数学建模研究

数学建模一、实践目的此次数学建模实践活动的目的是通过课堂教学提高大家的专业知识，熟练运用MATLAB等数学软件，掌握各种常见数学模型；通过自行完成模拟题对未知问题的分析，培训大学生开动脑筋、拓宽思路，充分发挥创造力和想象力的能力，提高创新意识、创造能力和主动学习能力、独立研究思考的能力；对热点问题的研究培训提高我们用理论联系实际以及用已知的知识解决未知事物的能力；锻炼短时间内对大量知识的摄取，以及从互联网和图书馆查阅文献、收集资料的能力；运用组队共同协作培训的方式培养大家同舟共济的团队精神和进行协调的组织能力。并且选出优异的学生队伍代表学院参赛。二、实践内容此次数学建模培训整个培训共分为三个阶段：第一阶段为课堂培训，第二阶段为自行完成模拟题并分组讨论，第三阶段为暑假自学优秀论文。1.课堂培训首先，课堂培训由信息学院和统计学院老师共同培训，主要教授专业数学知识，计算机编程知识；掌握如何利用计算机网络搜集资源和查找资料与文献；逐渐掌握对MATLAB的使用，熟悉其编程技巧，以及各种常见数学模型和如何攥写论文。主要内容包括：MATLAB及其应用，学会如何使用MATLAB。掌握差分方程、微分方程、离散函数、层次分析模型，掌握层次分析模型建模方法和技巧，了解一致性检验，致阵的性质。了解数学规划模型、LINGO应用、图与网络优化模型，掌握常见的连续知识点和连续建模技术，掌握数据插值和拟合的思想和方法统计回归分析、马氏链模型、概率模型，SPSS及其应用，掌握数据分析和数据处理的常见方法。优秀论文赏析和论文模板。2.自行完成模拟题并分组讨论主要以小组形式对夜游轮船调度问题和对房价的合理性及房价的未来走势等问题进行定量分析，探讨使得房价合理的具体措施，以及可能对经济发展产生的影响问题进行建模求解，并将结果进行分组讨论。3.暑假自学优秀论文自行查找历年全国大学生数学建模大赛的优秀论文进行欣赏、品读。三、实践过程此次数学建模培训实践活动，主要通过老师课程培训学习相应专业知识，以小组形式来解决夜游轮船调度问题和对房价的合理性及房价的未来走势等问题进行定量分析，探讨使得房价合理的具体措施，以及可能对经济发展产生的影响问题。6月28日到7月1日我们小组三人对夜游轮船调度问题进行了解决。28日晚，老师组织学生进行分组讨论，阐述自己小组对夜游轮船调度问题的看法和解决思路，夜游轮船调度问题主要由三问，分别是：1．如果轮船公司只有1艘游轮，问该游轮如何安排航程？一天总载客量是多少；2．若轮船公司有多艘游轮，问轮船公司最少需使用几艘游轮？分别如何安排航程？每艘游轮载客量是多少；3．针对实际中出现的游客愿意等待轮船返回的情形，假设游客到达港口最多等待20分钟，若20分钟游轮未到，则自动离开。请在该假设下重新考虑问题1和问题2。在与老师交流之后，我们查找相关资料了解题型，迅速找到了解题方向。我们小组三人分别负责建模、编程、写作。我主要负责建模，我们查阅了大量资料确定运用Lingo软件、非线性规划、穷举法来解决问题，我们针对各小题所要解决的实际问题，应用不同的理论建立不同的模型和算法，过程如下：首先，在已知条件下，夜游轮船的满载是150人，但游轮载客量达到满载的60%方可启航，安排轮船载客游览的时间为45分钟/次，票价为80元/人/次，在18：00到22：00时间段内，游客以平均每分钟5人的速度到达并参加夜游。假设游轮在22：00点之后不再发车。针对问题一，在只有一艘游轮的情况下，讨论如何安排航程使轮船公司的每天的运营收入最大。这一问题属于非线性规划问题，建立数学规划模型。根据已知条件，在18：00到22：00时间段内，用载客量的最小值可算出游轮每天最多可运营5次，要使每天运营收入最大化，就要让游轮每次的载客量达到最大，利用Lingo软件进行求解，得到每日运营收入的最优解。即确定游轮一天安排5次航程，每次航程游轮都会满载，第一次游轮启航时间最早为18：30，总的载客量是750人。针对问题二，在有多艘游轮的情况下，如何安排游轮数量及航程使轮船公司每天的运营收入最大化，同时也要使游轮的运营次数尽可能少。