上海市长宁区2023-2024学年高一上册期末数学学情检测模拟试题合集2套（含解析）

上海市长宁区2023-2024学年高一上册期末数学学情检测模拟试题一、填空题1．已知集合，，则____________.【正确答案】【分析】根据集合交集的定义计算．【详解】由已知．故．2．函数的定义域为_____【正确答案】【分析】由题意得，解出即可得答案.【详解】由题意得，解得，故定义域为.故3．若关于的不等式的解集为，则实数的值是_____【正确答案】【分析】由条件可得方程的两根为，然后根据韦达定理可得答案.【详解】因为不等式的解集为，所以方程的两根为，由韦达定理得，所以.故4．若在区间上是增函数，则实数的取值范围是_____【正确答案】【分析】根据二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】因为二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，因为在区间上是增函数，则，解得.故答案为.5．已知函数的图像过点，则_____【正确答案】2【分析】根据条件求出的值即可.【详解】由题意得，所以，所以，所以.故26．已知，则“”是“”的_____条件.（选填：“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“非充分非必要”）【正确答案】必要非充分【分析】求出分式不等式的解集后即可得到答案.【详解】的解集为，根据，故为必要非充分条件.故必要非充分7．已知，则的值等于_____（用表示）.【正确答案】【分析】由指数式与对数式的互化，结合对数的运算求解即可.【详解】因为，所以，所以.故8．函数的最大值是_____【正确答案】【分析】由对数函数的单调性和二次函数的知识可得答案.【详解】由对数函数的单调性可得当取得最小值时，函数取得最大值，所以当时，.故9．已知，函数的定义域为，且是偶函数，则的值是____【正确答案】【分析】根据偶函数的知识解出的值即可.【详解】由题意得，所以.故10．已知，则的最小值为________________【正确答案】【详解】，则，当且仅当，等号成立，所以的最小值为故答案为.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.11．已知幂函数的图像关于轴对称，与轴及轴均无交点，则由的值构成的集合是__________．【正确答案】【分析】根据幂函数的性质列不等式，直接求解即可.【详解】由幂函数与轴及轴均无交点，得，解得，又，即，的图像关于轴对称，即函数为偶函数，故为偶数，所以，故答案为.12．设是定义在上的函数，若存在两个不等实数，使得，则称函数具有性质，那么下列函数：①；②；③；具有性质的函数为_____（填写所以正确答案的序号）【正确答案】①③【分析】对于①取验证；对于②直接代入化简求值；对于③取验证.【详解】①当时，得，，则成立；②假设成立，则，此时矛盾，故不成立；③当时，，，则成立.故具有性质的函数为①③.故①③.二、单选题13．下列函数中，是奇函数又是严格增函数的为（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】逐一分析每个函数的性质，利用排除法选出答案.【详解】A选项，记，，不是奇函数，A选项错误；B选项，根据幂函数性质，是严格递增的奇函数，B选项正确；C选项，在上递减，不符题意，C选项错误；D选项，根据幂函数性质，是严格递增的奇函数，故是严格递减的奇函数，D选项错误.故选：B14．如果，那么下列不等式中错误的是A． B． C． D．【正确答案】C【分析】逐一分析每一个选项判断得解.【详解】对于选项A,根据不等式的加法法则，显然正确，所以该选项正确；对于选项B,因为，所以，所以该选项正确；对于选项C,当c=0时，显然不成立，所以该选项错误；对于选项D,所以，所以该选项正确.故选C本题主要考查不等式的性质和实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．函数（且）在R上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【正确答案】D根据函数单调递减，得到每段都单调递减，并注意分界点左右的函数值大小，列出不等式组求解，即可得出结果.【详解】因为函数（且）在R上单调递减，所以，解得，即实数的取值范围是.故选：D.16．对于函数，有以下3个命题：（1）对于任意的实数为偶函数；（2）存在实数，使得有两个零点；（3）的最小值为.其中正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【正确答案】D【分析】根据奇偶性的定义可判断（1），举例可判断（2），求出的单调性可判断（3）.【详解】因为的定义域为，，故（1）成立；当时，，由（1）得，因为在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，因为是偶函数，所以在上单调递减，所以恰有两个零点，故存在实数，使得有两个零点，所以（2）成立；当时，，因为在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，因为是偶函数，所以在上单调递减，所以，所以（3）成立，故选：D.三、解答题17．已知集合.(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）分别先求出集合，直接根据交集的运算求解；（2）根据集合的结果，结合，利用并集的结果求参数范围.【详解】（1），；时，，故（2）由于，故，解得，所以实数的取值范围为.18．已知是定义域为的奇函数，且当，（其中为常数，且）.(1)求的值；(2)求函数的解析式.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）函数在处有定义，利用奇函数性质求解即可；（2）根据对称性，设，利用正数区间上函数的解析式和求解即可.【详解】（1）因为是定义域为的奇函数，所以，即.（2）设，则，所以，所以的解析式为19．已知函数(1)判断函数的单调性，并证明；(2)用函数观点解不等式.【正确答案】(1)增函数，证明见解析；(2).【分析】（1）根据函数单调性的定义即得；（2）由题可得，结合函数的单调性即得.【详解】（1）任取，则，因为，所以，所以，即，所以在区间上是严格增函数；（2）由（1）得在区间上是严格增函数，且，所以由，可得，所以的解集为.20．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足60万箱时，;当产量不小于60万箱时,，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.(1)求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？【正确答案】(1)(2)当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.【分析】(1)根据产量的不同取值范围讨论利润y关于产量x的不同对应关系即可求解.(2)分别求出分段函数的最大值比较大小即可求出利润的最大值.【详解】（1）当时，；当时，.所以，；（2）当时，，当时，y取得最大值，最大值为850万元；当时，，当且仅当时，即时，y取得最大值，最大值为1300万元.综上，当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.21．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点.（1）判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由；（2）若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围；（3）若函数是区间上的“平均值函数”，且是函数的一个均值点，求所有满足条件的有序数对.【正确答案】（1）是，理由见解析；（2）；（3）.（1）根据平均值函数的定义，由函数解析式，得到，求出，即可判断出结果；（2）由题意，根据平均值函数的定义，得到存在，使，利用换元法，结合指数函数的性质，即可求出结果；（3）先由题意，得到，推出，结合题中条件，即可得出结果.【详解】（1）由“平均值函数”的定义，存在，满足，

