专题13.1三角形中的边角关系命题与证明（全章知识梳理与考点分类讲解）八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（沪科版）

专题13.1三角形中的边角关系、命题与证明（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】三角形的分类1、按边分类： 2、按角分类： 不等边三角形 直角三角形三角形 三角形锐角三角形 等腰三角形（等边三角形是特例）斜三角形 钝角三角形【知识点2】三角形的性质1、三角形的三边关系：三角形中任何两边的和大于第三边；任何两边的差小于第三边。2、三角形的三角关系：三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。三角形外角和定理：三角形的三个外角的和等于360°。三角形的外角性质（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。【知识点3】三角形的角平分线、中线和高（说明：三角形的角平分线、中线和高都是线段）【知识点4】命题1、命题：凡是可以判断出真（正确）、假（错误）的语句叫做命题。2、命题分类真命题：正确的命题命题假命题：错误的命题3、互逆命题原命题：如果p，那么q； 逆命题：如果q，那么p。4、反例：符合命题条件，但不满足命题结论的例子称为反例。（说明：交换一个命题的条件和结论就是它的逆命题。）【考点一】三角形的边角关系➼➻三角形的有关概念★★多边形的稳定性【例1】（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，D，E分别为边，上的点，，相交于点F．

（1）图中共有三角形__________个．（2）在中，所对的边是__________；在中，边所对的角是_______．【答案】（1）8；（2），．【分析】（1）根据图形，即可解答；（2）根据图形，即可解答．（1）解：图中共有8个三角形，分别是，，，，，，，．（2）解：在中，所对的边是；在中，边所对的角是，故答案为：，．【点拨】本题主要考查了三角形的相关概念，解题的关键是掌握熟练掌握相关概念，不重复不遗漏的数出三角形个数．【举一反三】【变式1】（2022秋·河北唐山·八年级统考期中）若一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，主要运用的几何原理是（

）A．四边形的不稳定性 B．三角形的稳定性C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短【答案】B【分析】根据三角形的稳定性即可得．解：一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，构成了三角形，运用了三角形的稳定性，故选：B．【点拨】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是掌握三角形的稳定性．【变式2】（2022秋·山东济宁·八年级校考阶段练习）如图，D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中，∠C所对的边是；在△ACD中，∠C所对的边是．【答案】ABAD【分析】根据三角形的边和角有关概念解答即可．解：在中，所对的边是；在中，所对的边是，故答案为：；．【点拨】此题考查三角形，关键是根据三角形的边和角有关概念解答．【考点二】三角形的边角关系➼➻三角形的分类★★三角形的个数【例2】（2023秋·全国·八年级专题练习）满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形．（1）△ABC中，∠A＝30°，∠C＝∠B；（2）三个内角的度数之比为1:2:3.【答案】（1）锐角三角形；（2）直角三角形．【分析】根据角的分类对三角形进行分类即可.解：（1）∵∠A＝30°，∠C＝∠B，∠A＋∠C＋∠B＝180°，∴∠C＝∠B＝75°，∴满足条件的三角形是锐角三角形．（2）∵三个内角的度数之比为1∶2∶3，∴可求得每个内角的度数分别为30°，60°，90°，∴满足条件的三角形是直角三角形．【点拨】本题主要考查了三角形的分类问题．【举一反三】【变式1】（2023春·七年级课时练习）若一个三角形两个外角之和为，那么这个三角形是（

