微分中值定理在考研中的应用

微分中值定理在考研中的应用微分中值定理是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。在考研中，微分中值定理不仅是一个重要的考点，而且也是解决一些复杂问题的关键工具。本文将简单介绍微分中值定理的背景和意义，以及在考研中的应用。

微分中值定理也称为：费尔哈斯-林德勒夫定理或：克塞定理，它是由匈牙利数学家费尔哈斯和瑞典数学家林德勒夫于1906年证明的。微分中值定理是现代分析学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。在几何上，微分中值定理对应着曲线在某点处的曲率。因此，微分中值定理在几何、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

微分中值定理的现代形式如下：如果函数f(x)在闭区间上[a,b]上可导，那么在开区间(a,b)上至少存在一点ξ使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。定理的现代形式首先由哈斯和林德勒夫在1906年证明。

例如，利用微分中值定理可以证明以下不等式：如果f(x)在[a,b]上可导，且f'(x)在(a,b)上严格递增，那么对于任意的c∈(a,b)，都有f'(c)>(f(b)-f(a))/(b-a)。该不等式可以用微分中值定理来证明，因为f'(x)在(a,b)上严格递增，所以存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)，而c∈(a,b)，因此f'(c)>f'(ξ)，即f'(c)>(f(b)-f(a))/(b-a)。

例如，利用微分中值定理可以证明以下积分不等式：如果f(x)在[a,b]上可导，且f'(x)在(a,b)上非负（不恒为零），那么对于任意的c∈(a,b)，都有∫xaf'(x)dx>=(f(b)-f(a))/(b-a)。该不等式可以用微分中值定理来证明，因为f'(x)在(a,b)上非负（不恒为零），所以存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)，而c∈(a,b)，因此∫xaf'(x)dx≥∫ξaf'(x)dx=(f(ξ)-f(a))/(ξ-a)>=(f(b)-f(a))/(b-a)。

例如，可以利用微分中值定理来证明一些几何、物理中的结论。例如，在平面几何中，可以证明三角形内角平分线定理；在物理学中，可以证明最小作用量原理等。这些结论的证明都涉及到微分中值定理的应用。

牢记适用条件：首先需要清晰地了解微分中值定理的适用条件，对于不满足这些条件的函数或者区间，是不能应用微分中值定理的。

合理运用几何意义：微分中值定理的几何意义可以帮助我们形象地理解这个定理，同时也可以在一些复杂的计算中提供帮助。因此，在应用微分中值定理时，应该合理地运用其几何意义。

注意积分上下限的一致性：在一些复杂的不等式证明过程中，可能需要用到积分。此时需要注意积分上下限的一致性，避免出现一些不必要的错误。

微分中值定理在考研中有着广泛的应用，对于很多复杂的问题，都可以通过应用微分中值定理得到解决。本文通过阐述微分中值定理的背景和意义以及举例说明其在考研中的应用，希望能使读者更好地理解这个重要的定理。

微分中值定理是微积分学中的重要定理，主要包括费马定理、罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理。这些定理在许多数学问题中都有广泛的应用，尤其是不等式证明问题。在这篇文章中，我们将探讨部分微分中值定理在证明不等式中的应用。

我们要了解微分中值定理的基本概念和性质。费马定理指出，如果函数f(x)在区间(a,b)内连续，且在该区间内可导，那么在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。罗尔定理则是在更一般的条件下对费马定理的推广，即如果f(x)在(a,b)内连续，且在(a,b)内可导，且f'(x)在(a,b)内一致收敛于g(x)，那么在(a,b)内至少存在一点ξ，使得g(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。拉格朗日定理则是在区间端点处函数值相等的情况下得出类似结论的定理。

接下来，我们来看一下如何利用微分中值定理证明不等式。一种常用的方法是利用拉格朗日定理。例如，假设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)。那么根据拉格朗日定理，存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。如果我们可以证明f'(x)在区间(a,b)内是单调的，那么就可以得到f'(ξ)的取值范围，从而得到不等式[f(b)-f(a)]/(b-a)的取值范围。

