北京市丰台区2024届高三上学期期中练习数学试题【含答案解析】

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页北京市丰台区2024届高三上学期期中练习数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．2．下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（

）A． B．C． D．3．在复平面上，复数所对应的点在第二象限，则实数的值可以为（

）A． B．1C．2 D．34．已知平面向量满足，，且，则（

）A．12 B．4C． D．25．在中，，则（

）A． B．C． D．6．数列满足，则（

）A． B．C． D．7．设定义在上的函数，其导函数为，则“函数在上单调递增”是“时，导函数”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若函数的最大值为，则的值不可能为（

）A． B．C． D．9．分贝（）、奈培（）均可用来量化声音的响度，其定义式分别为，，其中为待测值，为基准值．如果，那么（

）（参考数据：）A．8.686 B．4.343C．0.8686 D．0.11510．如图，已知BD是圆O的直径，AC是与BD垂直的弦，且AC与BD交于点E，点P是线段AD上的动点，直线交BC于点Q．当取得最小值时，下列结论中一定成立的是（

）A． B．C． D．二、填空题11．函数的定义域为．12．已知平面向量，若与共线，则的值为．13．能说明命题“对于任意，”为假命题的一组整数的值依次为．（表示实数中的最大值）三、双空题14．已知函数其中．（1）当时，函数的单调递增区间为；（2）若函数的值域为，存在实数，则的取值范围为．四、填空题15．已知数列满足，则①当时，存在，使得；②当时，为递增数列，且恒成立；③存在，使得中既有最大值，又有最小值；④对任意的，存在，当时，恒成立．其中，正确结论的序号有．五、问答题16．在中，，，．(1)求的面积；(2)求及的值．17．在各项均为正数的等比数列中，为其前项和，且，．(1)求和；(2)设，记，求．18．已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若在处取得极值，求实数的值及函数的单调区间．19．设函数，从条件①、条件②、条件③ 这三个条件中选择一个作为已知．(1)求函数的解析式；(2)求在区间上的最小值．条件①：函数的图象经过点；条件②：函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为；条件③：函数的图象的一条对称轴为．注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分．20．已知函数，．(1)当时，求函数的最大值；(2)若关于的不等式恒成立，求实数的值．六、证明题21．对于一个行列的数表，用表示数表中第行第列的数，其中，且数表满足以下两个条件：①；②，规定．(1)已知数表中，，．写出，，的值；(2)若，其中表示数集中最大的数．规定．证明：；(3)证明：存在，对于任意，有．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．D【分析】化简集合，再根据交集的定义计算．【详解】由，则，则.故选：D2．C【分析】利用指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质、幂函数的图象与性质、正切函数的图象与性质分析即可得解.【详解】解：对于选项A，指数函数是非奇非偶函数，故A错误；对于选项B，函数是偶函数，故B错误；对于选项C，幂函数既是奇函数，又是定义域上的增函数，故C正确；对于选项D，正切函数在每个周期内是增函数，在定义域上不是增函数，故D错误.故选：C.3．D【分析】先利用复数的四则运算化简，从而利用复数的几何意义得到的不等式组，解之即可得解.【详解】因为，又所对应的点在第二象限，所以，解得，所以ABC错误，D正确.故选：D.4．C【分析】根据平面向量数量积与模长关系计算即可.【详解】由题意可知.故选：C5．D【分析】利用正弦定理与三角函数的和差公式推得，从而得解.【详解】因为，所以由正弦定理得，因为，所以，因为，则，所以，因为，所以.故选：D.6．C【分析】根据题意，列出数列的前几项，得到数列为周期数列，然后根据周期性求.【详解】因为数列满足，所以，，，，则是以4为周期的周期函数，所以，故选：C.7．B【分析】根据必要不充分条件的定义判断可得答案.【详解】函数在上单调递增，，如，时，单调递增，充分性不成立，时，导函数，可得函数在上单调递增，必要性成立，则“函数在上单调递增”是“时，导函数”的必要不充分条件.故选：B.8．D【分析】根据图象的平移变换得到，然后根据和差公式和辅助角公式整理得到，最后根据三角函数的性质求的范围即可.【详解】由题意得，则，，因为，所以，所以.故选：D.9．A【分析】结合题意得到，再利用换元法与换底公式即可得解.【详解】因为，，，所以，令，则，所以.故选：A.10．B【分析】作出辅助线，由极化恒等式得到当最小时，取得最小值，取的中点，则，此时取得最小值，B正确，在结合中位线及圆中的性质得到ACD错误.【详解】连接，则，两式平方后相减可得，由于等于圆的半径，为定值，故当最小时，取得最小值，取的中点，则，此时取得最小值，B正确；A选项，因为BD是圆O的直径，AC是与BD垂直的弦，且AC与BD交于点E，所以为的中点，故是的中位线，故，因为，所以，则不垂直，A错误；C选项，由中位线可知，所以不平行，C错误；D选项，由中位线可知，所以不平行，D错误.故选：B11．【分析】利用具体函数的定义域的求法求解.【详解】解：由，得且，所以函数的定义域为，故答案为：12．【分析】根据向量线性运算的坐标表示可得与，再由向量共线即可计算出.【详解】由可得，；由与共线可得，解得.故答案为：13．（答案不唯一）【分析】依据题意找出反例即可.【详解】，且时，，而，两式不相等，或时也使得，不妨使即可.故答案为：.14．/【分析】将代入函数解析式画出分段函数的图象，由图象易知的单调递增区间为；利用反比例函数性质可知函数的值域为，因此只需函数的值域为的真子集即可满足题意，由图可得.【详解】（1）当时,则，利用反比例函数和二次函数性质，根据分段函数性质画出函数图象如下：由图可知，函数的单调递增区间为；（2）易知函数的值域为，若函数的值域为，存在实数，则的值域不为，即使函数的值域为的真子集即可；利用二次函数性质可知当或时，函数值为，所以根据图象可知，即的取值范围为.故答案为：；15．②③④【分析】对于①，变形得到是等比数列，求出，令，无解；对于②，求出，作差得到，为递增数列，且；对于③，举出实例即可；对于④，分和时，得到D正确.【详解】对于①，，故，，两边平方得，设，即，故，解得，所以，又，所以是以为首项，公比为的等比数列，所以，则，令，无解，①错误；对于②，由①可知，，又，所以是以为首项，公比为的等比数列，所以，则，，故，又，，故，为递增数列，且，故恒成立，②正确；对于③，时，当时，，此时中最大值为2，最小值为-2；故存在，使得中既有最大值，又有最小值，③正确；对于④，由①知，当时，当时，，满足要求，当时，，随着，，又，，故，存在，当时，恒成立．综上，对任意的，存在，当时，恒成立，④正确.故答案为：②③④【点睛】数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.16．(1)22(2)，【分析】（1）由平方关系先算出，然后直接由三角形面积公式即可求解.（2）先由余弦定理算出，然后由正弦定理即可求解.【详解】（1）因为在中，，，结合平方关系，可知，从而由三角形面积公式，可知的面积为.（2）因为在中，，，，所以由余弦定理有，又，所以解得，由（1）可知，所以由正弦定理有，即，解得.17．(1)，.(2)【分析】（1）利用等比数列的通项公式与前项和的定义得到的关系式，从而得解；（2）由（1）得，从而利用等差数列的前项和公式即可得解.【详解】（1）依题意，，设等比数列的公比为，因为，，所以，解得（负值舍去），所以，.（2）由（1）得，所以.18．(1)(2)，单调递增区间为，单调递减区间为【分析】（1）代入，根据导数的运算法则求出.然后根据导数的几何意义，得出切线的斜率，代入点斜式方程，即可得出答案；（2）求出，代入，由求出的值，代入根据导函数结合余弦函数的图象，即可得出函数的单调区间.【详解】（1）当时，，所以，.根据导数的几何意义可知，曲线在处的切线的斜率，又，所以，曲线在处的切线方程为.（2）因为，又在处取得极值，所以，，即，解得.经检验可得，在处取得极大值，满足题意.所以，.因为，所以恒成立.作出的函数图象

