2023-2024学年八年级数学上册 专题1.5 角度计算的经典模型（八大题型）（解析版）

专题1.5角度计算的经典模型（八大题型）重难点题型归纳【题型1双垂直模型】【题型2A字模型】【题型38字模型】【题型4飞镖模型】【题型5风筝模型】【题型6两内角角平分线模型】【题型7两外角角平分线模型】【题型8内外角平分线模型】【题型1双垂直模型】双垂直模型【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.【典例1】AD、BE为△ABC的高，AD、BE相交于H点，∠C＝50°，求∠BHD．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AD是△ABC的高，∴∠BHD+∠HBD＝90°，∵BE是△ABC的高，∴∠HBD+∠C＝90°，∴∠BHD＝∠C，∵∠C＝50°，∴∠BHD＝50°．【变式1-1】如图所示，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点P，若∠A＝60°，则∠BPC等于（）A．90° B．120° C．150° D．160°【答案】B【解答】解：∵∠A＝60°，BE⊥AC，∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，又∵CD⊥AB，∴∠BDP＝90°，∴∠BPC＝90°+∠ABE＝120°．故选：B．【变式1-2】在△ABC中，已知∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点．求∠ABE和∠BHC的度数．【答案】20°，110°．【解答】解：∵BE是AC上的高，∴∠AEB＝90°，∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，∴∠A＝180°﹣60°﹣50°＝70°，∴∠ABE＝180°﹣90°﹣70°＝20°，∵CF是AB上的高，∴∠AFC＝90°，∴∠ACF＝180°﹣90°﹣70°＝20°，∵∠ABE＝20°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝50°﹣20°＝30°，∵∠ACF＝20°，∠ACB＝60°，∴∠BCH＝40°，∴∠BHC＝180°﹣40°﹣30°＝110°．【题型2A字模型】A字模型图1【条件】图1中三种情况【结论】∠1=∠2【证明】略图2【结论】∠1+∠2=∠3+∠4【证明】根据内角和定理，∠1+∠2+∠A=∠3+∠4+∠A=180°∴∠1+∠2=∠3+∠4图3【结论】∠1+∠2=180°+∠A【证明】∠1+∠2=（∠AED+∠A）+（∠ADE+∠A）=180°+∠A【典例2】如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，已知AD∥EF，∠1+∠2＝180°．（1）求证：AB∥DG；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠B＝35°，求∠2的度数．【答案】（1）证明过程见解答；（2）145°．【解答】（1）证明：∵AD∥EF，∴∠BAD+∠2＝180°．∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD＝∠1．∴AB∥DG；（2）解：∵DG是∠ADC的平分线，且AB∥DG，∴∠1＝∠GDC＝∠B＝35°，∴∠1＝∠DAB＝35°，∵AD∥EF，∴∠2＝180°﹣∠DAB＝180°﹣35°＝145°．【变式2-1】探索归纳：（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝270°．（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝220°．（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是180°+∠A．（4）如图3，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．∴∠1+∠2等于270°．故答案为：270°；（2）∠1+∠2＝180°+40°＝220°，故答案是：220°；（3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2＝180°+∠A；故答案为：180°+∠A；（4）∵△EFP是由△EFA折叠得到的，∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF∴∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF）又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A，∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．【变式2-2】如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．90° B．135° C．270° D．315°【答案】C【解答】解：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．故选：C．【变式2-3】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠C＝45°，∠A＝50°，则∠ADE的度数为（）A．95° B．85° C．75° D．50°【答案】B【解答】解：∵∠C＝45°，∠A＝50°，∴∠B＝180°﹣45°﹣50°＝85°，∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝85°，故选：B．【变式2-4】如图，在三角形纸片ABC中∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝50°，则∠2的度数为30°．