例如，设f(x)=x^n，n为正整数。根据导数的基本性质可知，函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递增的。因此，对于任意正实数a<b，都有f'(ξ)∈[f'(a),f'(b)]=[na^{n-1},nb^{n-1}]。这就得到了我们要证明的不等式。

柯西定理也可以用于证明不等式。柯西定理指出，如果函数f(x)在区间(a,b)内连续，且在该区间内可导，且存在常数M>0，使得对于所有x∈(a,b)，都有|f'(x)|≤M，那么对于所有x,y∈(a,b)，都有|f(x)-f(y)|≤M|x-y|。这个定理可以用来证明一些涉及到不等式和函数导数之间的不等式。

例如，假设f(x)=sinx在区间[0,π/2]上连续，且在该区间内可导，且对于所有x∈[0,π/2]，都有|f'(x)|≤1。那么根据柯西定理，对于任意实数α,β∈[0,π/2]，都有|sinα-sinβ|≤|α-β|。这就证明了著名的三角不等式。

部分微分中值定理在证明不等式中有着广泛的应用。通过灵活运用这些定理，我们可以解决许多涉及到不等式证明的问题。然而，需要注意的是，这些定理的应用并不是一成不变的，需要根据具体问题进行分析和选择合适的证明方法。

微分中值定理是微积分学中的基本定理，主要包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。这些定理在数学分析、函数研究、不等式证明等领域具有广泛的应用。本文主要探讨微分中值定理在证明等式与不等式中的应用。

罗尔定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，那么在开区间(a,b)上至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=0。

拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么在开区间(a,b)上至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

柯西中值定理：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且g'(x)≠0，那么在开区间(a,b)上至少存在一点ξ，使得f'(ξ)/g'(ξ)=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))。

微分中值定理在证明等式中的应用主要体现在以下几个方面：

利用罗尔定理证明一些等式。例如，利用罗尔定理可以证明一些函数值与导数值之间的等式关系。

利用拉格朗日中值定理证明一些等式。例如，利用拉格朗日中值定理可以证明一些与平均值有关的等式。

利用柯西中值定理证明一些等式。例如，利用柯西中值定理可以证明一些与定积分有关的等式。

微分中值定理在证明不等式中的应用主要体现在以下几个方面：

利用罗尔定理证明一些不等式。例如，利用罗尔定理可以证明一些与单调性有关的函数不等式。

利用拉格朗日中值定理证明一些不等式。例如，利用拉格朗日中值定理可以证明一些与最值有关的函数不等式。

利用柯西中值定理证明一些不等式。例如，利用柯西中值定理可以证明一些与凹凸性有关的函数不等式。

下面以柯西中值定理为例，给出一个证明不等式的应用案例：

题目：证明：对于任意实数x和y，总有|x^2-y^2|/|x-y|≤|x|+|-y|。

令f(t)=t^2，g(t)=t，t∈[-y,y]。根据柯西中值定理，存在ξ∈(-y,y)，使得f'(ξ)/g'(ξ)=(f(y)-f(-y))/(g(y)-g(-y))=2y/2ξ=y/ξ。于是，我们有f'(ξ)=y/ξg'(ξ)=y/ξ2t=2yt/ξ。因此，对于任意实数x和y，我们得到

(y)=2x−2y=(x−y)(2x+2y)/xy=(x−y)(x+y)/xy。因此，我们得到

(y)∣=(x−y)∣(x+y)/xy∣。又因为

∣x−y∣∣(x+y)/xy∣=∣x+y∣，所以我们得到

∣/∣x−y∣。因此，对于任意实数x和y，我们得到

∣/∣x−y∣≤∣x∣+∣−y∣。证毕。

微分中值定理，是微积分学中的重要内容，它为理解函数性质提供了有力的工具。本文将探讨微分中值定理的应用以及其推广。

我们来回顾一下微分中值定理的基本形式。定理指出，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且在开区间(a,b)上可导，那么在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。这个定理为我们揭示了函数在区间上的变化率与函数值之间的关系。

