点P的轨迹长度为1B．P到平面B1C．有且仅有两个点P，使得AD．A1P与平面【变式1-1】4.（多选）（2023·重庆·统考模拟预测）在棱长为4的正方体ABCD−A1B1CA．直线BC1与直线ACB．平面BC1C．若EF=25，D．若AF//平面BC【变式1-1】5.（多选）（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E､F､G､M､N均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论正确的有（

）

A．当点P为BC中点时，平面PEF⊥平面GMNB．异面直线EF､GN所成角的余弦值为1C．点E､F､G､M､N在同一个球面上D．若A1P【变式1-1】6．（多选）（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）如图，正方体ABCD−A1B1CA．若MB∥平面D1EFB．平面D1EFC．平面D1EF截正方体ABCD−D．不存在一条直线l，使得l与正方体ABCD−A【变式1-1】7.（多选）（2023·河北·模拟预测）如图所示，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点E,F分别是棱AD,DDA．点P的轨迹为一条线段B．三棱锥P−BEF的体积为定值C．DP的取值范围是5D．直线D1P与BF题型2垂直求轨迹【例题2】（2023·全国·高三对口高考）如图，定点A和B都在平面α内，定点P∉α,PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC．那么，动点C在平面α内的轨迹是（

）

A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点C．一个椭圆，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点【变式2-1】1.（2023·全国·高三对口高考）正四棱锥S−ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为（

）A．6+2 B．6−2 【变式2-1】2.（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，AA1=4A．5+2 B．22+2 【变式2-1】3.（2023·宁夏银川·校联考二模）已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B,C是圆上的两点，H是点B在AC上的射影，当C运动，点H运动的轨迹（

）A．是圆 B．是椭圆 C．是抛物线 D．不是平面图形【变式2-1】4.（多选）（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）已知正方体ABCD−A1B1CA．若点P在棱AD上运动，则A1P+PCB．若点P是棱AD的中点，则平面PBC1C．若点P满足PD1⊥DD．若点P在直线AC上运动，则P到棱BC1题型3翻折求轨迹【例题3】（多选）（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=4，E为BC的中点，将△BAE沿AE向上翻折到

A．四棱锥P−AECD体积的最大值为22 B．PD的中点F的轨迹长度的最大值为C．EP,CD与平面PAD所成的角相等 D．三棱锥P−AED外接球的表面积的最小值为16【变式3-1】1.（多选）（2023秋·广东佛山·高三校联考阶段练习）如图甲，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，E为AB上一动点（不含端点），且满足将△AED沿DE折起后，点A在平面DCBE上的射影F总在棱DC上，如图乙，则下列说法正确的有（

）A．翻折后总有BC⊥ADB．当EB=12时，翻折后异面直线AE与BCC．当EB=12时，翻折后四棱锥A−DCBED．在点E运动的过程中，点F运动的轨迹长度为1【变式3-1】2.（多选）（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=2A．异面直线GN与ME的夹角大小为60°B．该多面体的体积为2C．四棱锥E－MNFH的外接球的表面积为22D．若点P是该多面体表面上的动点，满足PQ⊥ON时，点P的轨迹长度4+【变式3-1】3.（多选）（2022·辽宁丹东·统考一模）如图，正方形ABCD的边长为2,E为BC的中点，将△BAE沿AE向上翻折到△PAE，连结PC,PD，在翻折过程中（

）A．四棱锥P−AECD的体积最大值为2B．PD中点F的轨迹长度为2C．EP,CD与平面PAD所成角的正弦值之比为2:1D．三棱锥P−AED的外接球半径有最小值54【变式3-1】4.（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方形ABCD中，点M是边CD的中点，将△ADM沿AM翻折到△PAM，连接PB,PC，在△ADM翻折到△PAM的过程中，下列说法正确的是．（将正确说法的序号都写上）

