第三节流体流动的基本方程

第三节流体流动的基本方程流体动力学主要研究流体流动过程中，流速、压强等参数的变化规律，研究流体流动过程中的能量损失以及为输送流体需对流体提供的能量，进而总结出流体在管内流动的规律。流体动力学流体流动流速与流量管路计算管内流体流动现象流体流动阻力定义：单位时间内流过管路任一截面的流体体积，用VS表示，SI单位m3/s。

VS——m3/s或m3/h一、流量1.3.1流体的流量与流速二者关系：定义：单位时间内流经管道任一截面的流体质量,用ws表示。

ws——kg/s或kg/h。2.质量流量1.体积流量二、流速定义：单位时间内单位截面积上流经管道的流体质量,用G表示，SI单位kg/(m2·s)

。定义：单位时间单位截面上流过的流体体积,用u表示，SI单位是m/s

，工程上一般称平均流速。流速2.质量流速

对于圆形管道：流量VS一般由生产任务决定。三、管径的估算流速选择：↑→d↓→设备费用↓

流动阻力↑→动力消耗↑→操作费↑均衡考虑uu适宜费用总费用设备费操作费一般，液体经济流速取0.5―3.0m/s，气体经济流速取10―30m/s

1.3.2稳态流动与非稳态流动稳态流动：流动系统中,各截面上的流体流速、压强、密度等只是位置的函数，而不随时间变化的流动；非稳态流动：流动系统中,在各截面上流体流速、压强、密度等不仅随位置变化而且随时间变化的流动。化工生产中，大部分情况为稳定流动（称正常状态），而一般在开、停工时为非稳定状态。1.3.3连续性方程(基于物料衡算)u1

1u2

2衡算范围：取管内壁截面1-1’与截面2-2’间的管段。衡算基准：1s对于连续稳定系统：

11’2’2推广至任意截面不可压缩性流体:圆形管道，管径大，流速小；管径小，流速大，流速与管径的平方成反比。根据质量守恒定律：恒密度流体在圆直管中流动——连续性方程(CE)ContinuedEquation需满足的条件：①质点紧密连接。(宏观)②流体在管内全充满，不间断;③不可压缩流体。(符合流体连续性假设）设图所示的系统中输送的是水。已知泵的吸入管道1的直径为φ108×4mm，系统排出管道2的直径为φ76×2.5mm。水在吸入管内的流速为1.5m/s，则水在排出管中的流速为多少？(水为不可压缩流体)1.3.4稳态流动系统的能量守恒——柏努利方程

1、流动系统的总能量衡算1、流体流动的总能量衡算

1）流体本身具有的能量物质内部能量的总和称为内能。

单位质量流体的内能以U表示，单位J/kg。①内能：②位能：流体因处于重力场内而具有的能量。质量为m流体的位能单位质量流体的位能

)/(kgJgZ=流体以一定的流速流动而具有的能量。

③动能：质量为m，流速为u的流体所具有的动能单位质量流体所具有的动能④静压能（流动功）

将流体压入流体某截面对抗前方流体的压力所做的功。静压能=力距离单位质量流体所具有的静压能

单位质量流体本身所具有的总能量为：2）系统与外界交换的能量①热：单位质量流体通过划定体积的过程中所吸的热为：qe

(J/kg)；

质量为m的流体所吸的热=mqe

(J)。

当流体吸热时qe为正，流体放热时qe为负。②功：单位质量通过划定体积的过程中接受的功为：We(J/kg)

质量为m的流体所接受的功=mWe(J)流体接受外功时，We为正，向外界做功时,We为负。

流体本身所具有能量和热、功就是流动系统的总能量。3）总能量衡算衡算范围：截面1和截面2间的管道和设备。衡算基准：1kg流体。设1截面的流体流速为u1，压强为P1，截面积为A1，比容为ν1；

截面2的流体流速为u2，压强为P2，截面积为A2，比容为v2。

取o为基准水平面，截面1和截面2中心与基准水平面的距离为Z1，Z2。由能量守恒方程：稳态条件下：E生

=0，则：以上能量形式可分为两类：①机械能：位能、动能、静压能及外功，可用于输送流体；②内能与热：不能直接转变为输送流体的能量。令：对1kg流体而言故上式亦可写成：注：在发生焓变的流动过程中：由于及则：上式右简化为△H=qe