就要让每次游轮的载客量达到最大（即游轮每次的载客量为150），则在18：00到22：00时间段内，每一趟游轮的启航时间分别为18：30、19：00、19：30、20：00、20：30、21：00、21:30、22:00，游轮一天共运营8次。建立整数规划模型，用穷举法列举出有多艘游轮的的运营情况，对比选择出轮船公司选择的最优方案，即轮船公司最少使用2艘游轮，每艘游轮运营4次，每次运营的载客量为150人。针对问题三，针对游客愿意等待游轮返回的情形，假设游客到达港口最多等待20分钟，若二十分钟游轮未到，则自动离开。在此假设下重新考虑问题一、二。因为游客到达港口最多等待20分钟，所以游轮启航时的载客量为90-100人。考虑到游客到达并等待的时间，本小题从17：50开始计算游客到达人数，游轮最早启航时间为18：08。针对问题一，在只有一艘游轮，游客最多等待20分钟的情况下，如何安排航程使轮船公司的每天的运营收入最大。建立数学规划模型，在17：50到22：00时间段内，用载客量的最小值可算出游轮每天最多可运营6次，要使每天运营收入最大化，就要让游轮每次的载客量达到时间所限制最大值，可以利用Lingo软件进行求解。确定游轮一天安排6次航程，每次游轮的载客量为100人，总的载客量为600人。针对问题二，在有多艘游轮的情况下，如何安排游轮数量及航程使轮船公司每天的运营收入最大化，同时也要使游轮的运营次数尽可能少。就要让每次游轮的载客量达到最大（即游轮每次的载客量为100）且无游客离开港口。则在17：50到22：00时间段内，每一趟游轮的启航时间分别为18：10、18：30、18：50、19：10、19：30、19：50、20:10、20:30、20：50、21：10、21：30、21：50，游轮一天共运营12次。在时间确定的情况下，设共有i(i=1,2,…,n)艘游轮运营，用穷举法分别列举出i艘游轮一天的运营情况。对比选择出轮船公司选择的最优方案，即轮船公司最少使用3艘游轮，每艘游轮运营4次，每次运营的载客量为100人。我们三人共同合作完成了此次论文，在7月2日下午分组讨论时我们也将自己的成果以小组形式与其他组交流。老师、同学也给我们提出了许多问题，我们认识到很多不足，自己考虑问题不全面，模型不够优化。这些都是我们应该改正的。经过一次完整数学建模后，第二次关于房价的数学建模题发下来时，我们小组就很快进入状态，对第二题进行分析，确定出用GM(1,1)预测、CORREL函数、MATLAB曲线拟合来解决。思路比较清楚，由于这道题没有数据需要自己确定城市查找数据，但是我们由于选择城市与数据没有确定清楚导致7月3日这一天被浪费掉了。当我们意识到这个问题的时候我们迅速调整，分工明确我们选择一线城市北京、新一线城市西安、二线城市太原、三线城市呼和浩特这四个城市为例，针对所要解决的问题，建立相应的模型并求解。我们对这四个城市有关房价的问题进行了分析：问题一是针对各代表城市房价的合理性进行定量分析。我们以通过查找数据，分析相关资料，确定影响房价合理性的两个指标，房价收入比和住房能力负担，建立双指标房价合理性评价模型。利用所收集到的数据，计算出各个城市的房价收入比和住房能力负担，并对其进行分析，即房价收入比在区间(3,6)内，以及住房负担能力高于当年的商品房销售价格，其房价才合理。求解可得，北京的房价不合理，西安、太原和呼和浩特仅对城市居民较为合理。问题二是针对各代表城市未来的房价走势进行定量分析。考虑到影响房价的因素众多，不能全部考虑，所以我们用历史五年房价预测未来五年房价，采用了基于灰色系统理论的灰色预测，建立GM(1,1)预测模型。对搜集的数据进行整理分析，利用MATLAB软件拟合出各个城市房价的走势图，预测未来五年的房价走势。结果显示各城市未来五年的房价会持续增长。问题三是要我们探讨使得房价合理的具体措施。通过对一些数据的分析，我们可以了解到主要可以通过以下几个方面来进行，如提高国内生产总值、提高居民可支配收入、平衡消费水平、优化房地产开发投资额。