琴律的数学表述上

琴律的数学表述上

用严格的数学形式来表达钢琴，是钢琴研究现代化的必要前提。琴律规范的数学表述,应当涉及徽位按音、徽位泛音、徽间音位,以及与琴调相关的定弦法。本文侧重讨论定弦过程的数学表述。一、散声方程的建立在定弦过程中,一次又一次要求某两弦奏出的音律相等。用数学形式来表述这过程,就是一次又一次建立这样的数学方程:在甲弦所奏音的相对波长=在乙弦所奏音的相对波长等号两端都可分解,表述为两个数值的乘积:甲弦散声的相对波长×在甲弦所用的相对弦长=乙弦散声的相对波长×在乙弦所用的相对弦长而某弦散声的相对波长则可用一种代号来表示:在方括号内写某弦的弦序号。于是,方程呈现为如下形式:[甲弦序号]×在甲弦所用的相对弦长=[乙弦序号]×在乙弦所用的相对弦长假如在甲弦奏音时,所奏的是散声,所用的相对弦长就是1,这“×1”可以省略不写。于是,方程形式可能简化为:[甲弦序号]=[乙弦序号]×在乙弦所用的相对弦长等号两端可自由对调。假如在甲弦用散声奏出的音比乙弦所奏的音低八度(同名倍律),这时,两音相对波长不相等,尚未具备建立等式的条件。为了能建立等式,须在奏出倍律那弦的弦序方括号之后添写“×12”。“×12”。这也相当于在甲弦七徽取泛音,而与乙弦所奏音律相等。这时建立的方程具有如下形式:[甲弦序号]×12=[乙弦序号]×在乙弦所用的相对弦长等号两端仍可自由对调。在列举具体实例之前,先对以上提到的若干概念细加说明:相对弦长、相对波长、弦序方括号。二、音所对应的韵律定弦过程所用的相对弦长,都与徽位相关。在徽位取音的方式又分为按音与泛音两类。徽位按音与相对弦长的对应关系,老前辈查阜西先生、杨荫浏先生在论著中早已阐明。本文采取归类分行的书写格式来列表。同时,以一弦散声奏C为模型,在徽序号上方用五线谱音符表明各徽位按音所对应的音律,凡与国际通用平均律律制有差异的音律,都在音符顶上附注校正值,其单位名称是“平均律全音”。校正值都取两位小数,“+”表示应高,“-”表示应低。—弦散声奏C条件下,各徽位按音的相对弦长与相对音高互相对照:在徽位奏泛音时,左手手指触点以右的弦段,有可能表面看来很长(它在表面上总是跟按音的振动段一样长),而实际振动状态中每一振动段的长度都仅仅是它的几分之一。因此,当我们列表表明各徽位泛音所对应的相对弦长时,不登记表面长度,只依据实际振动状态中的每段长度。—弦散声奏C条件下,各徽位泛音的相对弦长与相对音高互相对照:上列两表内所记的音符,旨在借助固定音位来表明各徽位按音、泛音与散声的相对关系。各音符的音程距离才是着眼点所在。当散声变迁时,所有的徽位按音、泛音都应随之变迁,按同样的音程移高或移低,而它们相互间的音程距离则保持不变。三、相对波长的定义琴律的整套音系,我们提倡用相对波长来表述,目的是使音系的数理逻辑结构得到明白的揭示。假如采用频率来表述,就把这逻辑结构全都遮掩了。怎样得到某音律的相对波长数值?浅显地讲:假如某音律等于在正调一弦按某处所奏出的音律,那末这处的相对弦长数值就是这音律的相对波长数值。例如,正调四弦散声的音律(G+.01)等于在正调一弦按九徽所奏出的音律,那末这处的相对弦长数值23就是这音律的相对波长数值。这解释虽然浅显,还不能算相对波长的科学定义。科学定义是:某音律的相对波长=某音律的振动周期正调一弦散声的振动周期按这定义,正调一弦散声自身的相对波长就已被确认为1。现在来思考其他各音律的相对波长。按当代习惯,已设定正调一弦散声的音高是国际通用的大字组C,其频率约为65.41,这是一个无理数的近似值。但在对琴律作理论思考时,不妨取整数为出发点,设想大字组C的频率为64(物理学高度)。在结合实际进行计算时,可仍取通用律制的65.41。在设定正调一弦散声频率的前提下,同时把振动周期表述为振动频率的倒数,上述定义可变形为:某音律的相对波长=1某音律的频率1C的频率=C的频率某音律的频率只要议定琴律研究工作所宜的大字组C的频率,利用这关系式,根据任何音律的频率都可算出它的相对波长。逆转过来,若要由某音律的相对波长数值推算相应的频率数值,可利用如下公式:现在问:如何根据相对波长数值推算相应的相对音高全音数?