《高等数学 上册》 课件 王娜 第5章 定积分及其应用

积分学不定积分定积分第五章定积分第五章目录上页下页返回结束一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的性质§5.1定积分的概念及性质第五章目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.矩形面积梯形面积定积分的概念及性质目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题1)

大化小.在区间[a,b]中任意插入

n–1个分点用直线将曲边梯形分成n

个小曲边梯形;2)

常代变.在第i

个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得一、定积分问题举例解决步骤目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质3)近似和.4)取极限.令则曲边梯形面积一、定积分问题举例解决步骤目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质2.变速直线运动的路程

(1)分割:

T1

t0<t1<t2<

<tn

1<tn

T2,

Dti

ti

ti

1;(2)近似代替:

物体在时间段[ti

1,

ti]内所经过的路程近似为DSi

v(

i)Dti(

ti

1<

i<ti

);物体在时间段[T1,

T2]内所经过的路程近似为(3)求和:

(4)取极限:

记

max{Dt1,

Dt2,

,

Dtn},物体所经过的路程为

已知物体直线运动的速度v

v(t)是时间t的连续函数,

且v(t)

0,

计算物体在时间段[T1,

T2]内所经过的路程S.一、定积分问题举例解决步骤目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质上述两个问题的共性:

解决问题的方法步骤相同:“大化小,常代变,近似和,取极限”

所求量极限结构式相同:

特殊乘积和式的极限一、定积分问题举例目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质定积分的定义在小区间[xi

1,

xi]上任取一点xi

(i

1,2,

,

n),

作和

max{Dx1,

Dx2,

,Dxn};

记Dxi=xi-xi

1(i

1,2,

,

n),a

x0<x1<x2<

<xn

1<xn

b;在区间[a,

b]内插入分点:

设函数f(x)在区间[a,

b]上有界.

如果当

0时,

上述和式的极限存在,

且极限值与区间[a,

b]的分法和xi的取法无关,

则称此极限为函数f(x)在区间[a,

b]上的定积分,

记为

即二、定积分定义目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质定积分各部分的名称

————积分符号,

f(x)———被积函数,

f(x)dx

——被积表达式,

x————积分变量,

a

————积分下限,

b

————积分上限,

[a,

b]———积分区间，

定积分的定义———积分和.

二、定积分定义目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质定积分的定义说明：

定积分的值只与被积函数及积分区间有关,

而与积分变量的记法无关,

即二、定积分定义目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质函数的可积性

如果函数f(x)在区间[a,

b]上的定积分存在,

则称f(x)在区间[a,

b]上可积.

定理1

如果函数f(x)在区间[a,

b]上连续,

则函数f(x)在区间[a,

b]上可积.

定理2

如果函数f(x)在区间[a,

b]上有界,

且只有有限个间断点,

则函数f(x)在区间[a,

b]上可积.

定积分的定义二、定积分定义目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质定积分的几何意义

当f(x)

0时,f(x)在[a,

b]上的定积分表示由曲线y

f(x)、直线x

a、x

b与x轴所围成的曲边梯形的面积.

当f(x)

0时,

f(x)在[a,

b]上的定积分表示曲边梯形面积的负值.

二、定积分定义目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质利用定义计算定积分

解

把区间[0,1]分成n等份,分点为和小区间长度为

例1

二、定积分定义目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质利用几何意义求定积分

解

函数y

1

x在区间[0,1]上的定积分是以y=1-x为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形的面积.

因为以y=1-x为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形是一个直角三角形,

其底边长及高均为1,

所以

例2

二、定积分定义目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质三、定积分的性质两点规定性质1目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质三、定积分的性质性质1性质2性质3性质4目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质推论1

如果在区间[a

b]上f(x)

g(x)

则如果在区间[a

b]上f(x)

0

则性质5

三、定积分的性质

|f(x)|

f(x)

|f(x)|推论2

性质6

设M及m分别是函数f(x)在区间[a

b]上的最大值及最小值

则目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质三、定积分的性质

如果函数f(x)在闭区间[a

b]上连续

则在积分区间[a

b]上至少存在一个点x

使下式成立

这是因为,由性质6性质7(定积分中值定理)

——积分中值公式

由介值定理,至少存在一点x

[a,b],使两端乘以b

a即得积分中值公式.目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质小结与作业１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限作业：3；7（2）；10（3）（4）目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质思考题求极限：原式目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质练习题目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质练习题答案目录上页下页返回结束定积分问题举例定积分的定义定积分的性质小结与作业练习题定积分的概念及性质一、位置函数与速度函数之间的联系二、积分上限的函数及其导数三、牛顿