因此是区间上的“平均值函数”.

（2）若函数是区间上的“平均值函数”，则存在，满足，即关于的方程在区间内有解.

参变分离，将方程转化为，

函数的值域为，因此.

（3）若函数是区间上的“平均值函数”，且是函数的一个均值点，则，即，得到，其中，

满足条件的解为，即所有满足条件的有序数对为.关键点点睛：求解本题的关键在于理解题中所给“平均值函数”的定义，为使函数为平均值函数，必存在实数，满足，注意此处不取端点值，根据所给函数解析式，列出等式，化为常见函数，进行求解.上海市长宁区2023-2024学年高一上册期末数学学情检测模拟试题一、填空题1．函数的定义域是________.【正确答案】【分析】根据函数成立的条件，即可求函数的定义域．【详解】解：要使函数有意义，则x﹣3＞0，即x＞3，故函数的定义域为（3，+∞），故（3，+∞）．本题主要考查函数定义域的求法，正确判断函数成立的条件是解决此类问题的关键．2．不等式的解集为__________.【正确答案】【分析】利用分式不等式的解法求解即可.【详解】因为，所以，则，即，故，所以，解得，故，所以的解集为.故答案为.3．已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则__________.【正确答案】-1【分析】根据幂函数在上为严格减函数，可得，再由幂函数奇函数即可得答案.【详解】解：因为幂函数在上为严格减函数，所以，所以，又因为幂函数奇函数，且，所以，故-14．已知角的终边经过点，则___________.【正确答案】【分析】根据正切函数定义计算【详解】由题意．故．5．已知扇形的弧长为，且半径为，则扇形的面积是__________.【正确答案】##【分析】由扇形面积公式可直接求得结果.【详解】扇形面积.故答案为.6．若，则________．【正确答案】【分析】直接将两边平方，结合二倍角公式计算可得；【详解】解：因为，所以，即，即，所以故7．方程的两个实根分别为，则__________.（结果表示成含的表达式）【正确答案】【分析】根据韦达定理运算求解.【详解】∵方程的两个实根分别为，则当时恒成立，可得，∴.故答案为.8．方程的解为______.【正确答案】2.由对数的运算性质可转化条件为，即可得解.【详解】方程等价于，所以，解得.故2.本题考查了对数方程的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.9．函数的值域是_______.【正确答案】【分析】由函数解析式导出，利用指数式的有界性，，即可求解y的取值范围，即为值域.【详解】由函数解析式，，，解得则值域为，故指数函数，值域为，即恒成立.10．如果对任意实数x总成立，那么a的取值范围是____________.【正确答案】【分析】先利用绝对值三角不等式求出的最小值，进而求出a的取值范围.【详解】，当且仅当时等号成立，故，所以a的取值范围是.故11．已知函数，若，且，则的取值范围是______．【正确答案】【分析】由，可得，，得，所以，然后构造函数，利用可求出其单调区间，从而可求出其范围【详解】的图象如图，因为，所以，因为，所以，，所以，所以，所以，所以，所以，则，所以，令，则，当时，，所以在上递减，所以，所以，所以的取值范围为，故12．设函数在区间上的最大值和最小值分别为M､m，则___________.【正确答案】2【分析】，令，易得函数为奇函数，则，从而可得出答案.【详解】解：，令，因为，所以函数为奇函数，所以，即，所以，即.故2.二、单选题13．已知，，都是实数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】利用充分、必要条件的定义，结合不等式的性质判断题设条件间的推出关系，即可知条件间的充分、必要关系.【详解】当时，若时不成立；当时，则必有成立，∴“”是“”的必要不充分条件.故选：B14．下列四组函数中，两个函数相同的是（