通过了解以上因素，我们可以利用Excel表格的CORREL函数计算各因素和房价的相关系数，来通过各个因素和房价的相关系数来判断各个因素对房价影响的比重，并结合问题一、二的结论做出相应分析，得出以下措施：对土地资源合理供应量进行调整、加强对各城市人口密度的管理和提高居民收入水平。问题四针对采取的措施对经济发展产生的影响做出合理分析，即房价变化对经济发展的影响。由第三题可得，居民可支配收入对房价变化的相关系数最高，所以选择居民可支配收入来判断房价变化对经济发展的影响。建立各城市房价和居民可支配收入的模型，利用MATLAB软件进行拟合，得到各城市房价和居民可支配收入的关系图，可得到房价的增长会会对经济发展有积极作用，但过快的增长会对经济发展产生不良影响。经过努力我们小组按时保质保量的提交了论文。相对于第一次而言，第二次的我们就出现了一些决策上的失误，出现了盲目的行为。这是我们的缺点也是我们需要学习的地方。四、实践体会经过此次数学建模的学习，我成长了很多，首先在这段时间的数学建模培训过程中，老师的课程培训让我学到了很多知识，例如MATLAB软件、LINGO软件，以及各种数学模型这没有任何一门课程可以相比，编程的使用让我感受到计算机的魅力，知识的强大。对于我们从来没有参加过数学建模的同学来说第一次解决实际问题过程时是不知道从哪里下手的，在做夜游轮船调度问题时，刚开始我们小组整个的斗志不是很大，因为不知道从哪里下手，但是我们没有放弃，我们去图书馆查阅相关书籍，大量阅读有关的优秀论文借鉴，欣赏。通过不断的学习，来充实自己。鼓励自己办法总比困难多，努力总会有收获。终于我们确定出初始模型，但是并不是很理想，编程的实现很难，我们又查阅资料解决这些问题，一遍又一遍修改，终于有了我们的最终版本。通过第一次论文的完成，让我学到了一种精神，执着和认真。只有当你不放弃一件事，认真对待的时候才能不浮躁，全神贯注的做好它。同时，此次建模培训还提升了我的写作水平，有份报告要想优秀除了必备的研究成果外就必须让人看的懂它，这就需要优秀的语言表达能力。在参加建模之前我自认为我的语言表达能力还比较优秀，直到参加了建模培训才知道天外有天，人外有人。首先我们组负责写作的女孩写作能力就比我强，更不用说其他组优秀的人，我才知道学无止境。此次数学建模我觉得不仅是享受解题的过程，更重要的是那种团结协作带来的荣誉感和快乐，当把一道题解出来时，是三个人的光荣。在建模过程中我们组内的分工是很明确的，每个人把自己的长处发挥到极致共同完成同一件事情是很幸福的。我很开兴参加这次数学建模培训，让我受益匪浅，终身受益。在日后的学习生活中，我更会把所学的知识运用起来的。

附：夜游轮船调度问题摘要本文研究了关于夜游轮船的调度问题，针对各小题所要解决的实际问题，应用不同的理论建立不同的模型和算法，过程如下：首先，在已知条件下，夜游轮船的满载是150人，但游轮载客量达到满载的60%方可启航，安排轮船载客游览的时间为45分钟/次，票价为80元/人/次，在18：00到22：00时间段内，游客以平均每分钟5人的速度到达并参加夜游。假设游轮在22：00点之后不再发车。针对问题一，在只有一艘游轮的情况下，讨论如何安排航程使轮船公司的每天的运营收入最大。这一问题属于非线性规划问题，建立数学规划模型。根据已知条件，在18：00到22：00时间段内，用载客量的最小值可算出游轮每天最多可运营5次，要使每天运营收入最大化，就要让游轮每次的载客量达到最大，利用Lingo软件进行求解，得到每日运营收入的最优解。即确定游轮一天安排5次航程，每次航程游轮都会满载，第一次游轮启航时间最早为18：30，总的载客量是750人。针对问题二，在有多艘游轮的情况下，如何安排游轮数量及航程使轮船公司每天的运营收入最大化，同时也要使游轮的运营次数尽可能少。就要让每次游轮的载客量达到最大（即游轮每次的载客量为150），则在18：00到22：00时间段内，每一趟游轮的启航时间分别为18：30、19：00、19：30、20：00、20：30、21：00、21:30、22:00，游轮一天共运营8次。