倘若把相对音高全音数定义为比C(正调一弦散声)高或低的全音数,取其正值表示高于,取其负值表示低于,那末,可利用如下公式来推算:例如:用这公式推算,正调一弦散声的相对音高数值就确定为0,因为lg1=0。为提高科研工作效率,可把相对波长、相对音高、频率三种数值的对应关系制成对照表,并把相对音高数值转换成五线谱音符附注校正值的形式,供随时查阅。四、散声相对波长上文提到的弦序方括号,有两重意义:方括号里写出的汉字,表明它的地址含义,而能跟这方括号以等号相联结的相对波长,则是它的算术数值。为什么要有这样两重意义呢?每一个方括号的职能在于表明某弦散声的相对波长,它的书面形式是一个代数符号。在建立方程的过程中,就要用一个个这样的代数符号,它们的汉字字样使我们能把它们彼此区别。在解方程的过程中,它们的用途就跟X、Y、Z这些字母一样。一旦方程组全都解出,每个代数符号就能明确地等于某个相对波长数值,这就是它所获得的算术数值意义,每个数值也就告诉我们,某个散声的相对波长是什么。这时我们当然要问:这数值是哪条弦的散声相对波长呢?好比我当邮差,手里拿着一封封不同内容的信,我得弄清楚,每封信要送到哪个地址。这时,方括号里的汉字就好比信封上写的地址,照这地址送,就不会错了。每个汉字是一个弦序号,它告诉我,解得的这个相对波长数值是哪条弦的散声相对波长。每回解完一组方程,只要按汉字弦序号从左到右排序,把算得的相应相对波长也从左到右写在空白五线谱下方,然后在五线谱上写出相应的音符附注校正值,我就能清楚地看出这一组定弦方案是什么样的了。五、关于所解的数值的解决方案以《五知斋琴谱》(编印于1721年)所载正调定弦过程为例,每引原著一句,即转译为一个数学方程,得如下6个方程并列的方程组:解方程从何处入手?虽然[一]最后才出现,求解时仍可依据[一]=1(即,正调一弦散声的相对波长为1)这一规范关系式,从含一弦方括号的方程开始解。以[一]=1代入第6式:[六]=[一]×12=1×12=12以[六]=12分别代入第2、第4两式。第2式∶[六]=[四]×3412=[四]×34[四]=12×43=23第4式∶[六]=[三]×2312=[三]×23[三]=12×32=34以[四]=23代入第1式:[七]=[四]×23=23×23=49以[七]=49分别代入第3、第5两式。第3式∶[七]=[五]×3449=[五]×34[五]=49×43=1627第五式∶[七]=[二]×1249=[二]×12[二]=49×2=89至此,解方程已告完成。现在可把各弦按序号排列,登记所解得的数值,并推算出相应的相对音高数值,转换为音符附注校正值形式。排列顺序如何?在古琴上,弦序号较小的较低,弦靠外,反之靠里。现在设想我从演奏位置沿顺时针方向绕行90度,站在龙龈那一端来观看琴面各弦,七条弦的散声音律从低到高就取从左到右的空间布局。但是,正调定弦的律学内涵并非单一的,而是多义的,有若干不同的散声相对波长组合方案,互相貌似,都被称为“正调”。今天若要对“正调”这一概念达到完备的理解,必须对若干貌似组合方案的律学内涵分别作具体了解。至今可在《琴学入门》(刊印于1864年)读到正调另一种律学内涵的详细定弦步骤。仿照上一方案的行文格式,每引原著一句,即转译为一个数学方程,得如下6个方程并列的方程组:解方程从何处入手?仍依据[一]=1这一规范关系式,从含一弦方括号的方程开始解。以[一]=1代入第3式:以[五]=35分别代入第1、2、4、5四式。第1式:[六]=[五]×56[六]=35×56=12第2式:[七]=[五]×34[七]=35×34=920第4式:[二]×23=[五][二]×23=35[二]=35×32=910第5式:[三]×45=[五][三]×45=35[三]=35×54=34以[六]=12代入第6式:[四]×34=[六][四]×34=12[四]=12×43=23至此,解方程已告完成。在此有必要附带说明,为什么不取[四]×78=[五]这一方程。试用所解得的[四]=23与[五]=35分别代入这个方程,观察其结果如何。以[四]=23代入[四]×78=[五]23×78=[五][五]=712这与由第3式求得的35不一致。以[五]=35代入[四]×78=[五][四]×78=35[四]=35×87=2435这与由第6式求得的23不一致。