或H2=H1+qe又根据热力学焓的定义：H=U+PV对于方程设：①流体不可压缩ρ1=ρ2

②流动过程流体温度不变（等温流动），△U=0③流动过程中因流体粘性而产生的机械能损失为hf,并以热的形式向外散失。（放热为负）

hf实际转化为qe使流体升温（非等温流动），内能有所增加，但根据①、②假定，均未考虑这部分热量的影响，故在③中独立列出。于是：qe

=－∑hf总衡算方程变为：或：式中各项单位为J/kg式中各项单位为m式中各项单位为Pa柏努利方程式令：We/g=He（外加功）

∑hf/g=Hf

(机械能损失)则：流体机械能衡算普遍化方程式中：Z——位压头（位头）u2/2g——动压头

P/ρg——静压头He——外加压头

Hf

——压头损失：压头的SI单位：（m）流体柱压头的物理意义：单位质量流体所具有的机械能可把自身从基准水平抬升的高度。3、理想流体的机械能衡算

公式可变换为：——理想流体柏努利方程式

☆

适用条件：a)

恒密度理想流体作稳态流动；b)

流动过程中，系统与外界无能量交换；c)

流体内能不变化；d)

重力场中，垂直向上为z轴正方向。理想流体的特征：流体粘度为零流动过程无内外摩擦阻力，因此无机械能损失。1)柏努利方程的物理意义：在任一垂直流动方向的截面上，单位质量流体的总机械能守恒，而每一种形式的机械能不一定相等，可以相互转换；2)当流体静止时，u=0，Σhf=0，We=0，则柏努利方程变为静力学方程，可见静力学方程式是柏努利方程的特例；3)式中：Z、P、u是状态函数与过程无关，而∑hf

是过程函数与过程有关。4)We：指单位质量流体所获得的有效功，而不是指机械本身输出的功。两者之间存在转化效率问题。5)式中u是指管道的平均流速。其大小实际上与管中的速度分布有关。对层流6)对于可压缩流体，若上式仍可用于计算。但此时式中ρ=ρm=（ρ1+ρ2

）/2，由此产生误差≤5%。属工程所允许的误差范围。1.3.5柏努利方程的应用1、应用柏努利方程解题要点

1）作图并确定衡算范围根据题意画出流动系统的示意图，并指明流体的流动方向，定出上下截面，以明确流动系统的衡算范围。2）截面的选取两截面都应与流动方向垂直，并且两截面的流体必须是连续的，所求得未知量应在两截面或两截面之间，截面的有关物理量Z、u、p等除了所求的物理量之外，都必须是已知的或者可以通过其它关系式计算出来。3）基准水平面的选取基准水平面的位置可以任意选取，但必须与地面平行，为了计算方便，通常取基准水平面通过衡算范围的两个截面中的任意一个截面。如衡算范围为水平管道，则基准水平面通过管道中心线，ΔZ=0。4）单位必须一致在应用柏努利方程之前，应把有关的物理量换算成一致的单位，然后进行计算。两截面的压强除要求单位一致外，还要求表示方法一致。5）衡算范围内所含的外部功及阻力损失应完全考虑。2、柏努利方程的应用确定管道中流体的流量(流速)；确定输送设备的有效功率；确定容器间的相对位置；确定管路中流体的压强。1）确定流体的流量例：20℃的空气在直径为80mm的水平管流过，现于管路中接一文丘里管，如本题附图所示，文丘里管的上游接一水银U管压差计，在直径为20mm的喉径处接一细管，其下部插入水槽中。空气流入文丘里管的能量损失可忽略不计，当U管压差计读数R=25mm，h=0.5m时，试求此时空气的流量为多少m3/h?

当地大气压强为101.33×103Pa。求流量Vh已知d求u任取一截面柏努利方程判断能否应用？直管气体分析：解：取测压处及喉颈分别为截面1-1’和截面2-2’

截面1-1’处压强：流经截面1-1’与2-2’的压强变化为：

截面2-2’处压强为：)3335101330()490510330()3335101330(121+--+-=-PPP

在截面1-1’和2-2’之间列柏努利方程式。以管道中心线作基准水平面。由于两截面无外功加入，We=0。

能量损失可忽略不计Σhf=0。

柏努利方程式可写为：

式中：Z1=Z2=0

P1=3335Pa（表压），P2=-4905Pa（表压）

化简得：

由连续性方程有：

联立(a)、(b)两式

2）确定容器间的相对位置例：如本题附图所示，密度为850kg/m3的料液从高位槽送入塔中，高位槽中的液面维持恒定，塔内表压强为9.81×103Pa，进料量为5m3/h，连接管直径为φ38×2.5mm，料液在连接管内流动时的能量损失为30J/kg(不包括出口的能量损失)，试求高位槽内液面应比塔内的进料口高出多少？分析：解：