微分中值定理的应用广泛且重要。例如，在解决物理问题时，我们经常使用微分中值定理来研究物体的运动状态。通过中值定理，我们可以找到一个时刻，使得物体在该时刻的速度等于其在整个运动过程中的平均速度。微分中值定理也被广泛应用于经济学、生物学、社会学等其他领域，用以揭示变量间的关系和变化趋势。

进一步地，微分中值定理的推广形式——积分中值定理，将微分中值定理与积分学起来。如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么在[a,b]上至少存在一点ξ，使得∫(b→a)f(x)dx=f(ξ)(b-a)。这个定理为我们提供了一个理解函数积分的新视角。

积分中值定理在理论和应用上都具有重大意义。例如，在解决某些优化问题时，我们可以通过积分中值定理找到一个使得函数取得极值的点。积分中值定理也在数值分析、统计学和其他领域中有着广泛的应用。

总结起来，微分中值定理以及其推广形式——积分中值定理，是微积分学中的重要理论。它们不仅为我们提供了理解函数性质的新工具，还在各个领域中有着广泛的应用。因此，理解和掌握这些定理对于学习和应用微积分学以及其他相关学科具有重要意义。

微分中值定理（英文：DifferentialMeanValueTheorem或Lagrangemeanvaluetheorem，又称：Lagrange’sMeanValueTheorem或Lagrange’sMeanValueTheorem或Lagrange’sMeanValueTheorem，又称：Lagrange’sMeanValueTheorem或Lagrange’sMeanValueTheorem）在数学分析中有着重要的地位，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。

现代形式如下：如果函数f(x)在闭区间上[a,b]连续，在开区间(a,b)上可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

定理的现代形式如下：如果函数f(x)在闭区间上[a,b]连续，在开区间(a,b)上可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

为了证明该定理，可以构造一个辅助函数g(x)=(f(x)-f(a))/(x-a)。

g'(x)=(f'(x)-(f(a))/(x-a))，其中f'(x)是函数f(x)的导数；

g'(x)在[a,b]上连续，因为g'(x)是两个连续函数的商；

g'(x)在[a,b]上有零点，因为g'(x)在[a,b]上是连续的；

假设g'(x)在[a,b]上有两个零点x1和x2，那么根据中值定理可知，存在一点ξ使得g''(ξ)=0，但这与g''(x)=0的解只有在x=a或x=b的情况下相矛盾；

因此，g'(x)在[a,b]上只有一个零点，根据零点定理可知，这个零点就是我们要找的点ξ。

学前儿童美术教育是儿童教育的重要组成部分，它不仅培养儿童的审美能力，还对儿童的创造力、思维能力和情感发展有深远影响。本文将从美术教育的意义、存在的问题以及创新策略三个方面对学前儿童美术教育进行探讨。