①点P的轨迹为圆弧；②存在某一翻折位置，使得AM⊥PB；③棱PB的中点为E，则CE的长为定值；题型4角度恒定求轨迹【例题4】（2018·北京·高三强基计划）在正方体ABCD−A1B1C1DA．圆的一部分 B．椭圆的一部分C．双曲线一支的一部分 D．前三个答案都不对【变式4-1】1.（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知长方体ABCD−A1B1C1D1的外接球的表面积为5πA．π B．2π2 C．π2【变式4-1】2.（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）如图，二面角α−l−β的大小为π4，已知A、B是l上的两个定点，且AB=4，C∈α，D∈β，AB与平面BCD所成的角为π6，若点A在平面BCD内的射影H在A．3π6 B．2π2 C．【变式4-1】3.（2023春·广西防城港·高三统考阶段练习）如图，在正方体ABCD−A1BA．有且仅有一个点P，使得D1P⊥B1CC．若DP=12DB，则三棱锥P−BB1C外接球的表面积为16【变式4-1】4.（2023·湖南·模拟预测）已知正方体ABCD−A1B1C1D1，AB=23，点E为平面A1BDA．π,2π B．π,4π C．【变式4-1】5.（2023春·河南安阳·高三安阳一中校联考阶段练习）如图，在圆柱OO1中，AB为底面直径，E是AB的中点，D是母线BC的中点，M是上底面上的动点，若AB=4，BC=3，且ME⊥AD，则点A．32 B．7 C．574【变式4-1】6.（多选）（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，B1D与平面ACD1相交于点A．B1D⊥PEC．点P的轨迹是椭圆 D．θ的取值范围是π题型5定长求轨迹【例题5】（2023·四川·校联考模拟预测）在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，所有棱长均为2，∠BAD=60

A．当点Q在线段CD1上运动时，四面体B．若AQ∥平面A1BP，则AQC．若△A1BQ的外心为MD．若A1Q=7，则点【变式5-1】1.（2023·河北·统考模拟预测）已知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正四棱锥）P－ABCD的底面正方形边长为2，其内切球O的表面积为π3，动点Q在正方形ABCD内运动，且满足OQ=OPA．2π11 B．3π11 C．【变式5-1】2.（2023·全国·高三专题练习）在直四棱柱中ABCD−A1B1C1D1中，∠BAD=60°，AB=AD=AAA．若λ+μ=1，则四面体A1B．若AQ//平面A1BP，则AQC．若△A1BQD．若A1Q=【变式5-1】3.（2023·全国·高三专题练习）正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点A．3+266C．3+66【变式5-1】4.（多选）（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知正方体ABCD−A1B1C1DA．CE与平面ABCD所成角为定值B．点E的轨迹长度为πC．存在点E使得AE⊥CED．存在唯一的点E使得CE⊥【变式5-1】5.（多选）（2023春·河北石家庄·高三校联考期中）如图，在四棱台A1B1C1D1−ABCD中，A1

A．直线C1CB．异面直线AC与B1BC．若该四棱台内（包括表面）的动点M到顶点B，D的距离相等，则点M形成的图形的面积为3D．若底面ABCD内的动点N到顶点C1的距离为2，则动点N的轨迹的长度为题型6向量法求轨迹【例题6】（2023秋·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，E,F分别为BC1和①三棱锥P−B1EF的体积是定值；②若FQ⊥DP恒成立，则线段FQ的最大值为22；③当DQ与DAA．①② B．②③ C．①③ D．①②③【变式6-1】1.（2023·全国·学军中学校联考模拟预测）已知空间中两条直线l1、l2异面且垂直，平面α∥l1且l2⊂α，若点P到lA．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【变式6-1】2.（2023·河南濮阳·濮阳一高校考模拟预测）在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=1①当λ=1时，△AB②当μ=1时，三棱锥P−A③当λ=12时，有且仅有一个点P，使得④若AP≤1，则点P的轨迹所围成的面积为πA．①② B．②③ C．②④ D．①③【变式6-1】3.（2023·四川凉山·二模）如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为2，点P为正方形①直线BC②存在点P使得PB⊥PC；③三棱锥P−BCD体积最大值为89④点P运动轨迹长为4π上述说法中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式6-1】4.（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱A1B1的中点，M,N分别是底面ABCD与侧面CDD1A．43π B．655π 【变式6-1】5.（多选）（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知四面体ABCD的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（