可见,这一方程的加入会造成诸多矛盾。通过这番推算,我们也体验到,用数学方程及其求解剖析定弦过程,是揭露逻辑矛盾的捷径。现在可把各弦按序号排列,登记所解得的数值,并推算出相应的相对音高数值,转换为音符附注校正值形式。借助严格数学方法的剖析,我们不难作出如下判断:(1)上述两本古籍所传的两种正调定弦法,相异之处在第二、五、七弦。(2)从这三条弦音律的校正值(音律现象)看,可看出,《琴学入门》音律较低,校正值都是负值,《五知斋琴谱》音律较高,校正值都是正值。(3)从这三条弦音律的相对波长(音律本质)看,可看出,《琴学入门》的相对波长数值,分母都含5而分子都含3,含有“五分生律”与“三倍生律”两种因素,《五知斋琴谱》的相对波长数值,分母都含3,只含“三分生律”一种因素。(4)两者貌似音律的差异,是“普通音差”,其相对音高的差值是0.11全音,其相对波长的最简整数比是81∶80。六、散声音阶的两种方案与“正调”不同的定弦法,统称“外调”。外调可分为两大类。其中一类,七条弦的散声能排列成某一宫系的正规五声音阶。另一类则否。本文就前一范围,分析其中不同于正调的若干特异方程。据《风宣玄品》(辑于1539年)载:“蕤宾调:即今羽,此古无射应黄钟弦也,二律以五为宫,故散七应十一徽之五,紧五一徽。”这段文字讲到:今羽调是以五弦为宫的,定弦特点在“紧五弦”,且明确记载了定弦操作的关键步骤:散七应十一徽之五。把这一步转译为方程,就是:[七]=[五]×45我们注意到,这里的七弦散声相对波长,既可以按《五知斋琴谱》方案取49,也可以按《琴学入门》方案取920。按《五知斋琴谱》,以[七]=49代入:49=[五]×45,解得[五]=49×54=59。按《琴学入门》,以[七]=920代入:920=[五]×45,解得[五]=920×54=916。用这两个数值分别取代正调五弦的相对波长,我们就得到了“今羽调”(紧羽调、清羽调)散声音阶的两种方案如下:今羽调按《五知斋琴谱》接《风宣玄品》方案:今羽调按《琴学入门》接《风宣玄品》方案:《西麓堂琴统》(成书于1549年)卷二十载:“夹钟调:紧二、五、七各一徽,此夹钟弦也,俗谓清商调。按夹钟、姑洗以二为宫,故以散四应十一徽之二。”这段文字讲到,清商调是以二弦为宫的,定弦特点在“紧二五七弦”,并明确记载了定弦操作的关键步骤:以散四应十一徽之二。把这一步转译为方程,就是:[四]=[二]×45四弦散声的相对波长通常是23,只要以[四]=23代入:23=[二]×45,就可解得[二]=23×54=56。当然,在这同时还有早已熟悉的方程:[七]=[二]×12,可解得[七]=56×12=512。用这两个数值取代正调二、七弦的相对波长,五弦则用今羽调的定弦,我们就得到了“清商调”散声音阶的两种方案如下:清商调甲方案:清商调乙方案:《神奇秘谱》(成书于1425年)载:“碧玉调:慢三一徽,散挑五,名十勾三应。”这里讲到的“碧玉调”,就是“慢角调”,定弦特点在“慢三弦”,关键步骤是:五弦散声与三弦十徽应。转译为方程,就是:[五]=[三]×34我们注意到,这里的五弦散声相对波长,既可以按《五知斋琴谱》方案取1627,也可以按《琴学入门》方案取35。按《五知斋琴谱》,以[五]=1627代入:1627=[三]×34,解得[三]=1627×43=6481。按《琴学入门》,以[五]=35代入:35=[三]×34,解得[三]=35×43=45。用这两个数值分别取代正调三弦的相对波长,我们就得到了“慢角调”散声音阶的两种方案如下:慢角调按《五知斋琴谱》接《神奇秘谱》方案:慢角调按《琴学入门》接《神秘秘谱》方案:《西麓堂琴统》卷十九载:“夷则调:慢一、三、六各一徽,此古夷则弦也,俗谓之慢宫调。按夷则、南吕以四为宫,故散六应十二徽之四。”这段文字讲到,慢宫调是以四弦为宫的,定弦特点在“慢一三六弦”。但在记载关键步骤时,版本中出现了抄写讹误,这“散六应十二徽之四”应校正为“散六应十一徽之四”;该书第二十五卷记述“慢一三六”项目下记载有“散挑六,名十一勾四应”一句,可以印证。这一步转译为方程,就是:[六]=[四]×45解这方程时应注意,调名已表明要“慢宫”,第一、六这两条“宫弦