）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形【答案】C【分析】根据三角形的外角和为，两个外角之和为，则第三个外角的度数为，则其相邻内角是，从而判定形状．解：∵三角形的外角和为，两个外角之和为，∴第三个外角的度数为，∴其相邻内角是，∴该三角形是钝角三角形．故选：C．【点拨】本题注意考查了三角形的外角和、三角形的形状判定，熟练掌握三角形外角和，准确判定三角形的形状是解题的关键．【变式2】（2023春·七年级单元测试）已知a、b、c为三角形的三边，且则，则三角形的形状是．【答案】等边三角形【分析】先把所给等式左右两边同时乘以2，然后利用完全平方公式得到，由此求解即可．解：∵，∴，∴，∴，即，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．故答案为：等边三角形．【点拨】本题主要考查了因式分解的应用，三角形的分类，非负数的性质，正确得到是解题的关键．【考点三】三角形的边角关系➼➻构成三角形的条件★★第三边取值范围【例3】（2023秋·福建莆田·八年级莆田八中校考阶段练习）用一条24cm的细绳围成一个等腰三角形．（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长为4cm的等腰三角形吗？为什么？【答案】（1）各边长为：cm，cm，cm；（2）能，理由见分析.【分析】（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长；（2）题中没有指明4cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．解：（1）设底边长为xcm，∵腰长是底边的2倍，∴腰长为2xcm，∴2x+2x+x=24，解得，x=cm，∴2x=2×=cm，∴各边长为：cm，cm，cm．（2）能①当4cm为底时，腰长==10cm；②当4cm为腰时，底边=2444=16cm，∵4+4＜16，∴不能构成三角形，故舍去；∴能构成有一边长为4cm的等腰三角形，另两边长为10cm，10cm．【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解．【举一反三】【变式1】（2022春·陕西西安·七年级统考期末）已知，，为某三角形的三条边长，若，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角形的三边关系即可得到结论．解：为某三角形的三条边长，，，，，故选：A．【点拨】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．【变式2】（2023秋·全国·八年级专题练习）若二元一次方程组的解、的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m的值为．【答案】2【分析】解二元一次方程组，分三种情况考虑，根据周长为7得关于m的方程，求得m，根据构成三角形的条件判断即可．解：①②得：y=3m把y=3m代入②，得x=3m3故方程组的解为若x为腰，y为底，则2x+y=7即2（3m3）+3m=7解得：m=2此时x=3，y=1，满足构成三角形的条件若y为腰，x为底，则2y+x=7即2（3m）+3m3=7解得：m=4此时x=9，y=1，不合题意若x=y，即3m3=3m解得：此时腰为，底为但+<4，不符合构成三角形的条件故不合题意所以满足条件的m为2故答案为：2【点拨】本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次方程的解法，三条线段构成三角形的条件，涉及分类讨论思想，方程思想，要注意的是，求出m的值后，要验证是否符合构成三角形的条件．【考点四】三角形的边角关系➼➻三角形的高★★三角形高的画法★★垂心【例4】（2022秋·湖南永州·八年级校考阶段练习）如图，已知，按要求作图．（1）过点A作的垂线段；（2），求点C到线段的距离．【答案】（1）见分析；（2）．【分析】（1）根据垂线的作图方法作图即可；（2）过点作的垂线，交延长线于点，利用等面积法求解即可．（1）解：如图，线段即为所求，（2）过点作的垂线，交延长线于点，如下图：∵∴解得∴点C到线段的距离为．【点拨】此题考查了尺规作图（垂直平分线），点到直线的距离，解题的关键是掌握垂线的作图方法以及等面积法求解高．【举一反三】【变式1】（2022春·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，于点，于点，于点，于点，则中，边上的高为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据垂线的定义去分析，、等都不是所对顶点向所在直线所作的垂线，由此即可判定．解：∵边上的高是指过所对顶点B向所在直线所作的垂线∴在于点，于点，于点，于点中，只有符合上述条件．故选：C．【点拨】此题主要考查学生对三角形的高这一知识点的理解和掌握，难度不大，要求学生应熟练掌握．【变式2】（2022秋·山东泰安·七年级东平县实验中学校考阶段练习）如图，在中，，，垂足分别为点D和点E，与交于点O，连接并延长交于点F，若，，，则值为【答案】【分析】由题意得：，再根据三角形的面积公式，可得，进而可得，设，则有，，，即可得到答案．解：∵在中，，，垂足分别为点D和点E，与交于点O，∴，∵，，，∴，∴，∴，设，∴，，，k不为0，∴，化简得：，故答案是：．【点拨】本题主要考查三角形的高，掌握“三角形的三条高交于一点”是解题的关键．【考点五】三角形的边角关系➼➻三角形中线（重心）➼➻长度★★面积【例5】（2022秋·江西上饶·八年级校考阶段练习）如图，中，，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒．设运动的时间为秒．（1）当点在上时，______时，把的周长分成相等的两部分？（2）当点在上时，______时，把的面积分成相等的两部分？（3）当点在所有运动过程中，连接或，求当为何值时，的面积为12？【答案】（1）6；（2）；（3）为2或6.5秒时，的面积为12【分析】（1）先求出的周长为24，所以当把的周长分成相等的两部分时，点在上，此时，再根据时间路程速度即可求解；（2）根据中线的性质可知，点在中点时，把的面积分成相等的两部分，进而求解即可；（3）分两种情况：①在上；②在上，根据三角形面积公式进行计算即可求解．（1）解：中，∵，，，∴的周长，∴当把的周长分成相等的两部分时，点在上，此时，∴，解得．故答案为：6；（2）当点在中点时，把的面积分成相等的两部分，此时，∴，解得．故答案为：6.5；（3）解：分两种情况：①当在上时，∵的面积，∴，∴，∴，则；②当在上时，∵的面积面积的一半，∴为中点，∴，则．故为2或6.5秒时，的面积为12．【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，三角形的周长与面积，三角形的中线，利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．【举一反三】【变式1】（2023秋·河北沧州·八年级校考阶段练习）如图，是的重心，连接并延长交于，连接并延长交于．若的面积是4，则四边形的面积是（