【答案】30°．【解答】解：∵∠A＝65°，∠B＝75°，∴∠C＝180°﹣（65°+75°）＝40°，∴∠CDE+∠CED＝180°﹣∠C＝140°，∴∠2＝360°﹣（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）＝360°﹣330°＝30°．故答案为：30°．【变式2-5】如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，∠1+∠2＝235°，则∠A＝55度．【答案】55．【解答】解：∵1+∠2＝235°，∴∠B+∠C＝360°﹣（∠1+∠2）＝360°﹣235°＝125°，故∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣125°＝55°．故答案是：55．【变式2-6】在如图所示的四边形中，若去掉一个50°的角得到一个五边形，则∠1+∠2＝230度．【答案】见试题解答内容【解答】解：由于∠1和∠2是三角形的外角，所以∠1＝∠4+50°，∠2＝∠3+50°，所以∠1+∠2＝∠4+50°+∠3+50°＝（∠4+50°+∠3）+50°＝180°+50°＝230°．【变式2-7】如图，四边形ABOC中，∠BAC与∠BOC的角平分线相交于点P，若∠B＝16°，∠C＝42°，则∠P＝13°．【答案】13．【解答】解：延长CO交AB于点D，OC与AP交于点E，根据三角形的外角的性质，∠BDC＝∠C+∠BAC＝42°+2∠BAP，∠BOC＝∠B+∠BDC＝58°+2∠BAP则∠COP＝29°+∠BAP，根据三角形的内角和定理，∠COP+∠P＝∠C+∠BAP，所以∠P＝∠C+∠BAP﹣∠COP＝13°，故答案为：13．【变式2-8】如图，将△ACB绕点C按逆时针方向旋转50°后得到△ECD，点D恰好落在AB上，则∠CDB的度数是65°．【答案】65°．【解答】解：由旋转的性质得：∠DCB＝50°，CD＝CB，∴∠B＝∠CDB，∵∠DCB+∠B+∠CDB＝180°，即：50°+2∠CDB＝180°，∴∠CDB＝65°．故答案为：65°．【题型38字模型】8字模型【条件】AE、BD相交于点C【结论】∠A+∠B=∠D+∠E.【典例3】图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：6个；（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；故“8字形”共有6个，故答案为：6；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∴2∠P＝∠D+∠B．【变式3-1】如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360度．【答案】360．【解答】解：∵∠B+∠C＝∠1，∠A+∠F＝∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠1+∠2+∠E+∠D＝360°．故答案为：360．【变式3-2】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是180°．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，∵∠1＝∠B+∠E，∠2＝∠1+∠C，∠A+∠2+∠D＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．故答案为：180°．【变式3-3】如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为360°．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接AD，在△AOD和△BOC中，∵∠AOD＝∠BOC，∴∠B+∠C＝∠1+∠2，∴∠B+∠C+∠BAF+∠EDF＝∠1+∠2+∠BAF+∠EDF＝∠EDA+∠FAD，∵∠EDA+∠FAD+∠E+∠F＝360°，∴∠BAF+∠EDF+∠B+∠C+∠E+∠F＝360°，故答案为：360°．【变式3-4】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，∵∠1＝∠B+∠2，∠2＝∠D+∠E，∠A+∠1+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠D+∠E+∠C＝180°，故答案为：180．【变式3-5】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360度．【答案】见试题解答内容【解答】解：如右图所示，∵∠AHG＝∠A+∠B，∠DNG＝∠C+∠D，∠EGN＝∠E+∠F，∴∠AHG+∠DNG+∠EGN＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，又∵∠AHG、∠DNG、∠EGN是△GHN的三个不同的外角，∴∠AHG+∠DNG+∠EGN＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．故答案为：360°．【变式3-6】探究与发现：平面内，四条线段AB、BC、CD、DA首尾顺次相接，BC与AD相交于点O．