建立整数规划模型，用穷举法列举出有多艘游轮的的运营情况，对比选择出轮船公司选择的最优方案，即轮船公司最少使用2艘游轮，每艘游轮运营4次，每次运营的载客量为150人。针对问题三，针对游客愿意等待游轮返回的情形，假设游客到达港口最多等待20分钟，若二十分钟游轮未到，则自动离开。在此假设下重新考虑问题一、二。因为游客到达港口最多等待20分钟，所以游轮启航时的载客量为90-100人。考虑到游客到达并等待的时间，本小题从17：50开始计算游客到达人数，游轮最早启航时间为18：08。1.针对问题一，在只有一艘游轮，游客最多等待20分钟的情况下，如何安排航程使轮船公司的每天的运营收入最大。建立数学规划模型，在17：50到22：00时间段内，用载客量的最小值可算出游轮每天最多可运营6次，要使每天运营收入最大化，就要让游轮每次的载客量达到时间所限制最大值，可以利用Lingo软件进行求解。确定游轮一天安排6次航程，每次游轮的载客量为100人，总的载客量为600人。2．针对问题二，在有多艘游轮的情况下，如何安排游轮数量及航程使轮船公司每天的运营收入最大化，同时也要使游轮的运营次数尽可能少。就要让每次游轮的载客量达到最大（即游轮每次的载客量为100）且无游客离开港口。则在17：50到22：00时间段内，每一趟游轮的启航时间分别为18：10、18：30、18：50、19：10、19：30、19：50、20:10、20:30、20：50、21：10、21：30、21：50，游轮一天共运营12次。在时间确定的情况下，设共有i(i=1,2,…,n)艘游轮运营，用穷举法分别列举出i艘游轮一天的运营情况。对比选择出轮船公司选择的最优方案，即轮船公司最少使用3艘游轮，每艘游轮运营4次，每次运营的载客量为100人。关键词：夜游轮船的调度问题Lingo软件非线性规划穷举法一、问题重述近年来某地夜游轮船受到了游客的欢迎。在灯光的配合下，江面与两岸景色十分优美，许多游客慕名而来欣赏美景。当地轮船公司因此开设了“夜游”服务。目前，提供“夜游”服务的游轮满载是150人，安排轮船载客游览时间是45分钟/次，票价为80元/人/次。另外，为了节约游客的时间成本，提高游客的满意度，轮船公司规定：游轮不需要满载即可起航，但启航时游轮的载客量至少要达到满载的60%以上。根据统计，游客主要在18:00点到22:00来参观游览，且在18:00到22:00时间段内，游客以平均每分钟5人的速度到达码头并参加“夜游”。从轮船公司角度出发，轮船调度的目的首先是要求每天运营收入的最大化。其次，由于游轮的每次运营都有油费、设备折旧等成本存在，轮船公司希望游轮每天总的运营次数尽可能少，以节约运营成本，实现利润最大化。同时，从提高服务质量的角度出发，轮船公司又希望在总运载人数不变情况下，游轮每次运载的人数尽可能均衡。请结合轮船公司的具体需求，建立数学模型并解决如下调度问题。1．如果轮船公司只有1艘游轮，问该游轮如何安排航程？一天总载客量是多少?2．若轮船公司有多艘游轮，问轮船公司最少需使用几艘游轮？分别如何安排航程？每艘游轮载客量是多少？3．针对实际中出现的游客愿意等待轮船返回的情形，假设游客到达港口最多等待20分钟，若20分钟游轮未到，则自动离开。请在该假设下重新考虑问题1和问题2。注：1．22:00之后~次日18:00前游客较少，可以不予考虑。2．为计算方便，本题不考虑游客上下船时间。3．对多艘轮船，如果后一艘到达时，前一艘还未启航，需要等待前一艘离开才允许上客。但返回的船下客不受影响。4．在第3问中，对18:00点，可考虑17:50就有乘客到达并等待，等待人数的估计同前两问：游客以平均每分钟5人的速度到达码头并参加“夜游”。5．题目中轮船公司的收入特指票价收入，无需考虑游轮提供其他服务的收入以及轮船的购买价格等因素。6．游轮启航时刻以整分钟为基本单位。二、问题分析为了使轮船公司每天运营收入最大化、每天总的运用次数尽可能少的情况下，实现利润最大化和在总运载人数不变的情况下，轮船的运载人数尽可能均衡，针对上述问题作出以下分析：问题一的分析：在只有一艘轮船的情况下，如何安排航程使轮船公司的每天的运营收入最大。