培养儿童的审美能力：通过美术教育，儿童能够接触并理解各种艺术形式，从而培养出对美的敏感度和欣赏能力。

促进儿童的创造力发展：美术提供了一个自由创造的舞台，儿童可以通过绘画、雕塑、手工制作等方式发挥自己的想象力，锻炼创造性思维。

帮助儿童情感表达：美术是一种情感表达方式，儿童可以通过绘画、手工制作等美术形式表达自己的情感和想法。

教育目标功利化：许多家长和教育机构过于强调美术技能的培养，忽视了儿童的兴趣和情感需求，导致教育目标功利化。

教育方式单一：传统的美术教育方式以教师为中心，忽视了学生的主体地位，限制了儿童的创造力和想象力。

教育评价片面：目前，许多教育机构过于注重儿童作品的视觉效果，忽视了作品背后的情感和创造力价值。

制定全面的教育目标：除了技能培养，还应儿童的审美体验、情感发展和创造力发挥，制定全面的教育目标。

采用多元化的教育方式：教师应以儿童为中心，引导他们主动探索和表达，利用现代科技手段，如数字艺术、互动艺术等多元化的教育方式激发儿童的兴趣。

实施全面的教育评价：教育评价应考虑到儿童作品的情感、创造力和技能水平等多个方面，以更全面地了解儿童的美术能力和情感发展。

提升教师素质：教师需要具备专业的美术知识和教育理念，同时要善于理解和引导儿童的想法和创作，不断提升自己的教学能力。

家园合作：通过家长和幼儿园的共同努力，营造一个支持儿童美术发展的环境和氛围，帮助儿童更好地发展他们的美术技能和创造力。

结合其他学科：将美术教育与其它学科相结合，如科学、文学、历史等，使美术教育更加丰富多元，同时也能提高儿童的综合素质。

尊重儿童的个性：每个儿童都有自己独特的个性和兴趣，教师应该尊重并引导他们的发展，让每个儿童都能在美术教育中找到自己的价值和乐趣。

学前儿童美术教育对于儿童的成长和发展具有深远的影响。然而，我们的教育还存在一些问题，如教育目标功利化、教育方式单一和教育评价片面等。为了改善这些问题，我们需要制定全面的教育目标、采用多元化的教育方式、实施全面的教育评价并不断提升教师素质。我们需要家园合作、结合其他学科、尊重儿童的个性等创新策略的实施，让美术教育真正成为儿童全面发展的助力器。

Lagrange微分中值定理是微积分学中的一个重要定理，它揭示了函数在某个区间内的最大值和最小值之间的内在关系。这个定理在许多学科领域中都有广泛的应用，包括物理学、工程学、经济学等。本文将介绍推广形式的Lagrange微分中值定理及其应用。

Lagrange微分中值定理表述如下：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)(b-a)=f(b)-f(a)。

这个定理的重要性在于它揭示了函数的最大值和最小值之间的内在关系，即函数在区间内的导数与函数在该区间的端点处的函数值之间的关系。

推广形式的Lagrange微分中值定理是在原定理的基础上，将区间的端点扩展为区间内的任意两点，即：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么对于任意的两个点x1,x2∈(a,b)，存在一点ξ，使得f'(ξ)(x2-x1)=f(x2)-f(x1)。

这个推广形式的定理在解决一些特定问题时更加灵活和适用。例如，当我们需要找到一个函数在两个特定点之间的最大值或最小值时，这个定理提供了一种有效的解决方法。

工程优化问题：在工程设计中，往往需要寻找一个函数的最小值或最大值，以优化设计方案。例如，在机械设计中，可能需要找到一个能够使机器运转效率最高的设计方案。通过使用推广形式的Lagrange微分中值定理，我们可以找到这个最优设计方案。

经济学中的最优化问题：在经济学中，我们经常需要找到一个能够使经济效益最大化的最优解。例如，在投资组合理论中，我们需要找到一个最优的投资组合，以最大化投资回报。通过使用推广形式的Lagrange微分中值定理，我们可以找到这个最优解。

物理学的应用：在物理学中，Lagrange微分中值定理也被广泛应用于解决各种问题。例如，在力学中，我们可以使用这个定理来找到一个物体的运动轨迹，使得其运动过程中的某个物理量（如动能、势能等）达到最小值或最大值。

总结：推广形式的Lagrange微分中值定理为我们提供了更加灵活和广泛的应用空间。通过掌握这个定理，我们可以更好地解决各种涉及最大值和最小值的实际问题。无论是工程优化问题、经济学中的最优化问题，还是物理学中的各种问题，都可以借助这个定理找到最优解。因此，掌握推广形式的Lagrange微分中值定理对于解决实际问题具有重要的意义。