（1）如图1，若∠B＝24°，∠D＝42°，∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M，求∠M的度数；（2）如图2，若∠B＝50°，∠D＝32°，∠BAM＝∠BAD，∠BCM＝∠BCD，求∠M的度数；（3）如图3，设∠B＝x°，∠D＝y°，∠BAM＝∠BAD，∠BCM＝∠BCD，用含n、x、y的代数式表示∠M的度数（直接写答案）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1，设∠COD＝x°，则∠AOB＝∠COD＝x°，△COD中∠BCD＝180°﹣∠ADC﹣∠COD＝180°﹣42°﹣x＝138°﹣x，∵CM平分∠BCD得到：∠BCM＝∠BCD＝69°﹣x，同理：∠BAM＝∠MAD＝78°﹣x，在△ABP中利用三角形内角和定理得到∠APB＝180°﹣24°﹣（78°﹣x）＝78°+x，则∠CPM＝∠APB＝180°﹣24°﹣（78°﹣x）＝78°+x，在△CPM中三内角的和是180°，即：（69°﹣x）+（78°+x）+∠AMC＝180°，则∠AMC＝33°；（2）如图2：设∠COD＝x°，则∠AOB＝∠COD＝x°，△COD中∠BCD＝180°﹣∠ADC﹣∠COD＝180°﹣32°﹣x＝148°﹣x，∵CM平分∠BCD得到：∠BCM＝∠BCD＝﹣x，同理：∠BAM＝∠MAD＝﹣x，在△ABP中利用三角形内角和定理得到∠APB＝180°﹣50°﹣（﹣）＝+x，则∠CPM＝∠APB＝180°﹣50°﹣（﹣）＝+x，在△CPM中三内角的和是180°，即：（）+（+x）+∠AMC＝180°，136°+∠AMC＝180°所以∠M＝44°．（3）∠M＝∠B+（∠BAD﹣∠BCD）＝∠B+（∠D﹣∠B）＝x+（y﹣x）＝x+y．【题型4飞镖模型】飞镖模型图1图2图3【条件】四边形ABPC如图1所示【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C.【典例4】探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：①如图（2），把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝50°．②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图（1），∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是：过点A、D作射线AF，∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）①如图（2），∵∠X＝90°，由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，∵∠A＝40°，∴∠ABX+∠ACX＝50°，故答案为：50；②如图（3），∵∠A＝40°，∠DBE＝130°，∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°，∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴∠ADC＝∠ADB，∠AEC＝∠AEB，∴∠ADC+∠AEC＝＝45°，∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°．【变式4-1】一个零件的形状如图，按要求∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°，检验工人量得∠CDB＝148°，就断定这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，延长CD交AB于E，∵∠A＝90°，∠C＝21°，∴∠1＝∠A+∠C＝90°+21°＝111°，∵∠B＝32°，∴∠BDC＝∠B+∠1＝32°+111°＝143°．又∵∠BDC＝148°，∴这个零件不合格．【变式4-2】附加题：如图，试说明：①∠BDC＞∠A；②∠BDC＝∠B+∠C+∠A．如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？【答案】见试题解答内容【解答】解：①延长BD交AC于E，则∠BDC＞∠DEC，而∠DEC＞∠A，所以∠BDC＞∠A；②由∠BDC＝∠C+∠DEC，而∠DEC＝∠A+∠B，所以∠BDC＝∠A+∠B+∠C．如果点D在线段BC的另一侧，如图所示：结论：①∠BDC与∠A无法比较大小；②∠BDC＝360°﹣（∠A+∠B+∠C），【变式4-3】如图，△ABC中，∠A＝30°，D为CB延长线上的一点，DE⊥AB于点E，∠D＝40°，则∠C为（）A．20° B．15° C．30° D．25°【答案】A【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∵∠D＝40°，∴∠ABD＝180°﹣∠D﹣∠DEB＝50°，∵∠ABD＝∠A+∠C，∠A＝30°，∴∠C＝∠ABD﹣∠A＝50°﹣30°＝20°．故选：A．【变式4-4】如图，点E在BC上，ED⊥AC于F，交BA的延长线于D，已知∠D＝30°，∠C＝20°，则∠B的度数是（）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【解答】解：∵ED⊥AC，∠D＝30°，∠C＝20°，又∵∠DEC＝∠B+∠D，∴∠C+∠DEC＝∠C+∠D+∠B＝90°，∴∠B＝40°．故选：C．【变式4-5】如图，作CE⊥AF于点E，CE与BF相交于点D，若∠F＝45°，∠C＝30°，则∠A＝60°，∠DBC＝105°．【答案】60；105．【解答】解：∵CE⊥AF，∴∠AEC＝∠FEC＝90°，∵∠C＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，又∠DBC＝∠F+∠A，∠F＝45°∴∠DBC＝60°+45°＝105°故答案为：60；105．【题型5风筝模型】【典例5】如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折叠，点A落在点A'的位置．（1）如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为③（只填序号），并说明理由；①∠DAE＝∠1②∠DAE＝2∠1③∠1＝2∠DAE（2）如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系．【答案】（1）③，理由详见解答过程．（2）∠1+∠2＝2∠DAE．【解答】解：（1）由题意得：∠DAE＝∠DA′E．∵∠1＝∠EAD+∠EA′D＝2∠DAE．故答案为：③．（2）∠1+∠2＝2∠DAE，理由如下：如图2，连接AA′．