四川省绵阳市2024届高三上学期第一次诊断性考试文科数学试题

秘密★启用前【考试时间：2023年10月31日15：00—17：00】绵阳市高中2021级第一次诊断性考试文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.2.如果是实数，那么“”是“的（）A.充分必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知平面向量与的夹角为，且，则（）A.B.-2C.2D.4.已知，则下列关系式正确的是（）A.若，则B.若，则C.若且，则D.若，则5.已知，则（）A.B.2C.D.6.已知，则（）A.B.C.D.7.若等比数列首项，则数列的前项和为（）A.B.C.D.8.已知函数，且，则其大致图象为（）A.B.C.D.9.若曲线与直线相切，则实数（）A.-1B.1C.2D.10.命题：“若与满足：，则.已知是真命题，则的值不可以是（）A.B.2C.3D.411.从社会效益和经济效益出发，某企业追加投入资金进行新兴产业进一步优化建设.根据规划，本年度追加投入4000万元，以后每年追加投入将比上年减少，本年度企业在新兴产业上的收入估计为2000万元，由于该项建设对新兴产业的促进作用，预计今后的新兴产业收入每年会比上一年增加1000万元，则至少经过（）年新兴产业的总收入才会超过追加的总投入.A.3B.4C.5D.612.已知函数在区间上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间（）A.B.C.D.二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.“更相减损术”的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，该算法的程序框图如图所示，若输入的a，b分别为21，14，则输出的__________.14.已知点，若向量与的方向相反，则__________.15.已知函数则的值域为__________.16.已知函数的定义域为，且，若为奇函数，，则__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）已知等比数列的前项和为，且成等差数列，.（1）求数列的通项公式；（2）记为数列的前项和，求的最大值.18.（12分）已知函数满足.（1）求函数的解析式及最小正周期；（2）函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到，若，求的最小值.19.（12分）函数.（1）若为奇函数，求实数的值；（2）已知仅有两个零点，证明：函数仅有一个零点.20.（12分）在斜三角形中，内角所对的边分别为，已知.（1）证明：；（2）若，求的最小值.21.（12分）已知函数.（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；（2）试讨论的极值点个数.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线的参数方程分别为（为参数），（为参数）.（1）将的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.若射线：与曲线分别交于两点（异于极点），点，求的面积.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若是的最小值，且正数满足，证明：.绵阳市高中2021级第一次诊断性考试文科数学参考答案及评分意见一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1-5BBCAD6-10BACBC11-12BC二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.714.15.16.1三､解答题：本大题共6小题，共70分.17.解：（1）由成等差数列，则，得，数列的公比，由，数列的通项公式；（2）令，则，当时，，当或4时，取得最大值：.18.解：（1）∵，∴，而，∴，即，∴的最小正周期为：；（2）由题意，，∵，∴，∴Z，∴，∴的最小值为.19.解：（1）∵为奇函数，∴，解得：m=2.（2）当m>0时，，∴函数不可能有两个零点.当m<0时，由，解得：或m2，要使得f（x）仅有两个零点，则，即，此方程无解.故m=0，即，令，则，，解得：或，解得：，故在，上递增，在上递减，又，故函数仅有一个零点.20.解：（1）又为斜三角形，则，，，又为的内角，；（2）在中，由（1）知，，由正弦定理，则，又，即，，，，令，令，又因为，即，当时，取最小值，且，综上所述：的最小值为.21.解：（1）方法一：，因为在上单调递增，∴恒成立，故：当时，恒成立.设，则，则，易知，所以，故令得到：；令得到：.∴在上递减；在上递增.故：当时，.∴实数a的取值范围：.方法二：，因为在上单调递增，所以恒成立，等价于：在上恒成立，设，则，，当时，，∴在上递减，，符合题意.当时，易知在上递减，在上递增，在上递减，因为，故只需满足（由易得），符合题意.当时，易知在（1，a）上递减，在（a，2）上递增，在上递减，因为，故只需满足，即，当时，易知在（1，2）上递增，在上递减，，不符合题意.综上：实数a的取值范围：.（2）的极值点个数等价于的变号零点个数，令，则等价于的变号零点个数，当时，；当时，，由（1）可知，，当时，易知在上递减，故有唯一变号零点1；当时，易知在上递减，在上递增，在上递减，因为，，故有唯一变号零点1；当且时，易知在上递减，在（a，2）上递增，在上递减，，，若，即时，有唯一变号零点1；若，即且时，有三个变号零点1，，，且.当时，易知在上递减，在（1，2）上递增，在上递减，由于，，有唯一变号零点，且.综上：当且时，有三个极值点；当或时，有唯一极值