《高等数学 上册》 课件 王娜 第6章 微分方程

第六章利用元素法解决:定积分在几何上的应用定积分在物理上的应用定积分的应用一、什么问题可以用定积分解决?二、如何应用定积分解决问题?第六章§6.1

定积分的元素法回顾曲边梯形求面积的问题一、问题的提出abxyo定积分的换元法目录上页下页返回结束面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得A的近似值一、问题的提出定积分的换元法目录上页下页返回结束abxyo（4）求极限，得A的精确值提示面积元素一、问题的提出定积分的换元法目录上页下页返回结束一、问题的提出定积分的换元法目录上页下页返回结束元素法的一般步骤定积分的换元法目录上页下页返回结束第一步利用“化整为零,以常代变”求出局部量的微分表达式第二步利用“积零为整,无限累加”求出整体量的积分表达式这种分析方法称为元素法

(或微元分析法

)元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等近似值精确值二、旋转体的体积一、平面图形的面积三、平面曲线的弧长§6.2

定积分在几何上的应用第四章目录上页下页返回结束曲边梯形的面积曲边梯形的面积1、直角坐标系情形一、平面图形的面积定积分在几何上的应用目录上页下页返回结束平面图形的面积旋转体的体积平面曲线的弧长小结与作业练习题解两曲线的交点面积元素选为积分变量一、平面图形的面积1、直角坐标系情形定积分在几何上的应用目录上页下页返回结束平面图形的面积旋转体的体积平面曲线的弧长小结与作业练习题解两曲线的交点选为积分变量一、平面图形的面积1、直角坐标系情形定积分在几何上的应用目录上页下页返回结束平面图形的面积旋转体的体积平面曲线的弧长小结与作业练习题于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式．问题：积分变量只能选吗？一、平面图形的面积1、直角坐标系情形定积分在几何上的应用目录上页下页返回结束平面图形的面积旋转体的体积平面曲线的弧长小结与作业练习题解两曲线的交点选为积分变量一、平面图形的面积1、直角坐标系情形定积分在几何上的应用目录上页下页返回结束平面图形的面积旋转体的体积平面曲线的弧长小结与作业练习题如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积一、平面图形的面积1、直角坐标系情形定积分在几何上的应用目录上页下页返回结束平面图形的面积旋转体的体积平面曲线的弧长小结与作业练习题解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．一、平面图形的面积1、直角坐标系情形定积分在几何上的应用目录上页下页返回结束平面图形的面积旋转体的体积平面曲线的弧长小结与作业练习题面积元素曲边扇形的面积2、极坐标系情形一、平面图形的面积定积分在几何上的应用目录上页下页返回结束平面图形的面积旋转体的体积平面曲线的弧长小结与作业练习题解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积2、极坐标系情形一、平面图形的面积定积分在几何上的应用目录上页下页返回结束平面图形的面积旋转体的体积平面曲线的弧长小结与作业练习题解利用对称性知2、极坐标系情形一、平面图形的面积定积分在几何上的应用目录上页下页返回结束平面图形的面积旋转体的体积平面曲线的弧长小结与作业练习题

旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台二、旋转体的体积定积分在几何上的应用目录上页下页返回结束平面图形的面积旋转体的体积平面曲线的弧长小结与作业练习题xyo旋转体的体积为二、旋转体的体积定积分在几何上的应用目录上页下页返回结束平面图形的面积旋转体的体积平面曲线的弧长小结与作业练习题解直线方程为二、旋转体的体积定积分在几何上的应用目录上页下页返回结束平面图形的面积旋转体的体积平面曲线的弧长小结与作业练习题二、旋转体的体积定积分在几何上的应用目录上页下页返回结束平面图形的面积旋转体的体积平面曲线的弧长小结与作业练习题解二、旋转体的体积定积分在几何上的应用目录上页下页返回结束平面图形的面积旋转体的体积平面曲线的弧长小结与作业练习题二、旋转体的体积定积分在几何上的应用目录上页下页返回结束平面图形的面积旋转体的体积平面曲线的弧长小结与作业练习题二、旋转体的体积定积分在几何上的应用目录上页下页返回结束平面图形的面积旋转体的体积平面曲线的弧长小结与作业练习题补充利用这个公式，可知上例中二、旋转体的体积定积分在几何上的应用目录上页下页返回结束平面图形的面积旋转体的体积平面曲线的弧长小结与作业练习题解二、旋转体的体积定积分在几何上的应用目录上页下页返回结束平面图形的面积旋转体的体积平面曲线的弧长小结与作业练习题解体积元素为二、旋转体的体积定积分在几何上的应用目录上页下页返回结束平面图形的面积旋转体的体积平面曲线的弧长小结与作业练习题定积分在几何上的应用目录上页下页返回结束平面图形的面积旋转体的体积平面曲线的弧长小结与作业练习题三、平面曲线的弧长弧长元素弧长1、直角坐标情形定积分在几何上的应用目录上页下页返回结束平面图形的面积旋转体的体积平面曲线的弧长小结与作业练习题三、平面曲线的弧长解所求弧长为1、直角坐标情形定积分在几何上的应用目录上页下页返回结束平面图形的面积旋转体的体积平面曲线的弧长小结与作业练习题三、平面曲线的弧长曲线弧为弧长2、参数方程情形定积分在几何上的应用目录上页下页返回结束平面图形的面积旋转体的体积平面曲线的弧长小结与作业练习题三、平面曲线的弧长解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长2、参数方程情形定积分在几何上的应用目录上页下页返回结束平面图形的面积旋转体的体积平面曲线的弧长小结与作业练习题三、平面曲线的弧长曲线弧为弧长3、极坐标情形定积分在几何上的应用目录上页下页返回结束平面图形的面积旋转体的体积平面曲线的弧长小结与作业练习题三、平面曲线的弧长解3、极坐标情形三、平面曲线的弧长定积分在几何上的应用目录上页下页返回结束平面图形的面积旋转体的体积平面曲线的弧长小结与作业练习题1.平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程直角坐标方程上下限按顺时针方向确定2.旋转体的体积绕

x

轴

:绕

y

轴

:(柱壳法)小结与作业定积分在几何上的应用目录上页下页返回结束平面图形的面积旋转体的体积平面曲线的弧长小结与作业练习题3.平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程弧微分:直角坐标方程注意:求弧长时积分上下限必须上大下小小结与作业作业：1;2(2);5(2);7;12;15(1);22定积分在几何上的应用目录上页下页返回结束平面图形的面积旋转体的体积平面曲线的弧长小结与作业练习题练习题定积分在几何上的应用目录上页下页返回结束平面图形的面积旋转体的体积平面曲线的弧长小结与作业练习题练习题定积分在几何上的应用目录上页