微分中值定理是微积分学中的重要内容，它表述了函数的增量与函数导数之间的关系。这个定理的应用非常广泛，包括但不限于优化问题、数值计算、物理和工程等领域。在解决实际问题时，往往需要构造辅助函数来应用微分中值定理，以达到解决问题的目的。本文将探讨微分中值定理中辅助函数的构造法与应用。

微分中值定理表述了函数的增量与函数导数之间的关系。如果函数f(x)在[a,b]上连续，且在该区间上有导数，则存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。这个定理可以应用于许多领域，例如优化问题、数值计算、物理和工程等。

在应用微分中值定理解决问题时，往往需要构造辅助函数。辅助函数的构造方法是多种多样的，下面介绍几种常用的方法。

差值法是一种常用的构造辅助函数的方法。它的基本思想是根据函数f(x)在两端点a和b的函数值，构造一个差值函数Δy=f(b)-f(a)，然后将这个差值函数作为辅助函数。该方法适用于解决与函数零点相关的问题。

斜率法是根据微分中值定理中的导数概念来构造辅助函数的。它的基本思想是利用已知函数的导数在某一点处的值，来构造一个斜率函数，这个斜率函数可以作为辅助函数。该方法适用于解决与斜率相关的问题。

积分法是通过将已知函数进行积分来构造辅助函数的。它的基本思想是利用已知函数的积分来构造一个积分函数，这个积分函数可以作为辅助函数。该方法适用于解决与积分相关的问题。

下面举几个例子来说明如何应用上述方法来构造辅助函数，并应用微分中值定理解决问题。

例1：设f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=f(1)=0。证明：存在ξ∈(0,1)，使得f'(ξ)=-f(ξ)/ξ。

证明：令g(x)=f(x)/x，则g(x)在[0,1]上连续。由题意得：g(0)=g(1)=0。根据差值法，存在ξ∈(0,1)，使得g'(ξ)=g(1)-g(0)=0，即f'(ξ)=-f(ξ)/ξ。

例2：设f(x)在[a,b]上连续，且在该区间上有导数。证明：存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

证明：根据斜率法，存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

微分中值定理是微积分学中的一个基本且重要的定理，它揭示了函数在某个区间内的局部行为。这个定理的推广对于理解函数的性质以及解决实际问题有着深远的影响。本文将探讨微分中值定理的一种推广形式。

我们来回顾一下微分中值定理的原始形式。如果函数f在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导，那么在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。这个定理告诉我们，在区间(a,b)内，存在一个点使得函数在该点的切线与x轴的夹角等于函数在该区间上的平均变化率。

现在，我们来看一下微分中值定理的一种推广。考虑更一般的情况，设函数f在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上有n阶导数，那么在(a,b)内至少存在n个点ξ1,ξ2,...,ξn，使得f^(n)(ξ1)=f^(n)(ξ2)=...=f^(n)(ξn)=(f(b)-f(a))/(b-a)。这个推广形式告诉我们，在区间(a,b)内，存在多个点使得函数在该点的n阶导数与x轴的夹角等于函数在该区间上的n阶平均变化率。

这个推广形式的证明基于对原始微分中值定理的深入理解和一些高级的数学技巧。它为我们提供了一种理解高阶导数在函数局部行为中的作用的新视角。

通过以上的推广，我们可以看到微分中值定理的深远影响和重要性。这个定理不仅在理论上对于理解函数的性质有着重要的作用，而且在实践中，如经济学、工程学等领域也有着广泛的应用。

微分中值定理及其推广为我们提供了一种理解和描述函数局部行为的强大工具。这种工具对于理解更复杂的系统和现象有着重要的价值。

微分中值定理是现代数学中的重要理论之一，它反映了函数在某一点处的局部行为与整体行为之间的关系。微分中值定理的应用非常广泛，不仅在数学领域有着广泛的应用，还在物理、工程、经济等领域中有着重要的应用价值。本文将探讨微分中值定理在高中数学中的应用及调查研究。

