高二数学圆锥曲线之椭圆培优压轴专题 导学案

第第页高二数学圆锥曲线之椭圆培优压轴专题导学案椭圆

椭圆的定我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨

义

迹叫做椭圆．

图形

标准方程

x2y2x2y2

221(ab0)221(ab0)abba

范围x[a，a]；y[b，b]x[b，b]；y[a，a]

顶点坐标

半轴长

离心率

对称性

a、b、c的

关系

通径

焦点三角

形

与椭圆有关的二级结论：

2

Fxy

2

1.已知1，F2为椭圆221(ab0)的两个焦点，P是椭圆上的动点，则△PF1F2的面积ab

Sb2tan(FPF)

212

x2y2

2.已知F1，F2为椭圆221(ab0)的两个焦点，P是椭圆上的动点，则当点P为椭圆短轴的端点时，ab

∠F1PF2最大

x2y2

3.已知A、B为椭圆221(ab0)长轴上的两个顶点，Q为椭圆上任意一点，则当点Q为椭圆短轴ab

的端点时，∠AQB最大.

x2y2

4.已知M、N是椭圆221(ab0)上的两个动点，P是椭圆上异于M、N的一点，当M、N关于原ab

b2

点对称时，有kPMkPNa2

x2y2b2

5.已知A、B是椭圆221(ab0)上两个不重合的两点，P为弦AB的中点，则有kkabOPABa2

6.设圆锥曲线C的焦点F在x轴上，过点F且斜率为k的直线l交曲线C于A、B两点，若AFFB(0)，

e11则k2||

1

x2y2xxyy

7.过椭圆外一点P(x0,y0)作椭圆221(ab0)的切线，则切点弦的方程为

00221abab

典型例题

一．圆锥曲线基本运算

例122若方程xky1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为()

A.(0,)B.(0,2)C.(1,)D.(0,1)

x2y2x2y2

例2椭圆221和2k(k0)具有()abab2

A.相同的率心率B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的长、短轴

x2

例3P222设、Q分别是x(y6)2和y1上的点，则PQ两点间的最大距离是()

10

A.52B.462C.7+2D.62

二．离心率问题

x2y2

例1已知椭圆221(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交yab

轴于点P，若PA2PB，则椭圆的离心率是()

3211

A.B.C.D.

2232

x2FFy

2

例2已知1，2为椭圆221(ab0)

0

的两个焦点，若椭圆上存在点P使F1PF260，则椭圆离心ab

率的取值范围是___________

改1：若F1PF290

0

，则离心率的取值范围是_________

0

改2：若F1PF2120,则离心率的取值范围是_________

x2y2

例3已知椭圆221(ab0)，长轴两端点为A、B，如果椭圆上存在一点Q满足∠AQB=120°，则这ab

个椭圆的离心率为______

x2y2

例4已知椭圆221(ab0)的左右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0)，若椭圆上存在一点P使ab

ac

，则该椭圆的离心率的取值范围为_______

sinPF1F2sinPF2F1

x2y2

例5已知椭圆221(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A、B两点，连接AF、BF，若ab

4

AB=10，AF=6，cosABF则离心率e=_______

5

三．焦点三角形

x2y20

例1P为椭圆1上一点，F1，F2为左右焦点，若F1PF260，则三角形F1PF2的面积为________,P259

的纵坐标为______

x2y2

例2F1，F2为椭圆221(ab0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且PFab1

PF2，若三角形F1PF2的面

积为9，则b=_____.

x2y2PFPF1

例3已知P是椭圆1上的点，F121、F2分别是椭圆的左右焦点，若，则△F1PF2的面

259|PF1||PF2|2

积为()

3

A.33B.23C.3D.

3

x2y2

例4已知椭圆E：221(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A、B两点，若AB的中点ab

坐标为(1,-1),则E的方程为()

x2y2x2y2x2y2x2y2

A.1B.1C.1D.1

453636272718189

x2y2

例5设M、N分别为椭圆1的长轴的两个端点，点P在椭圆上，则kk

43PMPN

为()

3434

A.B.C.D.

4343

x2y2

例6椭圆C：1的左右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么

43

直线PA1斜率的取值范围是()

133313

A.[，]B.[，]C.[，1]D.[，1]

248424

x22

例7已知椭圆y1，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.

2

x2y29

例8已知椭圆1上不同的三点A(x1,y1)、B(4，)、C(x2,y2)与焦点F(4,0)的距离成等差数列，若2595

线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k.

补充练习

x2y2

1.椭圆221(ab0)的左右焦点F1、F2，焦距为2c，若直线y3(xc)与椭圆的一个交点M满足ab

∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率为____

2.设AB是椭圆P的长轴，点C在P上，且∠CBA=，若AB=4，BC=2，则P的两个焦点之间的距离为_______

4

x2y23

3.已知椭圆C:221(ab0)的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A、Bab2

两点，若AF3FB，则k=()

A.1B.2C.3D.2

x29y2

4.（多选）已知P（x1，y1），Q（x2，y2）是椭圆1上两个不同点，且满足x1x2+9y1y2＝﹣2，则

44

下列说法正确的是（）

A．|2x1+3y1﹣3|+|2x2+3y2﹣3|的最大值为625

B．|2x1+3y1﹣3|+|2x2+3y2﹣3|的最小值为35

210

C．|x1﹣3y1+5|+|x2﹣3y2+5|的最大值为25

5

D．|x1﹣3y1+5|+|x2﹣3y2+5|的最小值为1022

x2y2

5.（多选）在平面直角坐标系xOy中，由直线x＝﹣4上任一点P向椭圆1作切线，切点分别为A，

43

B，点A在x轴的上方，则（）

A．∠APB恒为锐角

1

B．当AB垂直于x轴时，直线AP的斜率为

2

C．|AP|的最小值为4

D．存在点P，使得(PAPO)OA0＝0

x2y2

6.（多选）已知椭圆C：1的左右焦点为F1，F2，若P为椭圆C上一动点，记△PF1F2的内心为I，

43

外心为M，重心为G，且△PF1F2内切圆I的半径为r，△PF1F2外接圆M的半径为R，则（）

A．∠F1PF2的最大值为B．r的最大值为3

3

C．PIPGR为定值D．的最小值为2

r

x2y2

7.（多选）在椭圆C:221(ab0)中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x

2+y2＝a2+b2上，称

ab

x2y2

此圆为该椭圆的蒙日圆．该圆由法国数学家GMonge（1746﹣1818）最先发现．若椭圆C:1，则

169

下列说法正确的有（）

A．椭圆C外切矩形面积的最小值为48

B．椭圆C外切矩形面积的最大值为48

C．点P（x，y）为蒙日圆Γ上任意一点，点M（﹣10，0），N（0，10），当∠PMN取最大值时，tan∠PMN

＝2+3

D．若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆C上一点P和原点作直线l与蒙日圆相交于点M，N，则

PF1PF2＝PMPN

参考答案

圆锥曲线的基本运算

2

例1D.x2y111，焦点在y轴上，故1，故0<k<1,选