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文档简介

概率论

与数理统计理学院数学系“悟道诗---严加安”随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离．第四章随机变量的数字特征第一节数学期望二、随机变量函数的数学期望一、随机变量的数学期望三、数学期望的性质四、小结一、随机变量的数学期望设离散型随机变量X的分布律是定义1：若则称为离散型随机变量X的数学期望，简称期望或均值，记为.随机变量，求．例1：解：因为，故其概率函数为于是按照数学期望的定义有随机变量，求．例2：解：因为，故其概率函数为于是按照数学期望的定义有设连续型随机变量X的概率密度是定义2：若则称为连续型随机变量X的数学期望，简称期望或均值，记为.随机变量，求．例3：解：因为，故其概率密度为于是按照数学期望的定义有随机变量，求．例4：解：因为，故其概率密度为于是按照数学期望的定义有随机变量，求．例5：解：因为，故其概率密度为于是按照数学期望的定义有求其数学期望．随机变量服从柯西（Cauchy）分布，概率密度为例6：解：因为故其数学期望不存在．二、随机变量函数的数学期望随机变量的函数依然是随机变量，故随机变量函数的数学期望一般可以通过求得其概率分布再进行数学期望求解．但是这种方法一般比较繁琐，况且有时我们并不想知道随机变量函数的具体分布，这时我们将利用如下定理直接计算随机变量函数的数学期望．设

为一随机变量，

且存在，则定理1：（1）若是离散型随机变量，其概率函数为则的数学期望为（2）若是连续型随机变量，其概率密度为，则的数学期望为求随机变量的数学期望．设随机变量的概率分布如下例7：解：方法一：易求得的概率分布为故其数学期望-10120.20.10.30.4-1030.30.50.2求随机变量的数学期望．设随机变量的概率分布如下例7：解：方法二：按照公式的数学期望-10120.20.10.30.4因为，其概率密度为设随机变量，求及例8：解：故设随机变量，求及例8：解：国际市场每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量（吨），其服从区间上的均匀分布，每售出一吨该商品，可为国家赚取外汇3万元；若销售不出去，则每吨商品需要贮存费1万元．问该商品应出口多少吨才能使国家的平均收益最大？例9：解：设该商品应出口吨，显然．国家收益（单位：万元）是需求量的函数，记为，故有例9：解：由题意，的概率密度为则的数学期望为例9：解：是的函数，为使最大，易知于是，该商品应出口3500吨才能使国家的平均收益最大.设

为二随机变量，

且存在，则定理2：（1）若是离散型随机变量，其概率函数为则的数学期望为（2）若是连续型随机变量，其概率密度为，则的数学期望为设为常量，则三、数学期望的性质利用性质求解数学期望往往比直接求法简洁．（1）设为常量，则（4）设随机变量独立，则（2）设为常量，则（3）该性质亦可推广至有限情形.随机变量，求．例10：解：引入且相互独立，则又，故随机变量，求．例11：解：引入（但不一定独立），则又，故因

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