由题意知：∠EAD＝∠EA′D．∵∠1＝∠A′AE+∠AA′E，∠2＝∠A′AD+∠AA′D，∴∠1+∠2＝∠EAA′+∠A′AD+∠EA′A+∠AA′D＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD．【变式5-1】将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．（2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是2∠A＝∠2．（3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）图1中，2∠A＝∠1+∠2，理由是：∵延DE折叠A和A′重合，∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，∠1+∠2＝180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE），∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A；（2）2∠A＝∠2，如图∠2＝∠A+∠EA′D＝2∠A，故答案为：2∠A＝∠2；（3）如图2，2∠A＝∠2﹣∠1，理由是：∵延DE折叠A和A′重合，∴∠A＝∠A′，∵∠DME＝∠A′+∠1，∠2＝∠A+∠DME，∴∠2＝∠A+∠A′+∠1，即2∠A＝∠2﹣∠1．【变式5-2】如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（）A．40° B．80° C．90° D．140°【答案】B【解答】解：由折叠的性质得：∠D＝∠C＝40°，根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+80°，则∠1﹣∠2＝80°．故选：B．【变式5-3】如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当A落在四边形BCDE内时，则∠A与∠1+∠2之间有始终不变的关系是（）A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2 C．3∠A＝∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2）【答案】B【解答】解：∵△ABC纸片沿DE折叠，∴∠1+2∠AED＝180°，∠2+2∠ADE＝180°，∴∠AED＝（180°﹣∠1），∠ADE＝（180°﹣∠2），∴∠AED+∠ADE＝（180°﹣∠1）+（180°﹣∠2）＝180°﹣（∠1+∠2）∴△ADE中，∠A＝180°﹣（∠AED+∠ADE）＝180°﹣[180°﹣（∠1+∠2）]＝（∠1+∠2），即2∠A＝∠1+∠2．故选：B．【变式5-4】如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（）A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β【答案】A【解答】解：由折叠得：∠A＝∠A'，∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，故选：A．【变式5-5】纸片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），若∠1＝20°，则∠2的度数为60°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣65°﹣75°＝40°，∵∠1＝20°，∴∠CED＝＝80°，在△CDE中，∠CDE＝180°﹣∠C﹣∠CED＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∴∠2＝180°﹣2∠CDE＝180°﹣2×60°＝60°，故答案为60°．【变式5-6】如图所示，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝720°﹣（∠B'FG+∠B'GF）﹣（∠C'HI+∠C'IH）﹣（∠A'DE+∠A'ED）＝720°﹣（180°﹣∠B'）﹣（180°﹣C'）＝（180°﹣A'）＝180°+（∠B'+∠C'+∠A'）又∵∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，∠A＝∠A'，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．故答案为：360．【题型6两内角角平分线模型】【方法技巧】双内角平分线模型【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACB的角平分线.【结论】∠P=90°+∠A.【典例6】【问题】如图①，在△ABC中，∠A＝74°，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB．求∠D的度数，对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．解：∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°（三角形内角和180°）．∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A（等式性质）．∵∠A＝74°（已知），∴∠ABC+∠ACB＝106°（等量代换）．∵DB平分∠ABC（已知），∴∠DBC＝∠ABC（角平分线的定义）．同理，∠DCB＝∠ACB；∴（∠ABC+∠ACB）＝53°（等式性质）．∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝127°（等式性质）．【拓展】如图②，在△ABC中，∠A＝β，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB．则∠D＝（90°+）．【应用】如图③，在△ABC中，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，EB平分∠DBC，EC平分∠DCB．若∠E＝146°，则∠A＝44°．【答案】（1）180°﹣∠A；106°；∠ACB；53°；127°；（2）90°+；（3）44°．【解答】解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°（三角形的内角和定理），∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A（等式性质）．∵∠A＝74°（已知），∴∠ABC+∠ACB＝106°（等量代换）．∵DB平分∠ABC（已知），∴（角平分线的定义）．同理，∠DCB＝∠ACB．∴＝53°（等式性质）．∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝127°（等式性质）．故答案为：180°﹣∠A；106°；∠ACB；53°；127°；（2）∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°（三角形的内角和定理），∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A（等式性质）．∵∠A＝β（已知），∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣β（等量代换）．∵DB平分∠ABC（已知），∴（角平分线的定义）．同理，∠DCB＝∠ACB．∴＝90°﹣（等式性质）．∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝90°+；故答案为：90°+；（3）∵DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，EB平分∠DBC，EC平分∠DCB，∴∠CBD＝∠CBA，∠BCD＝∠BCA，∠CBE＝∠CBD，∠BCE＝∠BCD，∴∠CBA，∠BCE＝∠BCA，∵∠CBE+∠BCE+∠E＝180°，∠E＝146°，∴∠CBE+∠BCE＝180°﹣∠E＝34°，∴∠CBE+∠BCE＝∠CBA+∠BCA＝34°，∴∠CBA+∠BCA＝136°，∵∠CBA+∠BCA+∠A＝180°，∴∠A＝180°﹣（∠CBA+∠BCA）＝44°．故答案为：44°．【变式6-1】如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F．（1）当BE＝5，CF＝3，则EF＝8；（2）当BE＞CF时，若CO是∠ACB的外角平分线，如图2，它仍然和∠ABC的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，试判断EF，BE，CF之间的关系，并说明理由．【答案】（1）8；（2）EF＝EB﹣FC．【解答】解：（1）∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠BCO，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴BE＝OE＝5，OF＝CF＝3，∴EF＝EO+FO＝8，故答案为：8；（2）EF＝BE﹣CF，理由如下：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBC，∵EO∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠ABO＝∠EOB，∴EB＝EO，同理可得FO＝FC，∴EF＝EO﹣FO＝EB﹣FC．【变式6-2】（1）如图（1），在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠A＝40°求∠BOC的度数．（2）如图（2），△A′B′C′外角的平分线相交于点O′，∠A′＝40°，求∠B′O′C′的度数．（3）由（1）、（2）可以发现∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系？设∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B′O′C′是否还具有这样的数量关系？这个结论你是怎样得到的？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，则∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣40°）＝70°．故∠BOC＝180°﹣70°＝110°；（2）因为∠A的外角等于180°﹣40°＝140°，△A′B′C′另外的两外角平分线相交于点O′，根据三角形的外角和等于360°，所以∠1+∠2＝×（360°﹣140°）＝110°，∠B′O′C′＝180°﹣110°＝70°；（3）∵（1）（2）中∠BOC+∠B′O′C′＝110°+70°＝180°，∴∠BOC与∠B′O′C′互补；证明：当∠A＝n°时，∠BOC＝180°﹣[（180°﹣n°）÷2]＝90°+n°，∵∠A′＝n°，∠B′O′C′＝180°﹣[360°﹣（180°﹣n°）]÷2＝90°﹣n°，∴∠A+∠A′＝90°+n°+90°﹣°＝180°，∠BOC与∠B′O′C′互补，∴当∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B′O′C′还具有互补的关系．【题型7两外角角平分线模型】双外角平分线模型【条件】BP、CP分别为∠EBC、∠BCF的角平分线.【结论】∠P=90°-∠A.