）A．异面直线AC与BD所成角为60°B．点A到平面BCD的距离为2C．四面体ABCD的外接球体积为6D．动点P在平面BCD上，且AP与AC所成角为60°，则点P的轨迹是椭圆【变式6-1】6.（多选）（2023·全国·高三专题练习）如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M、N满足AM=λ

A．当λ=13时，DMB．当μ=12时，若B1P//平面C．当λ=μ=12时，若PM⊥D1题型7阿波罗尼斯圆相关【例题7】（2023·四川泸州·泸县五中校考模拟预测）如图，已知正方体ABCD−A1B①若AE=λAC，λ∈0,1，则D②若平面α与正方体各个面都相交，且B1D⊥α，则截面多边形的周长一定为③若∠AEB的角平分线交AB于点F，且AF=2FB，则动点E的轨迹长为4π④直线D1E与平面ABCD所成的角的余弦值的最大值为【变式7-1】1.（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）表面积为36π的球M表面上有A，B两点，且△AMB为等边三角形，空间中的动点P满足PA=2PB，当点P在【变式7-1】2.（多选）（2024秋·湖南永州·高三永州市第一中学校考阶段练习）如图，点M是棱长为l的正方体ABCD−A1BA．不存在点M满足CM⊥平面B．存在无数个点M满足CM⊥AC．当点M满足A1M=1D．满足MD=2M【变式7-1】3.（多选）（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）正四棱柱ABCD−A1BA．点A1到平面B1CB．四棱锥D1−ABCD内切球的表面积为C．平面BC1DD．点M,N为线段AC上的两点，且AM=CN=14AC，点P为面A1B1C【变式7-1】4.（2023·山东淄博·统考三模）设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且∠AOB=60°，球体O表面上动点P满足PA=2A．121111π B．4155π题型8解析几何相关【例题8】（2023秋·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）若正四面体P−ABC的侧面PAB所在平面内有一动点Q，已知Q到底面ABC的距离与Q到点P的距离之比为正常数k，且动点Q的轨迹是抛物线，则k的值为.【变式8-1】1.（2023春·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）设点P是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1表面上的动点,点①当点P在底面ABCD内运动时,三棱锥P−C1D②当点P在线段B1C上运动时,异面直线AP与A1③当点P在线段A1D1上运动时,平面PAN⊥④当点P在侧面BCC1B1内运动时,若P到棱A1【变式8-1】2.（多选）（2023·全国·模拟预测）已知正方体ABCD−AA．直线BD'与直线ACB．与12条棱夹角相同的最大截面面积为3C．面切球与外接球半径之比为1:D．若Q为空间内一点，且满足D'Q与AB所成角为【变式8-1】3.（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，E为侧面BCC1B1的中心，A．三棱锥P−BB．若EP//平面A1C．若FQ⊥DP，则线段FQ的最大值为2D．当DQ与DA1的所成角为45∘【变式8-1】4.（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知在棱长为1的正方体ABCD−A1B1CA．当P在对角线BD上运动时，三棱锥A−PBB．当P在对角线BD上运动时，异面直线D1P与BC．当P在对角线BD上运动时，直线D1P与平面AD．若点P到棱AA1的距离是到平面BCC【变式8-1】5.（多选）（2023秋·广东阳江·高三统考开学考试）已知正方体ABCD−A1BA．若M为线段AC上任一点，则D1M与BB．若M为正方形ADD1A1C．若M在正方形DCC1D1内部，且|MB|=D．若三棱锥M−BDC1的体积为43【变式8-1】6.（多选）（2023·河北·校联考三模）在棱长为1的正方体ABCD−A1B1CA．若点P到直线AB与到直线B1C1距离之比为2:1B．若点P到直线AB与到直线B1C1距离之比为1:1C．过点P,C,D三点作正方体ABCD−AD．三棱锥P−ABC体积的最大值为1【变式8-1】7.（多选）（2023·江苏扬州·统考模拟预测）圆柱OO1高为1，下底面圆O的直径AB长为2，BB1是圆柱A．若PA+PB=3，则P点的轨迹为圆B．若直线OP与直线OB1成45°，则C．存在唯一的一组点P,Q，使得AP⊥PQD．AP+PQ+QB1题型8线段最值【例题8】（2023春·宁夏·高三六盘山高级中学校考开学考试）在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1DA．NB1⊥NC1C．线段B1N最小值为305 D．【变式8-1】1.（多选）（2023春·湖北·高三统考阶段练习）在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为CC1中点，A．NB1⊥DC1C．线段B1N最小值为2305 【变式8-1】2.（多选）（2023秋·江西新余·高三新余市第一中学校考开学考试）如图，已知正三棱台ABC−A1B1C1的上、下底面边长分别为2和3，侧棱长为1，点P在侧面A．CP长度的最小值为3B．存在点P，使得AP⊥BCC．存在点P，存在点Q∈B1D．所有满足条件的动线段AP形成的曲面面积为7【变式8-1】3.（多选）（2023秋·河北邢台·高三统考期末）如图，正方体ABCD−A1BA．当EF⋅AB=2时，C．AE的最小值为6 D．二面角A−EF−B为定值【变式8-1】4.（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D题型9折线求最值【例题9】（2023春·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABCA．直线AC与直线C1E是异面直线 B．AC．三棱锥E−AA1O的体积为定值 D．【变式9-1】1.（2022秋·河南·高三期末）棱长为1的正方体ABCD−A1B1C①若点E满足AE⊥B1C②若点E满足∠EA1C=③在线段BC1上存在点E，使直线A1E与④当E在棱BB1上移动时，EC+EDA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式9-1】2.（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=π2,AB=AC=2,CC1=2，且E,M分别为A．62+33C．62+33【变式9-1】3.（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AB=1，AP=PD=BC=2，E为BC的中点，M为PE上的动点，N为平面APD内的动点，则BM+MN的最小值为（

