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文档简介

四川内江威远龙会中学2022-2023学年高三毕业班第三次统测数学试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若复数是纯虚数,则实数的值为()A.或 B. C. D.或2.如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为176,320,则输出的a为()A.16 B.18 C.20 D.153.设为锐角,若,则的值为()A. B. C. D.4.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计,烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位:)服从正态分布,则直径在内的概率为()附:若,则,.A.0.6826 B.0.8413 C.0.8185 D.0.95445.在中,点D是线段BC上任意一点,,,则()A. B.-2 C. D.26.一小商贩准备用元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品,甲每件进价元,乙每件进价元,甲商品每卖出去件可赚元,乙商品每卖出去件可赚元.该商贩若想获取最大收益,则购买甲、乙两种商品的件数应分别为()A.甲件,乙件 B.甲件,乙件 C.甲件,乙件 D.甲件,乙件7.已知双曲线的焦距为,若的渐近线上存在点,使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直,则双曲线的离心率的取值范围是()A. B. C. D.8.已知是平面内互不相等的两个非零向量,且与的夹角为,则的取值范围是()A. B. C. D.9.马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士,也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物,梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p﹣1作了大量的计算、验证工作,人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献,将形如2P﹣1(其中p是素数)的素数,称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图,则输出的梅森素数的个数是()A.3 B.4 C.5 D.610.函数在的图像大致为A. B. C. D.11.已知定义在上的奇函数满足:(其中),且在区间上是减函数,令,,,则,,的大小关系(用不等号连接)为()A. B.C. D.12.函数的图象大致为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数,则________;满足的的取值范围为________.14.已知数列满足对任意,若,则数列的通项公式________.15.如图,两个同心圆的半径分别为和,为大圆的一条直径,过点作小圆的切线交大圆于另一点,切点为,点为劣弧上的任一点(不包括两点),则的最大值是__________.16.集合,,则_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列满足:对一切成立.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.18.(12分)为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度,在普通行人中随机选取了200人进行调查,当不处罚时,有80人会闯红灯,处罚时,得到如表数据:处罚金额(单位:元)5101520会闯红灯的人数50402010若用表中数据所得频率代替概率.(1)当罚金定为10元时,行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少?(2)将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类:类市民在罚金不超过10元时就会改正行为;类是其他市民.现对类与类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷,则前两位均为类市民的概率是多少?19.(12分)设函数,.(Ⅰ)讨论的单调性;(Ⅱ)时,若,,求证:.20.(12分)在中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且.(1)求角A的大小;(2)若,的平分线与交于点D,与的外接圆交于点E(异于点A),,求的值.21.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足bcosA﹣asinB=1.(1)求A;(2)已知a=2,B=,求△ABC的面积.22.(10分)已知函数.(1)若,解关于的不等式;(2)若当时,恒成立,求实数的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】试题分析:因为复数是纯虚数,所以且,因此注意不要忽视虚部不为零这一隐含条件.考点:纯虚数2、A【解析】

根据题意可知最后计算的结果为的最大公约数.【详解】输入的a,b分别为,,根据流程图可知最后计算的结果为的最大公约数,按流程图计算,,,,,,,易得176和320的最大公约数为16,故选:A.【点睛】本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易.3、D【解析】

用诱导公式和二倍角公式计算.【详解】.故选:D.【点睛】本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式,解题关键是找出已知角和未知角之间的联系.4、C【解析】

根据服从的正态分布可得,,将所求概率转化为,结合正态分布曲线的性质可求得结果.【详解】由题意,,,则,,所以,.故果实直径在内的概率为0.8185.故选:C【点睛】本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题,考查了正态曲线的对称性,属于基础题.5、A【解析】

设,用表示出,求出的值即可得出答案.【详解】设由,,.故选:A【点睛】本题考查了向量加法、减法以及数乘运算,需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义,属于基础题.6、D【解析】

由题意列出约束条件和目标函数,数形结合即可解决.【详解】设购买甲、乙两种商品的件数应分别,利润为元,由题意,画出可行域如图所示,显然当经过时,最大.故选:D.【点睛】本题考查线性目标函数的线性规划问题,解决此类问题要注意判断,是否是整数,是否是非负数,并准确的画出可行域,本题是一道基础题.7、B【解析】

由可得;由过点所作的圆的两条切线互相垂直可得,又焦点到双曲线渐近线的距离为,则,进而求解.【详解】,所以离心率,又圆是以为圆心,半径的圆,要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直,必有,而焦点到双曲线渐近线的距离为,所以,即,所以,所以双曲线的离心率的取值范围是.故选:B【点睛】本题考查双曲线的离心率的范围,考查双曲线的性质的应用.8、C【解析】试题分析:如下图所示,则,因为与的夹角为,即,所以,设,则,在三角形中,由正弦定理得,所以,所以,故选C.考点:1.向量加减法的几何意义;2.正弦定理;3.正弦函数性质.9、C【解析】

模拟程序的运行即可求出答案.【详解】解:模拟程序的运行,可得:p=1,S=1,输出S的值为1,满足条件p≤7,执行循环体,p=3,S=7,输出S的值为7,满足条件p≤7,执行循环体,p=5,S=31,输出S的值为31,满足条件p≤7,执行循环体,p=7,S=127,输出S的值为127,满足条件p≤7,执行循环体,p=9,S=511,输出S的值为511,此时,不满足条件p≤7,退出循环,结束,故若执行如图所示的程序框图,则输出的梅森素数的个数是5,故选:C.【点睛】本题主要考查程序框图,属于基础题.10、B【解析】