取高位槽液面为截面1-1’，连接管出口内侧为截面2-2’,并以截面2-2’的中心线为基准水平面，在两截面间列柏努利方程式：高位槽、管道出口两截面u、p已知求△Z柏努利方程式中：Z2=0；Z1=?

P1=0(表压)；P2=9.81×103Pa(表压）由连续性方程

We=0，∴u1<<u2,u1≈0将上列数值代入柏努利方程式，并整理得：D>>d3）确定输送设备的有效功率

例：如图所示，用泵将河水打入洗涤塔中，喷淋下来后流入下水道，已知道管道内径均为0.1m，流量为84.82m3/h，水在塔前管路中流动的总摩擦损失(从管子口至喷头进入管子的阻力忽略不计)为10J/kg，喷头处的压强较塔内压强高0.02MPa，水从塔中流到下水道的阻力损失可忽略不计，泵的效率为65%，求泵所需的功率。分析：求NeNe=WeWs/η求We柏努利方程P2=?塔内压强整体流动非连续截面的选取？

解：取塔内水面为截面3-3’，下水道截面为截面4-4’，取地平面为基准水平面，在3-3’和4-4’间列柏努利方程：将已知数据代入柏努利方程式得：式中：式中：

计算塔前管路，取河水表面为1-1’截面，喷头内侧为2-2’截面，在1-1’和2-2’截面间列柏努利方程。将已知数据代入柏努利方程式泵的功率：4)管道内流体的内压强例1：如图，一管路由两部分组成，一部分管内径为40mm，另一部分管内径为80mm，流体为水。在管路中的流量为13.57m3/h，两部分管上均有一测压点，测压管之间连一个倒U型管压差计，其间充以一定量的空气。若两测压点所在截面间的摩擦损失为260mm水柱。求倒U型管压差计中水柱的高度R为多少为mm?求R1、2两点间的压强差柏努利方程式解：取两测压点处分别为截面1-1’和截面2-2’，管道中心线为基准水平面。在截面1-1’和截面2-2’间列单位重量流体的柏努利方程。式中：z1=0，z2=0u已知分析：代入柏努利方程式：

因倒U型管中为空气，若不计空气质量，P3=P4=P例2：水在本题附图所示的虹吸管内作定态流动，管路直径没有变化，水流经管路的能量损失可以忽略不计，计算管内截面2-2’,3-3’,4-4’和5-5’处的压强，大气压强为760mmHg，图中所标注的尺寸均以mm计。分析：求P求u柏努利方程某截面的总机械能理想流体求各截面P22’

解：在水槽水面1－1’及管出口内侧截面6－6’间列柏努利方程式，并以6－6’截面为基准水平面式中：

P1=P6=0（表压）

u1≈0代入柏努利方程式22’u6=4.43m/su2=u3=……=u6=4.43m/s取截面2-2’基准水平面,z1=3m，P1=760mmHg=101330Pa对于各截面压强的计算，仍以2-2’为基准水平面，Z2=0，Z3=3m，Z4=3.5m，Z5=3m（1）截面2-2’压强

（2）截面3-3’压强（3）截面4-4’压强（4）截面5-5’压强

从计算结果可见：P2>P3>P4

，而P4<P5<P6，这是由于流体在管内流动时，位能和静压能相互转换的结果。

22’5）流向的判断

在φ45×3mm的管路上装一文丘里管，文丘里管上游接一压强表，其读数为137.5kPa，管内水的流速u1=1.3m/s，文丘里管的喉径为10mm，文丘里管喉部一内径为15mm的玻璃管，玻璃管下端插入水池中，池内水面到管中心线的垂直距离为3m，若将水视为理想流体，试判断池中水能否被吸入管中？若能吸入，再求每小时吸入的水量为多少m3/h？分析：判断流向求P？柏努利方程

解：在管路上选1-1’和2-2’截面，并取3-3’截面为基准水平面设支管中水为静止状态。在1-1’截面和2-2’截面间列柏努利方程：比较总机械能式