）A．1+2 B．253 C．2+【变式9-1】4.（2023·全国·高三专题练习）如图，棱长为1的正方体ABCD−A1B①D②平面D1A1③∠APD1④AP+PD1⑤C1P与平面AA．1 B．2 C．3 D．4【变式9-1】5.（多选）（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点A．若μ=12，则三棱锥B．若λ+μ=1，则AC．若λ=μ，则DP+AD．若BP与平面CC1D1D所成角的大小为题型10倍数求最值【例题10】（2023春·安徽·高三统考开学考试）如图，在三棱锥A−A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∠AA．352 B．52 C．【变式10-1】1.（2022秋·广东广州·高三校联考期末）如图，在三棱锥A−A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1CA．352 B．52 C．【变式10-1】2.（2022秋·重庆·高三统考期中）如图，棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为线段AB1的中点，A．22 B．2 C．3 【变式10-1】3.（2022·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为线段AB1的中点，A．22 B．2 C．2 D．题型11点线距离求最值【例题11】（2023·全国·高三专题练习）已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，【变式11-1】1.（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体ABCD−A1B1CA．1 B．22 C．64 【变式11-1】2.（多选）（2022秋·山西运城·高三校考阶段练习）已知正三棱柱ABC−A1BA．该正三棱柱内可放入的最大球的体积为4πB．该正三棱柱外接球的表面积为28C．存在点P,使得BP⊥AD．点P到直线A1B【变式11-1】3.（2022春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2AB=4，E是AD【变式11-1】4.（2023·全国·高三专题练习）三棱锥P−ABC的底面是以AC为底边的等腰直角三角形，且AC=22，各侧棱长均为3，点E为棱PA的中点，点Q是线段CE上的动点，则E到平面ABC的距离为；设Q到平面PBC的距离为d1,Q到直线AB的距离为d题型12点线面距离求最值【例题12】（2023秋·福建漳州·高三福建省华安县第一中学校考开学考试）如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1CA．当点P在侧面AA1D1D上运动时，直线B．当点P为棱A1BC．当点P在棱BB1上时，点P到平面CNMD．当点P∉NC时，满足MP⊥平面NCP的点P共有2个【变式12-1】1.（2022·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数λ（λ>0且λ≠1）的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2AD=2AA1=6【变式12-1】2.（2022·山西朔州·统考三模）已知三棱锥A−BCD的所有棱长都相等，点E为AD中点，点F为底面BCD内的动点，记EF的最小值为d1，最大值为d2，则【变式12-1】3.（2022·全国·高三专题练习）如图1，等腰直角三角形ABC，AB=BC=8，D为AC中点，l为平面ABC内过D点的一条动直线，沿直线l作如图2的翻折，点C在翻折过程中记为点C'，C'在直线l上的射影为C1，C'在平面ABC上的射影C2落在直线AB上，则当C【变式12-1】4.（2023·北京西城·高三专题练习）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，①平面CMN截正方体ABCD−A②直线B1D1到平面CMN③存在点P，使得∠B④△PDD1面积的最小值是其中所有正确结论的序号是．【变式12-1】5.（2022秋·广东佛山·高三统考期中）如图，设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，设E为C1D1的中点，F为BB1上的一个动点，设由点D,E,F题型13周长求最值【例题13（多选）（2023秋·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考开学考试）已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC,AB=BC=BB1=2,D是ACA．无论点P在BC1B．当直线A1P与平面BB1C．若三棱柱ABC−A1D．△OPB1【变式13-1】1.（2022·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CCA．22 B．10 C．11 D．【变式13-1】2.（2023·全国·高三专题练习）已知四面体ABCD的所有棱长均为2，M,N分别为棱AD,BC的中点，F为棱AB上异于A,B的动点．有下列结论：①线段MN的长度为1；