由图象可知，在一个周期上，当时，有，此时有.所以，当时，由可得，，所以，在每个区间上单调递增；由图象可知，在一个周期上，当时，有，此时有.所以，当时，由可得，，所以，在每个区间上单调递减.19．(1)(2)0【分析】（1）根据三角函数的恒等变换可得，分别选择条件①，②，③都可得到，从而可得.（2）通过换元法并结合正弦函数的单调性即可求解.【详解】（1），若选①，，即，所以，解得，又注意到，所以只能，此时函数的解析式为；若选②，因为函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为，所以函数的半个周期就是，即，解得，满足题意，所以此时函数的解析式为；若选③，因为函数的图象的一条对称轴为，所以，解得，又注意到，所以只能，此时函数的解析式为；综上，从条件①、条件②、条件③中随便选取一个作为已知，函数的解析式均为.（2）由（1）可知，总有，当时，有，因为函数在单调递增，在单调递减，所以在区间上的最小值为.20．(1)0(2)1【分析】（1）直接对函数求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出函数的单调区间，即可求出结果；（2）利用（1）中函数，对求导，得到，再对进行分类讨论，求出相应的单调区间，再结合题设条件即可求出结果.【详解】（1）当时，函数，易知，，，当，，当，，即在区间上单调递增，在区间上单调递减，故最大值为.（2）令则，当时，由，即，得到，显然不合题意，故，由，得到，故当时，时，，时，，即时，函数在区间单调递增，在区间上单调递减，又，，所以，当时，，即，故时，不满足恒成立，由（1）知当时，恒成立，即恒成立，当时，时，，时，，即时，函数在区间单调递增，在区间上单调递减，又，，所以，当时，，即，故时，不满足恒成立，当，恒成立，即在区间上单调递增，又，所以，当时，，即，故时，不满足恒成立，综上所述，实数的值为.21．