由分子、分母的奇偶性,易于确定函数为奇函数,由的近似值即可得出结果.【详解】设,则,所以是奇函数,图象关于原点成中心对称,排除选项C.又排除选项D;,排除选项A,故选B.【点睛】本题通过判断函数的奇偶性,缩小考察范围,通过计算特殊函数值,最后做出选择.本题较易,注重了基础知识、基本计算能力的考查.11、A【解析】因为,所以,即周期为4,因为为奇函数,所以可作一个周期[-2e,2e]示意图,如图在(0,1)单调递增,因为,因此,选A.点睛:函数对称性代数表示(1)函数为奇函数,函数为偶函数(定义域关于原点对称);(2)函数关于点对称,函数关于直线对称,(3)函数周期为T,则12、A【解析】

确定函数在定义域内的单调性,计算时的函数值可排除三个选项.【详解】时,函数为减函数,排除B,时,函数也是减函数,排除D,又时,,排除C,只有A可满足.故选:A.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象,可通过解析式研究函数的性质,如奇偶性、单调性、对称性等等排除,可通过特殊的函数值,函数值的正负,函数值的变化趋势排除,最后剩下的一个即为正确选项.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

首先由分段函数的解析式代入求值即可得到,分和两种情况讨论可得;【详解】解:因为,所以,∵,∴当时,满足题意,∴;当时,由,解得.综合可知:满足的的取值范围为.故答案为:;.【点睛】本题考查分段函数的性质的应用,分类讨论思想,属于基础题.14、【解析】

由可得,利用等比数列的通项公式可得,再利用累加法求和与等比数列的求和公式,即可得出结论.【详解】由,得,数列是等比数列,首项为2,公比为2,,,,,满足上式,.故答案为:.【点睛】本题考查数列的通项公式,递推公式转化为等比数列是解题的关键,利用累加法求通项公式,属于中档题.15、【解析】

以为坐标原点,所在的直线为轴,的垂直平分线为轴,建立平面直角坐标系,从而可得、,,,然后利用向量数量积的坐标运算可得,再根据辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.【详解】以为坐标原点,所在的直线为轴,的垂直平分线为轴,建立平面直角坐标系,则、,由,且,所以,所以,即又平分,所以,则,设,则,,所以,所以,,所以的最大值是.故答案为:【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算、利用向量解决几何问题,同时考查了辅助角公式以及三角函数的性质,属于中档题.16、【解析】

分析出集合A为奇数构成的集合,即可求得交集.【详解】因为表示为奇数,故.故答案为:【点睛】此题考查求集合的交集,根据已知集合求解,属于简单题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)【解析】

(1)先通过求得,再由得,和条件中的式子作差可得答案;(2)变形可得,通过裂项求和法可得答案.【详解】(1)①,当时,,,当时,②,①②得:,,适合,故;(2),.【点睛】本题考查法求数列的通项公式,考查裂项求和,是基础题.18、(1)降低(2)【解析】

(1)计算出罚金定为10元时行人闯红灯的概率,和不进行处罚时行人闯红灯的概率,求解即可;(2)闯红灯的市民有80人,其中类市民和类市民各有40人,根据分层抽样法抽出4人依次排序,计算所求的概率值.【详解】解:(1)当罚金定为10元时,行人闯红灯的概率为;不进行处罚,行人闯红灯的概率为;所以当罚金定为10元时,行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低;(2)由题可知,闯红灯的市民有80人,类市民和类市民各有40人故分别从类市民和类市民各抽出两人,4人依次排序记类市民中抽取的两人对应的编号为,类市民中抽取的两人编号为则4人依次排序分别为,,,,,,,,,,,,共有种前两位均为类市民排序为,,有种,所以前两位均为类市民的概率是.【点睛】本题主要考查了计算古典概型的概率,属于中档题.19、(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】

(1)首先对函数求导,再根据参数的取值,讨论的正负,即可求出关于的单调性即可;(2)首先通过构造新函数,讨论新函数的单调性,根据新函数的单调性证明.【详解】(1),令,则,令得,当时,则在单调递减,当时,则在单调递增,所以,当时,,即,则在上单调递增,当时,,易知当时,,当时,,由零点存在性定理知,,不妨设,使得,当时,,即,当时,,即,当时,,即,所以在和上单调递增,在单调递减;(2)证明:构造函数,,,,整理得,,(当时等号成立),所以在上单调递增,则,所以在上单调递增,,这里不妨设,欲证,即证由(1)知时,在上单调递增,则需证,由已知有,只需证,即证,由在上单调递增,且时,有,故成立,从而得证.【点睛】本题主要考查了导数含参分类讨论单调性,借助构造函数和单调性证明不等式,属于难题.20、(1);(2)【解析】

(1)由,利用正弦定理转化整理为,再利用余弦定理求解.(2)根据,利用两角和的余弦得到,利用数形结合,设,在中,由正弦定理求得,在中,求得再求解.【详解】(1)因为,所以,即,即,所以.(2)∵,.所以,从而.所以,.不妨设,O为外接圆圆心则AO=1,,.在中,由正弦定理知,有.即;在中,由,,从而.所以.【点睛】本题主要考查平面向量的模的几何意义,还考查了数形结合的方法,属于中档题.21、(1);(2).【解析】

(1)由正弦定理化简已知等式可得sinBcosA﹣sinAsinB=1,结合sinB>1,可求tanA=,结合范围A∈(1,π),可得A的值;(2)由已知可求C=,可求b的值,根据三角形的面积公式即可计算得解.【详解】(1)∵bcosA﹣asinB=1.∴由正弦定理可得:sinBcosA﹣sinAsinB=1,∵sinB>1,∴cosA=sinA,∴tanA=,∵A∈(1,π),∴A=;(2)∵a=2,B=,A=,∴C=,根据正弦定理得到∴b=6,∴S△ABC=ab==6.【点睛】本题

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