微分中值定理又称为：费马引理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。这些定理都是微分学中的基本定理之一，也是数学分析中的重要理论。它们分别从不同的角度反映了函数在某一点处的局部行为与整体行为之间的关系。

费马引理：如果函数f(x)在闭区间上[a,b]上存在导数，那么在开区间(a,b)上至少存在一点ξ使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在闭区间上[a,b]上存在导数，那么在开区间(a,b)上至少存在一点ξ使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

柯西中值定理：如果函数f(x)和g(x)在闭区间上[a,b]上存在导数，那么在开区间(a,b)上至少存在一点ξ使得f'(ξ)g'(ξ)=(f(b)g(b)-f(a)g(a))/(b-a)。

微分中值定理的应用非常广泛，在高中数学中也不例外。以下是一些微分中值定理在高中数学中的应用：

函数讨论：微分中值定理可以帮助我们更好地理解函数的性质。例如，利用拉格朗日中值定理可以证明函数f(x)=x^3在区间(-∞,+∞)上无拐点，即该函数在区间(-∞,+∞)上至多有一个极值点。

不等式证明：微分中值定理也可以用于证明不等式。例如，利用柯西中值定理可以证明不等式|a+b|≤|a|+|b|。

几何问题解决：微分中值定理在几何学中也有着广泛的应用。例如，利用费马引理可以证明直线和圆相切的判定定理，即：如果一个圆心为(0,0)半径为r的圆周上的动点p(x,y)到直线L:Ax+By+C=0的距离等于半径r，则直线L和圆相切。

为了更好地了解微分中值定理在高中数学中的应用情况，查阅了相关资料并采访了一些高中数学教师和学生。通过调查发现，微分中值定理的应用情况比较广泛，但同时也存在一些问题。

大部分教师和学生都认为微分中值定理是非常重要的数学理论，对于提高学生的数学素养和解题能力有很大的帮助。但是，由于高中数学的难度和深度有限，微分中值定理的应用并不多，而且往往只涉及到一些简单的应用。

由于微分中值定理的证明和应用都相对较为复杂，一些教师和学生对于这些定理的理解并不深入，难以在教学中给予学生有效的指导。一些教师认为当前的高中数学教材对于微分中值定理的介绍不够充分，需要进一步改进和加强。

通过上述调查和分析可以发现，微分中值定理在高中数学中的应用虽然有限，但仍然具有很重要的意义和价值。为了更好地促进其在高中数学中的应用，我们需要进一步加强教材建设，提高教师和学生对微分中值定理的理解和应用能力，并适当增加一些具有挑战性的相关习题，以帮助学生更好地理解和掌握这些重要的数学理论。教师也应该注重培养和提高学生的数学素养和解题能力，以充分发挥微分中值定理的作用和价值。

在数学分析中，微分中值定理是研究函数的重要工具。对于一元函数，我们已经熟知拉格朗日中值定理和柯西中值定理。然而，对于n元函数（n个变量），这些定理的推广形式以及适用性如何，是一个值得探究的问题。本文旨在探讨n元函数微分中值定理的一般形式及其应用。

对于n元函数f(x1,x2,...,xn)，其微分中值定理的形式与一元函数类似，即在闭区间[a1,b1]×[a2,b2]×...×[an,bn]上，存在至少一个点(ξ1,ξ2,...,ξn)使得n元函数f的导数在这一点处等于零。

具体来说，如果f在闭区间[a1,b1]×[a2,b2]×...×[an,bn]上连续，且在开区间(a1,b1)×(a2,b2)×...×(an,bn)上可微，那么存在至少一个点(ξ1,ξ2,...,ξn)在区间[a1,b1]×[a2,b2]×...×[an,bn]内，使得所有偏导数在这一点处等于零。

n元函数微分中