“科学思维”专练（三） 万有引力定律的应用

“科学思维”专练（三）万有引力定律的应用一、选择题1．(2021·浙江1月学考)“嫦娥五号”探测器是我国首个实施月面采样返回的航天器，由轨道器、返回器、着陆器和上升器等多个部分组成。为等待月面采集的样品，轨道器与返回器的组合体环月做圆周运动。已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，地球质量m1＝6.0×1024kg，月球质量m2＝7.3×1022kg，月地距离r1＝3.8×105km，月球半径r2＝1.7×103km。当轨道器与返回器的组合体在月球表面上方约200km处做环月匀速圆周运动时，其环绕速度约为()A．16m/s B．1.1×102m/sC．1.6×103m/s D．1.4×104m/s解析：选C设组合体质量为m，根据匀速圆周运动的规律，万有引力充当向心力，Geq\f(m2m,r2＋h2)＝meq\f(v2,r2＋h)，解得v≈1.6×103m/s，选项C正确。2．(2022·上海光明中学期中)某人造地球卫星在距离地面高为h的轨道内做匀速圆周运动，现要变轨进入更高的轨道做匀速圆周运动，卫星需要()A．一直增大速度直到进入预定轨道做匀速圆周运动B．一直减小速度直到进入预定轨道做匀速圆周运动C．先增大速度实现变轨，到达预定轨道后做匀速圆周运动的速度比之前小D．先减小速度实现变轨，到达预定轨道后做匀速圆周运动的速度比之前大解析：选C卫星要进入更高的轨道，需要做离心运动，当万有引力不足以提供做圆周运动的向心力时，卫星做离心运动，则需要加速进入更高的轨道，到达预定轨道后做匀速圆周运动，根据eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)可得v＝eq\r(\f(GM,r))，可知半径变大之后，速度v减小，故A、B、D错误，C正确。3．(2022·河南洛阳期中)(多选)据报道，中国探月工程四期已经启动，计划在月球南极建立科研站，届时将先把探测器送入环月的椭圆轨道Ⅰ，再在P点变轨，进入环月圆轨道Ⅱ，以选择合适的登陆地点，如图。下列关于变轨前后探测器说法正确的是()A．探测器在Q点的速度大于在Ⅰ轨道上经过P点的速度B．探测器在Ⅰ轨道上经过P点的速度大于在Ⅱ轨道上经过P点的速度C．探测器在Ⅰ轨道上经过P点的加速度大于在Ⅱ轨道上经过P点的加速度D．探测器在Ⅰ轨道的周期大于在Ⅱ轨道的周期解析：选BD轨道Ⅰ上P点为近月点，速度最大，Q点为远月点，速度最小，故A错误；从轨道Ⅱ到轨道Ⅰ，需要在P点点火加速，因此探测器在Ⅰ轨道上经过P点的速度大于在Ⅱ轨道上经过P点的速度，故B正确；同一点，受到的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，加速度相同，故C错误；根据开普勒第三定律可知，Ⅰ轨道半长轴较大，周期较大，故D正确。4．(2021·全国甲卷)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m。已知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为()A．6×105m B．6×106mC．6×107m D．6×108m解析：选C在火星表面附近，对于绕火星做匀速圆周运动的物体，有mg火＝meq\f(4π2,T12)R火，得T12＝eq\f(4π2R火,g火)，根据开普勒第三定律，有eq\f(R火3,T12)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l近＋2R火＋l远,2)))3,T22)，代入数据解得l远≈6×107m，C正确。5.(2021·全国乙卷)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000AU(太阳到地球的距离为1AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为()A．4×104M B．4×106MC．4×108M D．4×1010M解析：选B由万有引力提供向心力有eq\f(GM中m,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，整理得eq\f(R3,T2)＝eq\f(GM中,4π2)，可知eq\f(R3,T2)只与中心天体的质量有关，则eq\f(M黑洞,M)＝eq\f(\f(RS23,TS22),\f(R地3,T地2))，已知T地＝1年，由题图可知恒星S2绕银河系运动的周期TS2＝2×(2002－1994)年＝16年，解得M黑洞≈4×106M，B正确。6.我国已掌握“高速半弹道跳跃式再入返回技术”，为实现“嫦娥”飞船月地返回任务奠定基础。如图虚线为大气层边界，返回器与服务舱分离后，从a点无动力滑入大气层，然后从c点“跳”出，再从e点“跃”入，实现多次减速，可避免损坏返回器。d点为轨迹的最高点，离地心的距离为r，返回器在d点时的速度大小为v，地球质量为M，引力常量为G。则返回器()A．在b点处于失重状态B．在a、c、e点时的速率相等C．在d点时的加速度大小为eq\f(GM,r2)D．在d点时的速度大小v＞eq\r(\f(GM,r))解析：选C由题意知，返回器在b点处于超重状态，故A错误；从a到e通过大气层，除了受到万有引力作用，由于有空气的阻力作用，在a、c、e三点时的速率不等，故B错误；在d点受万有引力：F＝eq\f(GMm,r2)＝ma，所以加速度a＝eq\f(GM,r2)，故C正确；在d点，v＜eq\r(\f(GM,r))，所以D错误。7.(2022·哈尔滨五十八中期末)(多选)某探月卫星沿地月转移轨道到达月球，在距月球表面200km的P点进行第一次“刹车制动”后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，如图所示。之后，卫星在P点经过几次“刹车制动”，最终在距月球表面200km的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动。用T1、T2、T3分别表示卫星在椭圆轨道Ⅰ、Ⅱ和圆形轨道Ⅲ上运行的周期，用a1、a2、a3分别表示卫星沿三个轨道运动到P点的加速度，则下列说法正确的是()A．T1＞T2＞T3 B．T1＜T2＜T3C．a1＞a2＞a3 D．a1＝a2＝a3解析：选AD根据开普勒第三定律eq\f(r13,T12)＝eq\f(r23,T22)＝eq\f(r33,T32)，由题图可知轨道Ⅰ半长轴最大，轨道Ⅲ半径最小，所以T1最大，T3最小，故A正确，B错误；在空间同一点，卫星受到月球的万有引力相等，根据牛顿第二定律可知在同一点，卫星产生的加速度相同，故C错误，D正确。8．(2022·重庆一中期中)(多选)宇宙中两颗靠得比较近的恒星，在彼此之间的万有引力作用下，围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，称为“双星”系统，下列说法正确的是()A．