莱布尼茨公式§5.2微积分基本公式第五章目录上页下页返回结束积分上限的函数及其导数牛顿

莱布尼茨公式小结与作业练习题变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为一、问题的提出微积分基本公式目录上页下页返回结束积分上限的函数及其导数牛顿

莱布尼茨公式小结与作业练习题考察定积分记积分上限函数二、积分上限函数及其导数微积分基本公式目录上页下页返回结束积分上限的函数及其导数牛顿

莱布尼茨公式小结与作业练习题积分上限函数的性质证二、积分上限函数及其导数微积分基本公式目录上页下页返回结束积分上限的函数及其导数牛顿

莱布尼茨公式小结与作业练习题由积分中值定理得二、积分上限函数及其导数微积分基本公式目录上页下页返回结束积分上限的函数及其导数牛顿

莱布尼茨公式小结与作业练习题补充证二、积分上限函数及其导数微积分基本公式目录上页下页返回结束积分上限的函数及其导数牛顿

莱布尼茨公式小结与作业练习题例1求解分析：这是型不定式，应用洛必达法则.二、积分上限函数及其导数微积分基本公式目录上页下页返回结束积分上限的函数及其导数牛顿

莱布尼茨公式小结与作业练习题证二、积分上限函数及其导数微积分基本公式目录上页下页返回结束积分上限的函数及其导数牛顿

莱布尼茨公式小结与作业练习题二、积分上限函数及其导数微积分基本公式目录上页下页返回结束积分上限的函数及其导数牛顿

莱布尼茨公式小结与作业练习题证令二、积分上限函数及其导数微积分基本公式目录上页下页返回结束积分上限的函数及其导数牛顿

莱布尼茨公式小结与作业练习题定理2（原函数存在定理）定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.二、积分上限函数及其导数微积分基本公式目录上页下页返回结束积分上限的函数及其导数牛顿

莱布尼茨公式小结与作业练习题定理3（微积分基本公式）证三、牛顿—莱布尼茨公式微积分基本公式目录上页下页返回结束积分上限的函数及其导数牛顿

莱布尼茨公式小结与作业练习题令令牛顿—莱布尼茨公式三、牛顿—莱布尼茨公式定理3（微积分基本公式）微积分基本公式目录上页下页返回结束积分上限的函数及其导数牛顿

莱布尼茨公式小结与作业练习题微积分基本公式表明：注意求定积分问题转化为求原函数的问题.三、牛顿—莱布尼茨公式微积分基本公式目录上页下页返回结束积分上限的函数及其导数牛顿

莱布尼茨公式小结与作业练习题例4求

原式例5设

,求.解解三、牛顿—莱布尼茨公式微积分基本公式目录上页下页返回结束积分上限的函数及其导数牛顿

莱布尼茨公式小结与作业练习题例6求

解由图形可知三、牛顿—莱布尼茨公式微积分基本公式目录上页下页返回结束积分上限的函数及其导数牛顿

莱布尼茨公式小结与作业练习题例7求

解解面积三、牛顿—莱布尼茨公式微积分基本公式目录上页下页返回结束积分上限的函数及其导数牛顿

莱布尼茨公式小结与作业练习题3.微积分基本公式1.积分上限函数2.积分上限函数的导数牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．小结与作业微积分基本公式目录上页下页返回结束积分上限的函数及其导数牛顿