【典例7】如图，△ABC两个外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O，∠A＝40°，求∠BOC的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O，∴∠OBC＝（∠A+∠ACB），∠OCB＝（∠A+∠ABC），∴∠OBC+∠OCB＝（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A），∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∴∠OBC+∠OCB＝90°+∠A，在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A，∵∠A＝40°，∴∠BOC＝90°﹣×40°＝90°﹣20°＝70°．【变式7-1】如图1，已知∠ACD是△ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？尝试探究：（1）如图2，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，则∠DBC+∠ECB＝∠A+180°（横线上填＞、＜或＝）初步应用：（2）如图3，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝135°，则∠2﹣∠C＝45°．（3）解决问题：如图4，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案∠P＝90°﹣∠A．（4）如图5，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠A、∠D的数量关系．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB﹣∠A＝180°，理由是：∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠ECB＝2∠A+∠ACB+∠ABC＝180°+∠A，∴∠DBC+∠ECB＝∠A+180°．故答案为：＝．（2）∠2﹣∠C＝45°．理由是：∵∠2+∠1﹣∠C＝180°，∠1＝135°，∴∠2﹣∠C+135°＝180°，∴∠2﹣∠C＝45°．故答案为：45°；（3）∠P＝90°﹣∠A，理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，∴∠CBP＝∠DBC，∠BCP＝∠ECB，∵△BPC中，∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝180°﹣（∠DBC+∠ECB），∵∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，∴∠P＝180°﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A．故答案为：∠P＝90°﹣∠A，（4）∠P＝180°﹣（∠A+∠D）．理由是：∵∠EBC＝180°﹣∠1，∠FCB＝180°﹣∠2，∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，∴∠3＝∠EBC＝90°﹣∠1，∠4＝∠FCB＝90°﹣∠2，∴∠3+∠4＝180°﹣（∠1+∠2），∵四边形ABCD中，∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠D），又∵△PBC中，∠P＝180°﹣（∠3+∠4）＝（∠1+∠2），∴∠P＝×[360°﹣（∠A+∠D）]＝180°﹣（∠A+∠D）．【变式7-2】（1）如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．若∠A＝80°，求∠BOC的度数；（2）如图②，△A′B′C′两个外角（∠C′B′D、∠B′C′E）的平分线相交于点O′，∠A′＝80°，求∠B′O′C′的度数；（3）由（1）、（2），可以发现∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系？设∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B′O′C′之间是否还具有这样的关系？为什么？（4）如图③，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于P点，则∠A和∠P的数量关系是∠A＝2∠P．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠ABC、∠ACB的平分线OB、OC相交于O．∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∵∠1+∠2+∠COB＝180°，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∴∠1+∠2＝180°﹣∠COB，（∠ABC+∠ACB+∠A）＝90°，∴180°﹣∠COB+∠A＝90°，∴∠BOC＝90°+∠A，∵∠A＝80°，∴∠BOC＝90°+×80°＝130°；（2）∵B′O′、C′O′为△A′B′C′两外角∠C′B′D、∠B′C′E的平分线，∠A°＝80°，∴∠B′C′O′＝（∠A′+∠A′B′C′），∠C′B′O′＝（∠A′+∠A′C′B′）；由三角形内角和定理得：∠O′＝180°﹣∠B′C′O′﹣∠C′B′O′＝180°﹣[∠A′+（∠A′+∠A′B′C′+∠A′C′B′）]＝180°﹣（∠A′+180°）＝90°﹣×80°＝90°﹣40°＝50°；（3）由（1）、（2）可知，∠BOC+∠B′O′C′＝180°；设∠A＝∠A′＝n°，则∠BOC＝90°+∠A；∠B′O′C′＝90°﹣∠A′；（4）∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACE＝2∠PCE，∵∠ACE＝2∠PCE＝∠A+∠ABC，∠PCE＝∠P+∠PBC，∴2∠PCE＝2∠P+2∠PBC，∴∠ACE＝2∠P+∠ABC，∴2∠P+∠ABC＝∠A+∠ABC，∴∠A＝2∠P．故答案为：∠A＝2∠P．