建立数学规划模型，其目标函数为轮船公司的运营收入函数，约束函数为一系列线性约束函数，可以利用Lingo软件进行求解，即确定游轮一天安排5次航程，每次航程游轮都会满载，第一次游轮启航时间最早为18：30，总的载客量是750人。问题二的分析：在有多艘游轮的情况下，如何安排游轮数量及航程使轮船公司每天的运营收入最大化，同时也要使游轮的运营次数尽可能少。就要让每次游轮的载客量达到最大（即游轮每次的载客量为150），则在18：00到22：00时间段内，每一趟游轮的启航时间分别为18：30、19：00、19：30、20：00、20：30、21：00、21:30、22:00，游轮一天共运营8次。在时间确定的情况下，设共有i(i=1,2,…,n)艘游轮运营，用穷举法分别列举出i艘游轮一天的运营情况。对比得出，当i=2时，游轮的运营收入和利润最大。问题三的分析：针对游客愿意等待游轮返回的情形，假设游客到达港口最多等待20分钟，若二十分钟游轮未到，则自动离开。在此假设下重新考虑问题一、二。因为游客到达港口最多等待20分钟，所以游轮启航时的载客量为90-100人。考虑到游客到达并等待的时间，本小题从17：50开始计算游客到达人数，游轮最早启航时间为18：08。1.针对问题一，在只有一艘游轮，游客最多等待20分钟的情况下，如何安排航程使轮船公司的每天的运营收入最大。建立数学规划模型，其目标函数为轮船公司的运营收入函数，约束函数为一系列线性约束函数，可以利用Lingo软件进行求解。确定游轮一天安排6次航程，要使轮船公司的运营收入最大，每次游轮的载客量为100人，总的载客量为600人。2．针对问题二，在有多艘游轮的情况下，如何安排游轮数量及航程使轮船公司每天的运营收入最大化，同时也要使游轮的运营次数尽可能少。就要让每次游轮的载客量达到最大（即游轮每次的载客量为100）且无游客离开港口。则在17：50到22：00时间段内，每一趟游轮的启航时间分别为18：10、18：30、18：50、19：10、19：30、19：50、20:10、20:30、20：50、21：10、21：30、21：50，游轮一天共运营12次。在时间确定的情况下，设共有i(i=1,2,…,n)艘游轮运营，用穷举法分别列举出i艘游轮一天的运营情况。对比得出，当i=3时，游轮的运营收入和利润最大。三、模型的基本假设假设夜游轮船在22：00之后将不再发车。假设每艘夜游轮船发车的时间间隔相等。假设游客以5人/分钟的速度来到达码头并参加“夜游”。四、符号说明符号符号说明x游轮每次载客的人数y游轮每天运行的次数Z轮船公司每天的运营收入a第i艘游轮五、模型建立问题一：数学规划模型（非线性规划求解）若设游轮每次载客的人数为x，游轮每天运行的次数为y，目标是每日的运营收入Z最大。模型为maxZ=80xy（每日运营收入）约束条件s.t.：90<=x<=150（游轮的满载量为150人，游轮启航的载客量至少要达到90人）y<=5（一艘游轮每日最多可运行5次）问题二：整数规划模型（穷举法求解）设共有i(i=1,2,…,n)艘游轮运营，用整数规划模型的穷举法分别列举出i艘游轮一天的运营情况。要使轮船公司的运营收入达到最大且运营次数尽可能少，就要让每次游轮的载客量达到最大，则在18：00到22：00时间段内，每一趟游轮的启航时间分别为18：30、19：00、19：30、20：00、20：30、21：00、21:30、22:00。由此可列出如表5-1所示的数据。无游客到达时间限制的不同游轮数目启航时刻表数量出发游轮时间一艘（i=1）两艘（i=1，2）三艘（i=1，2，3）…n艘(i=1，2，…,n)18:30情况同本题问题一aa…若有n艘游轮，就不用考虑时间问题，每艘轮船的载客量达到90人就可启航。这类情况不符合实际，不予考虑。19:00aa19:30aa1或20:00a20:30a21:00a21:30a22:00a表5-1无游客到达时间限制的不同游轮数目启航时刻表问题三：1.建立数学规划模型（非线性规划求解）若设游轮每次载客的人数为x，游轮每天运行的次数为y，目标是每日的运营收入Z最大。