莱布尼茨公式小结与作业练习题作业：1;3;5;6(3)(8)(11)(12);7(2);9思考题微积分基本公式目录上页下页返回结束积分上限的函数及其导数牛顿

莱布尼茨公式小结与作业练习题练习题微积分基本公式目录上页下页返回结束积分上限的函数及其导数牛顿

莱布尼茨公式小结与作业练习题练习题微积分基本公式目录上页下页返回结束积分上限的函数及其导数牛顿

莱布尼茨公式小结与作业练习题练习题微积分基本公式目录上页下页返回结束积分上限的函数及其导数牛顿

莱布尼茨公式小结与作业练习题练习题微积分基本公式目录上页下页返回结束积分上限的函数及其导数牛顿

莱布尼茨公式小结与作业练习题练习题微积分基本公式目录上页下页返回结束积分上限的函数及其导数牛顿

莱布尼茨公式小结与作业练习题练习题微积分基本公式目录上页下页返回结束积分上限的函数及其导数牛顿

莱布尼茨公式小结与作业练习题练习题答案微积分基本公式目录上页下页返回结束积分上限的函数及其导数牛顿

莱布尼茨公式小结与作业练习题练习题答案微积分基本公式目录上页下页返回结束积分上限的函数及其导数牛顿

莱布尼茨公式小结与作业练习题

§5.3-1

定积分的换元积分法一、定积分的换元积分法第五章目录上页下页返回结束小结与作业练习题二、换元法实例定积分换元公式换元法实例定理一、定积分的换元法定积分的换元法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分换元公式换元法实例证一、定积分的换元法定积分的换元法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分换元公式换元法实例一、定积分的换元法定积分的换元法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分换元公式换元法实例应用换元公式时应注意:（1）（2）一、定积分的换元法定积分的换元法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分换元公式换元法实例例1计算解令二、换元法实例定积分的换元法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分换元公式换元法实例例2计算解二、换元法实例定积分的换元法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分换元公式换元法实例例3计算解原式二、换元法实例定积分的换元法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分换元公式换元法实例例4计算解令原式二、换元法实例定积分的换元法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分换元公式换元法实例证二、换元法实例定积分的换元法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分换元公式换元法实例二、换元法实例定积分的换元法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分换元公式换元法实例奇函数例6计算解原式偶函数单位圆的面积二、换元法实例定积分的换元法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分换元公式换元法实例证（1）设二、换元法实例定积分的换元法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分换元公式换元法实例（2）设二、换元法实例定积分的换元法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分换元公式换元法实例二、换元法实例定积分的换元法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分换元公式换元法实例例8.

设f(x)是连续的周期函数,周期为T,证明：解:(1)记并由此计算则即二、换元法实例定积分的换元法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分换元公式换元法实例(2)周期的周期函数则有二、换元法实例定积分的换元法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分换元公式换元法实例几个特殊积分、定积分的几个等式定积分的换元法小结与作业定积分的换元法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分换元公式换元法实例作业：1;6解令思考题定积分的换元法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分换元公式换元法实例计算中第二步是错误的.正确解法是思考题解答定积分的换元法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分换元公式换元法实例练习题定积分的换元法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分换元公式换元法实例练习题定积分的换元法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分换元公式换元法实例练习题定积分的换元法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分换元公式换元法实例练习题定积分的换元法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分换元公式换元法实例练习题答案定积分的换元法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分换元公式换元法实例

§5.3-2

定积分的分部积分法一、定积分的分部积分公式二、分部积分法实例第五章目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分的分部积分公式分部积分法实例定积分的分部积分公式推导一、分部积分公式定积分的分部积分法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分的分部积分公式分部积分法实例

解

例1

二、分部积分法实例定积分的分部积分法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分的分部积分公式分部积分法实例二、分部积分法实例

解

例2

定积分的分部积分法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分的分部积分公式分部积分法实例例3

计算解二、分部积分法实例定积分的分部积分法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分的分部积分公式分部积分法实例例4

计算解二、分部积分法实例定积分的分部积分法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分的分部积分公式分部积分法实例例5

设求解二、分部积分法实例定积分的分部积分法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分的分部积分公式分部积分法实例二、分部积分法实例定积分的分部积分法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分的分部积分公式分部积分法实例定积分的分部积分公式（注意与不定积分分部积分法的区别）小结与作业作业：7(7)(10)(11)定积分的分部积分法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分的分部积分公式分部积分法实例思考题定积分的分部积分法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分的分部积分公式分部积分法实例练习题定积分的分部积分法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分的分部积分公式分部积分法实例练习题答案定积分的分部积分法目录上页下页返回结束小结与作业练习题定积分的分部积分公式分部积分法实例

§5.4

反常积分二、无界函数的反常积分常义积分积分限有限被积函数有界推广一、无穷限的反常积分反常积分(反常积分)第五章目录上页下页返回结束小结与作业练习题无穷限的反常积分无界函数的反常积分一、无穷限的反常积分反常积分目录上页下页返回结束小结与作业练习题无穷限的反常积分无界函数的反常积分一、无穷限的反常积分反常积分目录上页下页返回结束小结与作业练习题无穷限的反常积分无界函数的反常积分一、无穷限的反常积分反常积分目录上页下页返回结束小结与作业练习题无穷限的反常积分无界函数的反常积分例1

计算反常积分解一、无穷限的反常积分反常积分目录上页下页返回结束小结与作业练习题无穷限的反常积分无界函数的反常积分例2

计算反常积分解一、无穷限的反常积分反常积分目录上页下页返回结束小结与作业练习题无穷限的反常积分无界函数的反常积分证一、无穷限的反常积分反常积分目录上页下页返回结束小结与作业练习题无穷限的反常积分无界