）A．和B．和C．和D．和【正确答案】C【分析】如果函数的三要素中有一个不同，则两个函数不同；判断两个函数相同，需要判断定义域、对应关系相同.【详解】选项A，函数的定义域为R，定义域为，所以两个函数不同；选项A，函数的定义域为R，定义域为，所以两个函数不同；选项C，因为，定义域都为R，所以函数和相同；选项D，函数的定义域为，定义域为，所以两个函数不同.故选：C.15．函数的图像的对称性为（

）A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称【正确答案】B【分析】将函数进行化简，利用函数的奇偶性的定义进行判断．【详解】解：因为，所以，所以函数是偶函数，即函数图象关于轴对称．故选：．16．若，则函数的两个零点分别位于区间A．和内 B．和内C．和内 D．和内【正确答案】A【详解】试题分析：，所以有零点，排除B，D选项.当时，恒成立，没有零点，排除C，故选A.另外，也可知内有零点.零点与二分法.【思路点晴】如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有·，那么，函数在区间内有零点，即存在使得，这个也就是方程的根.注意以下几点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.③由函数在闭区间上有零点不一定能推出·，如图所示.所以·是在闭区间上有零点的充分不必要条件.三、解答题17．已知集合.(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）由不等式的解法，结合集合的运算求解即可；（2）由集合的包含关系得出实数的取值范围.【详解】（1）或，.因为，所以.（2）或，因为，，所以，即.18．（1）化简.（2）已知，且在同一象限，求的值.【正确答案】（1）0；（2）.【分析】（1）根据诱导公式化简整理；（2）先根据三角函数值判断所在象限，进而利用平方关系可求，代入两角和的余弦公式运算求值.【详解】（1）.（2）∵，且在同一象限，则为第二象限角，∴，故.19．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级度量可定义为；(1)若，求相应的震级；（结果精确到0.1级）(2)中国地震台网测定：2021年11月17日13时54分在江苏省盐城市大丰区海域发生5.0地震，地震造成江苏盐城、南通等地震感强烈，上海亦有震感；请问汶川8.0级地震的相对能量是大丰区海域5.0级地震相对能量的多少倍？（结果精确到个位）【正确答案】(1)(2)【分析】（1）由里氏震级度量公式计算即可；（2）由公式解出，再代入数值计算即可.【详解】（1）当时，则有.所以相应的震级为级.（2）由，可得，所以.所以汶川8.0级地震的相对能量是大丰区海域5.0级地震相对能量的倍.20．已知二次函数，．（1）如果函数单调递减，求实数的取值范围；（2）当时，求的最大值