质量大的恒星其轨道半径小B．质量大的恒星其轨道半径大C．若“双星”经过一段时间的演化，两星总质量不变但两星之间的距离变小，则演化后双星圆周运动的周期变小D．若“双星”经过一段时间的演化，两星总质量不变但两星之间的距离变小，则演化后双星圆周运动的周期变大解析：选AC设两星的质量分别为m1、m2，两星间距离为L，做圆周运动的半径分别为r1、r2，根据题意，由公式eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得eq\f(Gm1m2,L2)＝m1eq\f(4π2,T2)r1＝m2eq\f(4π2,T2)r2，整理可得m1r1＝m2r2，可知质量大的恒星其轨道半径小，故A正确，B错误；整理可得T＝eq\r(\f(4π2L3,Gm1＋m2))可知，若双星经过一段时间的演化，两星总质量不变但两星之间的距离变小，则演化后双星圆周运动的周期变小，故D错误，C正确。9．(2022·浙江绍兴期末)(多选)“天问一号”是我国发射的火星探测器。如图所示，假设“天问一号”探测器环绕火星做匀速圆周运动的周期为T，对火星的张角为θ。已知引力常量为G，由以上数据可以求得()A．“天问一号”探测器的角速度B．火星的质量C．火星的第一宇宙速度D．火星的平均密度解析：选AD根据ω＝eq\f(2π,T)可知，可以求出天问一号探测器的角速度，故A正确；设轨道半径为r，星球半径为R，满足sineq\f(θ,2)＝eq\f(R,r)，根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可知M＝eq\f(4π2r3,GT2)，由于r未知，无法计算火星质量，故B错误；根据Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，可知v＝eq\r(\f(GM,R))，由于R未知，无法求出火星的第一宇宙速度，故C错误；根据ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π,GT2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)))3)可知，可求火星的平均密度，故D正确。10．(2023·北京高考)2022年10月9日，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射，实现了对太阳探测的跨越式突破。“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为720km，运行一圈所用时间约为100分钟。如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”，下列说法正确的是()A．“夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为1°B．“夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于7.9km/sC．“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度D．由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日地间平均距离解析：选A因为“夸父一号”轨道平面要始终与太阳保持固定的取向，则在一年之内转动360°角，即轨道平面平均每天约转动1°，故A正确；第一宇宙速度是所有绕地球做圆周运动的卫星的最大环绕速度，则“夸父一号”的速度小于7.9km/s，故B错误；根据Geq\f(Mm,r2)＝ma，可知“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C错误；“夸父一号”绕地球转动，地球绕太阳转动，中心天体不同，则根据题中信息不能求解地球与太阳的距离，故D错误。二、非选择题11．神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测“双星”系统的运动规律，天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX－3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星可视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的线速度v和运行周期T。(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′(用m1、m2表示)；(2)求暗星B的质量m2与可见星A的线速度v、运行周期T和质量m1之间的关系式。解析：(1)设A、B的轨道半径分别为r1、r2，由题意知A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设为ω。由牛顿第二定律，有FA＝m1ω2r1，FB＝m2ω2r2，又FA＝FB，设A、B之间的距离为r，有r＝r1＋r2，由以上各式得r＝eq\f(m1＋m2,m2)r1①由万有引力定律，有FA＝Geq\f(m1m2,r2)，将①代入上式得FA＝Geq\f(m1m23,m1＋m22r12)，令FA＝Geq\f(m1m′,r12)，可得m′＝eq\f(m23,m1＋m22)。②(2)由牛顿第二定律，有Geq\f(m1m′,r12)＝m1eq\f(v2,r1)③可见星A的轨道半径r1＝eq\f(vT,2π)④由②③④式解得eq\f(m23,m1＋m22)＝eq\f(v3T,2πG)。⑤答案：(1)eq\f(m23,m1＋m22)(2)eq\f(m23,m1＋m22)＝eq\f(v3T,2πG)12．一火星探测器着陆火星之前，需经历动力减速、悬停避障两个阶段。在动力减速阶段，探测器速度大小由96m/s减小到0，历时80s。在悬停避障阶段，探测器启用最大推力为7500N的变推力发动机，在距火星表面约百米高度处悬停，寻找着陆点。已知火星半径约为地球半径的eq\f(1,2)，火星质量约为地球质量的eq\f(1,10)，地球表面重力加速度大小取10m/s2，探测器在动力减速阶段的运动视为竖直向下的匀减速运动。求：(1)在动力减速阶段，探测器的加速度大小和下降距离；(2)在悬停避障阶段，能借助该变推力发动机实现悬停的探测器的最大质量。解析：(1)设探测器在动力减速阶段所用时间为t，初速度大小为v1，末速度大小为v2，加速度大小为a，由匀变速直线运动速度公式有v2＝v1－at①代入题给数据得a＝1.2m/s2②设探测器下降的距离为s，由匀变速直线运动位移公式有s＝v1t－eq\f(1,2)at2③联立②③式并代入题给数据得s＝384