【题型8内外角平分线模型】【方法技巧】内外角平分线模型【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACE的角平分线【结论】∠P=∠A【典例8】（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求证：∠P＝90°+∠A；（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）证明过程见解答；（2）∠P＝A．【解答】（1）证明：∵A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PCB＝ACB，∠PBC＝ABC，∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+A；（2）猜想：证明：∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC，∵∠PCE＝∠P+∠PBC，∴∠P＝∠PCE﹣∠PBC，又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，∴，∴∠P＝ACE﹣ABC＝（∠ACE﹣∠ABC）＝A．【变式8-1】在△ABC中，∠A＝40°：（1）如图（1）BO、CO是△ABC的内角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；（2）如图（2）BO、CO是△ABC的外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；（3）如图（3）BO、CO分别是△ABC的一内角和一外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；（4）根据上述三问的结果，当∠A＝n时，分别可以得出∠BOC与∠A有怎样的数量关系（只需写出结论）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，∴2∠BOC＝360°﹣2∠OBC﹣2∠OCB，而BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，∴2∠BOC＝360°﹣（∠ABC+∠ACB），∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴2∠BOC＝180°+∠A，∴∠BOC＝90°+∠A．当∠A＝40°，∠BOC＝110°；（2）∠OBC＝（∠A+∠ACB），∠OCB＝（∠A+∠ABC），∠BOC＝180°﹣∠0BC﹣∠OCB，＝180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），＝180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），结论∠BOC＝90°﹣∠A．∠BOC＝90°﹣∠A．当∠A＝40°，∠BOC＝70°．（3）∵∠OCD＝∠BOC+∠OBC，∠ACD＝∠ABC+∠A，而BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，∴∠ACD＝2∠OCD，∠ABC＝2∠OBC，∴2∠BOC+2∠OBC＝∠ABC+∠A，∴2∠BOC＝∠A，即∠BOC＝∠A．当∠A＝40°，∠BOC＝20°；（4）∠BOC＝90°+n；∠BOC＝90°﹣n；∠BOC＝n．【变式8-2】在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验【结论发现】小明在处理教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半．【结论探究】（1）如图1，在△ABC中，点E是△ABC内角∠ACB平分线CE与外角∠ABD的平分线BE的交点，则有∠E＝∠A请补齐下方的说理过程．理由如下：因为∠EBC+∠EBD＝180°，又因为在△EBC中，∠EBC+∠E+∠ECB＝180°，所以∠EBC+∠EBD＝∠EBC+∠E+∠ECB．所以∠EBD＝∠E+∠ECB（理由是：等式性质）同理可得∠ABD＝∠A+∠ACB．又因为BE和CE分别是∠ABD和∠ACB的角平分线，所以∠EBD＝∠ABD，∠ECB＝∠ACB．所以∠ABD＝∠E+∠ACB即∠E＝∠ABD﹣∠ACB＝（∠ABD﹣∠ACB）所以∠E＝∠A．请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：【简单应用】（2）如图2，在△ABC中，∠ABC＝40°．延长BA至G，延长AC至H，已知∠BAC、∠CAG的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，求∠F的度数；【变式拓展】（3）如图3，四边形ABCD的内角∠BCD与外角∠ABG的平分线形成如图所示形状．①已知∠A＝150°，∠D＝80°，求∠E+∠F的度数；②直接写出∠E+∠F与∠A+∠D的关系．【答案】（1）ECB，ACB，ECB；（2）70°；（3）①205°；②2（∠BFE+∠AEF）＝∠BAD+∠ADC+180°．【解答】解：（1）因为∠EBC+∠EBD＝180°，又因为在△EBC中，∠EBC+∠E+∠ECB＝180°，所以∠EBC+∠EBD＝∠EBC+∠E+∠ECB．所以∠EBD＝∠E+∠ECB（理由是：等式性质），同理可得∠ABD＝∠A+∠ACB．又因为BE和CE分别是∠ABD和∠ACB的角平分线，所以∠EBD＝∠ABD，∠ECB＝∠ACB．所以∠ABD＝∠E+∠ACB，即∠E＝∠ABD﹣∠ACB＝（∠ABD﹣∠ACB），所以∠E＝∠A．故答案为：ECB，ACB，ECB；（2）∵AE平分∠BAC，AF平分∠GAC，∴∠EAF＝∠EAC+∠FAC＝BAG＝90°，由（1）得，∠E＝B＝20°，∴∠F＝180°﹣90°﹣20°＝70°；（3）①延长BA、CD交于点M，延长BF、CE交于点H，∵∠BAD＝150°，∠ADC＝80°，∴∠MAD＝180°﹣150°＝30°，∠MDA＝180°﹣80°＝100°，∴∠M＝180°﹣30°﹣100°＝50°，由（1）得，∠H＝M＝