②点C到面MFN的距离范围为0,2③△FMN周长的最小值为2+1；

④∠MFN的余弦值的取值范围为0,其中正确结论的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式13-1】3.（多选）（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在长方体ABCD−A1B1C1DA．三棱锥B−AECB．存在唯一的点E，使得截面△AECC．不存在点E，使得BD1D．若点E满足CE>DE，则在棱DD1上存在相应的点G，使得A【变式13-1】4.（2022·黑龙江大庆·统考三模）已知四面体ABCD的所有棱长均为2､M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点，有下列结论：①线段MN的长度为1；②若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线CD都是异面直线；③四面体ABCD的外接球表面积为3π；④△MFN周长的最小值为2+1其中所有正确结论的编号为.【变式13-1】5.（2022·黑龙江大庆·统考三模）已知四面体ABCD的所有棱长均为2，M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点，有下列结论：①线段MN的长度为1；②存在点F，满足CD⊥平面FMN；③四面体ABCD的外接球表面积为3π；④△MFN周长的最小值为2+1其中所有正确结论的编号为．【变式13-1】6.（2022·新疆·统考模拟预测）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，M、N分别为棱AA1、①MN⊥CP；②AQ//平面MNP；③∠PDQ的余弦值的取值范围是[32,2题型14面积求最值【例题14】（2022·浙江宁波·高三统考竞赛）已知正三棱柱ABC−A1B1C1的各棱长均为2，M，N分别为棱【变式14-1】1.（2022秋·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）如图，在三棱锥S−ABC中，SA⊥平面ABC，AB=BC=4，∠ABC=90°，侧棱SB与平面ABC所成的角为45°，M为AC的中点，N是侧棱SC上一动点，则△BMN的面积的最小值为（

）A．23 B．22 C．83【变式14-1】2.（2022·全国·高三专题练习）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在鳖臑A−BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD,AB=BD=1，CD=2，点P在棱AC上运动，则△PBDA．13 B．23 C．63【变式14-1】3.（2023·江西吉安·宁冈中学校考一模）如图，正方体ABCD-A1B1C1D11.（多选）（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠CAB=90°，A．B1C⊥B．异面直线AC1与C．若点P是A1CD．点Q是底面三角形ABC内一动点（含边界），若二面角B−A1M−Q的余弦值为2.（多选）（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）如图，正三棱锥E−PBD和正三棱锥C−PBD的侧棱长均为2，BD=2.若将正三棱锥E−PBD绕BD旋转，使得点E，P分别旋转至点A，A1

A．PA⊥BD B．PC．多面体PA1ABCD的外接球的表面积为63.（多选）（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1，底面ABCD是菱形，∠ADC=2π3，且AA1=AB=4A．当MP//平面ADDB．当x+y=1时，BP的最小值为2C．若CP⊥BD1，则PD．当y=2xx≠0时，若点O为三棱锥P−MBD的外接球的球心，则OP的取