《高等数学 上册》 课件 王娜 第2章 导数与微分

微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)第二章导数与微分导数思想最早由法国数学家Ferma

在研究极值问题中提出.英国数学家Newton牛顿(1642–1727)伟大的英国数学家

,物理学家,天文学家和自然科学家.他在数学上的卓越贡献是创立了微积分.1665年他提出正流数(微分)术,次年又提出反流数(积分)术,并于1671年完成《流数术与无穷级数》一书(1736年出版).他还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等.莱布尼兹(1646–1716)德国数学家,哲学家.他和牛顿同为微积分的创始人,他在《学艺》杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿.他还设计了作乘法的计算机,系统地阐述二进制计数法,并把它与中国的八卦联系起来.第一节导数的概念一、问题的提出二、导数的定义三、由定义求导数四、导数的物理意义与几何意义五、可导与连续的关系六、小结、思考题一、问题的提出1、瞬时速度问题

设运动物体的运动方程为

s=s(t),则在t

与t0之间平均速度t0时刻的（瞬时）速度自由落体运动2、切线问题

切线——割线的极限位置上的直线4/22两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题定义1.

设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.二、导数的定义单侧导数：可导性是局部性质。双侧、单侧导数的关系6/22注意“导数为

”时不可导，即导数不存在。区间上可导性的定义

若f(x)

在区间I的内部处处可导，并且在I所含的左（右）端点处右(左)导数存在，则称f(x)

在区间I上可导。导函数7/22三、由定义求导数例1解例2解例3解一般地10/22*例4解11/22*例5解12/22例6解13/22例7解14/22四、导数的物理意义与几何意义2、几何意义1、物理意义——因变量关于自变量的变化率。15/22例8解由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为法线方程为16/22五、可导与连续的关系定理可导

连续.证证毕17/22注意:该定理的逆定理不成立.即连续

可导连续但不可导函数举例★

y

y=|x|

O

x0

yy=f(x)

O

x18/22例9011/π－1/π解19/22*例10解20/22内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;思考与练习1.

函数在某点处的导数区别:是函数,是数值;联系:注意:有什么区别与联系?？与导函数2.

设存在,则3.

已知则4.

若时,恒有问是否在可导?解:由题设由夹逼准则故在可导,且5.设,问a

取何值时,在都存在,并求出解:显然该函数在x=0连续.故时此时在都存在,

作业

P662、4、5、

6、7、8

第二节函数的求导法则一、和、差、积、商的求导法则二、反函数的求导法则三、常数和基本初等函数的导数公式四、复合函数的求导法则五、小结、作业1/21一、和、差、积、商的求导法则定理注意

一般地说,乘积的导数=导数的乘积;

商的导数=导数的商.2/21证(3)：证毕3/21推论例14/21例2解例3解5/21例4解6/21二、反函数的导数定理即

反函数的导数等于直接函数导数的倒数.*证7/21

y

y=f(x)

x=f--1

(y)

Iy

y0

(x0

,y0)

y

x

O

x0

x

Ix(f--1)

´(y0)=tan

y=cot

x

=1/

tan

x=1/f´(x0)8/21即解同理可得我们知道了所有基本初等函数的导数。例59/21*例6解特别地10/21三、常数和基本初等函数的导数公式11/21四、复合函数的求导法则定理(复合函数导数的链式法则)

即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.12/21*证13/21推广例7解14/21例8解注熟练地掌握了复合函数的分解及链式法则后，可以不写出中间变量（符号），采用逐层求导的方式计算复合函数的导数（这样可省去还原这一步）。15/21例9解现在我们可以（利用基本初等函数的导数及常数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数导数的链式法则）求出所有初等函数的导数。16/21例10解17/21例10另解18/21例11解例12解19/21五、小结2、反函数的求导法则（注意成立条件）.3、复合函数的求导法则（链式法则）（注意函数的复合过程）.4、基本函数的导数公式。