模型为maxZ=80xy（每日运营收入）约束条件s.t.：90<=x<=100（在等待20分钟的情况下，游轮的最大载客量为100人，游轮启航的载客量至少要达到90人）y<=6（一艘游轮每日最多可运行6次）2.整数规划模型（穷举法求解）设共有i(i=1,2,…,n)艘游轮运营，用整数规划模型的穷举法分别列举出i艘游轮一天的运营情况。要使轮船公司的运营收入达到最大且运营次数尽可能少，就要让每次游轮的载客量达到最大（即游轮每次的载客量为100）且无游客离开港口。则在17：50到22：00时间段内，每一趟游轮的启航时间分别为18：10、18：30、18：50、19：10、19：30、19：50、20:10、20:30、20：50、21：10、21：30、21：50。由此可列出如表5-2所示的数据。有游客到达时间限制的不同游轮数目启航时刻表数量出发游轮时间两艘（i=1，2）三艘（i=1，2，3）四艘（i=1，2，3，4）18：10aaa18：30aaa18：50无游轮可启航aa19：10aaa1或19：30aa19：50无游轮可启航a20：10aa20：30aa20：50QUOTE𝑎1无游轮可启航a21：10aQUOTE𝑎2a21：30aa21：50无游轮可启航a表5-2有游客到达时间限制的不同游轮数目启航时刻表六、模型求解问题一模型的求解：这是一个运筹学的非线性规划（NLP）问题,目标函数为轮船公司的运营收入函数，约束函数为一系列线性约束函数，利用Lingo软件求解得到最优解（程序见附录1），结果如下图6-1、6-2所示。图6-1问题一模型Lingo求解结果图6-2问题一模型Lingo求解结果由图可知，当x=150,y=5时，maxZ=60000。即在只有一艘游轮的前提下，要使轮船公司的运营收入达到最大化，则游轮每天要运行5次，每次启航游轮都会满载，第一次游轮启航时间最早为18：30，总的载客量是750人。问题二模型的求解：由表5-1对比可得：当有两艘游轮时，游轮的每次的载客量都为150人，且无资源浪费，可以使轮船公司的运营收入和利润发到最大化。当有三艘游轮时，19：30第一艘游轮已到达，而第三艘游轮尚未出发，导致游轮时间冲突和资源浪费，不能使轮船公司的运营收入和利润发到最大化。所以轮船公司最少需使用2艘游轮，第一艘游轮的启航时间分别为18：30、19：30、20：30、21:30，第二艘游轮的启航时间分别为19：00、20：00、21：00、22:00，每艘游轮的载客量为150人。问题三模型的求解：1.这是一个运筹学的非线性规划（NLP）问题,目标函数为轮船公司的运营收入函数，约束函数为一系列线性约束函数，利用Lingo软件求解得到最优解（程序见附录2），结果如下图6-3、6-4所示。图6-3问题三模型Lingo求解结果图6-4问题三模型Lingo求解结果由图可知，当x=100,y=6时，maxZ=48 000。即在只有一艘游轮的前提下，要使轮船公司的运营收入达到最大化，则游轮每天要运行6次，每次启航游轮的载客量为100人，第一次游轮启航时间为18：20，总的载客量是600人。2.由表5-2对比可得，当有两艘游轮时，在18：50、19：50、20：50、21：50时刻，无游轮可启航，导致此前等待二十分钟的游客离开，不能使轮船公司的运营收入和利润发到最大化。当有三艘游轮时，游轮的每次的载客量都为100人，且无资源浪费，可以使轮船公司的运营收入和利润发到最大化。当有四艘游轮时，19：10第一艘游轮已到达，而第四艘游轮尚未出发，导致游轮时间冲突和资源浪费，不能使轮船公司的运营收入和利润发到最大化。所以轮船公司最少需使用三艘游轮，第一艘游轮的启航时间分别为18：10、19：10、20：10、21:10，第二艘游轮的启航时间分别为18：30、19：30、20：30、21:30，第三艘游轮的启航时间分别为：18：50、19：50、20：50、21：50。每艘游轮的载客量为100人。七、模型检验通过建立数学规划模型，计算出在满足问题一要求的情况下，轮船公司应使游轮每天运营五次，每次游轮的