ANSYS平面问题的有限单元法

平

面

问

题

的

有

限

单

元

法2007年10月T日2023/11/3Lb-1>

用有限元法对结构进行应力分析时，首先要将结构进行

离散化.即将一个连续体看成由有限个单元组成的体系.

弹性力学平面问题中最常见的单元是三角形单元.>所有作用在单元上的载荷都按静力等效的原则移置到

结点上，并在受几何约束的结点处设置相应的铰支座.这

样就得到了用以代替原来弹性体的有限单元计算模型.

年11/

0月1日

Lb-2313020220结

构

的

离

散

化Procedure取一个典型的三角形单元进行力学分析.在有限单元位

移法中，假设结点上的位移是基本未知量.为了能用单元

的结点位移表示单元中的应变和应力分量，必须假定一

个

位

移

模

式

，

也

就

是

说

根

据

单

元

的

结

点

位

移

去

构

造

单

元

上的位移插值函数.

年11/

0月T日

Lb-331/72023200位

移

模

式位移

模

式

(

续

)工Lb-42007F102023/11/3月1y采用线性插值，即假定单元上的位移分量是坐标

z

数

：

+d₃y

2=64

十

065Z

它们可以由结点位移确定如

下：ui=G₁十

dzx;+a₃y;u;==G₁+azx;+d₃y;x函位

移

插

值

函

数un

=01

+G₂Tm+63Jm2007F10

月1日2023/11/3Lb-5位

移

模式

<

续

>联

立

求

解

上述方程，

可得：(7、e

)D:2:

—

)…?F

十

Cmμm)十

a,u;+dmLm)2007年10月1日2023/11/3Lb-6位

移

模式

<

续

>是三角形ijm的面积.2007年10月1日2023/11/3其

中

：而

：Lb-7r)是可

以得到

：

+

x+

cy)u,+(a;+by

+c;y)u;+(am+bmx+Cmy)um]中十

b;x

十

c;y)

(i,j,m)理位

移

模式

<

续>其同ANSYS2007F102023/11/3于月T日Lb-8

ANS

位移模式

<续

>可以将位移模式改写为矩阵模式：=[N;I2001F10月1日2023/11/3N;l

NI]{8}°=[N]{8}

·Lb-9

ANSYS

单元中的应

变

和

应

力ModuleObjective有了单元的位移模式，就可以借助平面问题的几何和物理方程，导出用单于的结点位移表示单元中的应变和应力分量的公式.2007年10月T日2023/11/3由

：Lb-10或简写为：(e}

[B]

{δ}°

年11/

0月1日

Lb-

11312023200

ANSYS单

元中的

应

变

和

应

力

<

续

>得

到

：单元中的应

变

和

应

力

<

续

>将

应

变

代

入

物

理

方

程

：{o}=

[D][B][δ]°即为用单元中的结点位移表示单元中应力的关系式.

年11/

0月1日

Lb-

12313020220可：单元中的应变

和

应

力

<

续>式中[D]为弹性矩阵，对于平面应力问题，矩阵为：ANSYS2007年10月T日2023/11/3Lb-13·我们已经知道由各个单元的位移模式就形成了整个结

构的位移模式.按弹性力学最小势能原理，结构中最接近

于真实解的位移应该是使结构总势能取得最小值的那

组

位

移

函

数

.·由于在位移函数公式中，结点位移为自变量，这样就使一

个泛函的极值问题变为一个多元函数的极值问题.为此

我们来讨论单元的总势能关于结点位移的表达式.·

每

一

个

单

元

的

总

势

能

由

该

单

元

的

应

变

能

以

及

此

单

元

上

所有外力的势能组成.

年11/

0月1日

Lb

元

的

总

势

能平面应力状态下，

设物体厚度为h,则单元中的应变能为：单

元

的

应

变

能2007年10月T日2023/11/3Lb-15单

元的应

变

能

〔

续

〕将{ε}和[Bi]代入上式，应用矩阵相乘的转置的逆序法则，注

意

到

弹

性

矩

阵[D]的对称性，有：2007年10月1日2023/11/3Lb-16单元的

应

变

能

〔

续

〕因为

矩阵[B]

及

[D]的元素都是常量，所以可记：

hA[B]?FD

B2007年10月T日2023/11/3Lb-17单元

的应

变

能

(

续

)从而单元的应变能可写为

：利用{ɛ

}=

[B]{δ}e,有

：B;

Bm]2007年10月T日2023/11/3Lb-18单

元的

应

变

能

〔

续

〕注意到[B]=[BiBj

Bm],记子矩阵Kr,]2×2

hA[B,]^[D][B.](r,s

7l22007+

10月1日2023/11/3Lb-19物

体中

常

见的

体

力

为

旋

转

离心

体

力

和

重

力

.

在

平

面问

题中，

体积力在z

轴

方向的

分

力

为

零，

设

单

元

体

积中的

体

积

力

为

：单元

上

体

积

力的势能

NNSYS单元上

体

积

力

具

有的

势能

为

：2007年10月1日2023/11/3DefinitionLb-20设物体边界上一单元某边上受到表面力的作用，单位长度上所受到的表面力为：单

元

上

表

面

力的势

能

年11/

0月T日

Lb-2131/72023200

NNSYS则单元上表面力的势能为：

ANSYS

单

元

节点

上

集中力的

势

能如果弹性物体受到集中力{R}e

的作用，通常划分单元网格

时都在集中力的作用点设置结点.设某单元3个结点上

所受到的集中力为：于是该单元上集中力的势能是：—{6}{R}20

1

/3月1日Lb-22·

综

合

前

面的

几

种

情

况，

可以

得到

单

元中

的

总

势

能

为

：单元中

的总势能2007年10月1日2023/11/3Lb-23·分别引进单元体积力，表面力，集中力向量如下：

年11/

0月1日

Lb-24313020220单

元

中

的

总

势

能

单

元中的总势能·则单元中的总势能可以表示为：r=2(6}²[k]{ó)-{6}⁴({P}*+{Q}*+{R}*)

0月1日

Lb-253111/#3/0120220·把各单元的总势能叠加起来，就可得到整个弹性体的总

势能.为了便于叠加和归并，需将单元刚度矩阵表达式

<2-18>作适当的改写.·

假

设

结

构

离

散

化

后

共

有n

个

结

点

，

将

编

号

为

1

的

结

点

位

移

记

为

：·

则

结

构

的

结

点

位

移

向{ð}

2

δ.]²●

是一个2n维的列向量.

年11/

0月T日

Lb-2631/72023200物

体

中

的

总

势

能物

体中的

总

势

能

〔

续

〕·

可将单元刚度矩阵式用补零的办法由6X6

的矩阵扩大到2nX2n

的矩阵2007年10月T日2023/11/3Lb-27物体

中

的总

势

能

(

续

)如

果

在

物

体

上

划

分

的

单