注意:分段函数求导时,分界点处的导数要用左右导数来求.1、导数的四则运算法则：5、可以求出所有初等函数的导数。

20/21作业习题2-23-(2)48-(8)12-(6)(8)思考题

求曲线上与轴平行的切线方程.21/21第三节高阶导数一、高阶导数的定义二、高阶导数的求法三、小结、作业1/12一、高阶导数的定义定义称y=f(x)的导函数

f

(x)在x0

的导数(f

)

(x0)为

y=f(x)在x0

的二阶导数，可记做称y=f(x)的导函数的导函数

(f

(x))

为y=f(x)的

二阶导函数:D={x|f

(x)存在}，x

f

(x)，可记做2/12如此定义

y=f(x)的n阶导数和n阶导函数，

二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.注若f(x)在x0点n

阶可导，则必在某个U(x0)上n-1阶可导。3/12二、高阶导数求法举例例1解求n阶导数就是连续地求n次一阶导数。4/12例2解5/12例3解若

不是自然数

求n阶导数时，求出若干阶后不要急于合并，分析结果的规律性，写出n阶导数(数学归纳法证明).注:6/12例4解同理可得7/12*例5解8/12高阶导数的运算法则:——莱布尼兹公式9/12例6解10/12*例7解11/12三、小结1、高阶导数的定义;2、高阶导数的运算法则

——特别是莱布尼兹公式;3、n阶导数的求法。12/12作业习题2-31-(12)3-(2)8-(4)9-(3)第四节隐函数的导数及由参数方程所确定的函数的导数*相关变化率一、隐函数的导数二、对数求导法三、由参数方程所确定的函数的导数四、*相关变化率五、小结、作业1/18一、隐函数的导数隐函数的显化问题：隐函数不易显化或不能显化时如何求导?隐函数求导法则:

视y=y(x),应用复合函数的求导法直接对方程F(x,y)=0两边求导，然后解出y

即得隐函数的导数.2/18例1解解得3/18例2解于是，所求切线方程为注本例中的方程形为F(x,y)=G(x,y),其确定的y=y(x)的求导方法仍然是...。4/18例3解5/18二、对数求导法——利用隐函数求导法求显函数导数的方法。对数求导法：

先对

y=f(x)（>0）两边取对数(或加绝对值后两边取对数),

然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:6/18例4解等式两边取对数,得7/18例5解等式两边取绝对值再取对数，得8/18三、由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数t问题:消参数困难或无法消去参数时如何求导?9/1810/18例6解得所求切线方程为11/18例7解12/1813/18例8解14/18*四、相关变化率

当已知两个变量的关系后，可从其中一个变化率求出另一个变化率。15/18例9解仰角增加率16/18h米五、小结隐函数求导法则:视

y=y(x)，

利用复合函数求导法则直接对方程两边求导;对数求导法:对函数两边取对数,然后按隐函数的求导法则求导;参数方程求导法:y对x的导数=y对参数的导数/x对参数的导数;*相关变化率:两个相互关联的变化率;

解法:

通过建立两个变量之间的关系,就将它们的变化率联系起来，从一个变化率得到另一个变化率.17/18作业习题2-43-(4)4-(1)(4)7-(1)思考题18/18第五节函数的微分一、问题的提出二、微分的定义三、可微的条件四、微分的几何意义五、微分的求法六、微分形式的不变性七、*微分在近似计算中的应用八、小结、作业1/21一、问题的提出——近似计算问题实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量。2/21再如,既容易计算又是较好的近似值问题：是否所有函数的改变量都有这样的线性函数(改变量的线性主要部分)？如果有，它是什么？如何求？3/21二、微分的定义定义4/21三、可微的条件定理证(1)必要性(2)充分性证毕5/21例1解6/21四、微分的几何意义MNT）C:y=f(x)在M(x0,f(x0))的切线T：y