）A．2 B．5 C．3 D．4【答案】D【分析】根据重心的概念，得到是的中线，故可得，进而推出的面积和四边形的面积相等，即可解答．解：是的重心，是的中线，，四边形的面积，故选：D．【点拨】本题考查了重心的概念，三角形中线的性质，熟练利用面积的转化得到的面积和四边形的面积相等是解题的关键．【变式2】（2022·安徽滁州·校考模拟预测）如图，是的中线，点分别为的中点，若的面积为，则的面积是．【答案】12【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．解：是的中点，，是的中点，，，的面积，故答案为：12．【点拨】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．【考点六】三角形的边角关系➼➻三角形的内角和★★角平分线【例6】（2022春·福建漳州·七年级校考阶段练习）如图①，在中，与的平分线相交于点P．（1）如果，求的度数；（2）如图②，作外角，的平分线交于点Q，试探索、之间的数量关系．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由三角形内角和定理可求出，再根据角平分线的定义可得出，，从而可求出，最后再次利用三角形内角和定理即可求出；（2）由三角形内角和定理可求出，进而得出．再根据角平分线的定义得出，从而可求出，最后再次利用三角形内角和定理即可求出．解：（1）∵，∴．∵，分别是和的角平分线，∴，，∴，∴；（2）∵，∴．∵，分别是和的角平分线，∴，∴，∴．【点拨】本题主要考查与角平分线有关的三角形内角和问题，利用数形结合的思想是解题关键．【举一反三】【变式1】（2020秋·陕西渭南·八年级统考阶段练习）如图，是的角平分线，点O在上，且于点E，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据可知，再由可求得的度数，再由角平分线的定义可得，再利用三角形内角和定理即可求解．解：∵，∴，∵，∴，∵是的角平分线，，∴，∴，故选：A．【点拨】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义、垂线的定义、直角三角形的性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．【变式2】（2023秋·重庆·八年级校考阶段练习）如图，在中，平分，点在射线上，于，，，则的度数为．【答案】/34度【分析】由三角形外角的定义及性质可得，由角平分线的定义可得，再由三角形外角的定义及性质可得，由垂线的定义可得，最后由三角形内角和定理进行计算即可．解：，，，平分，，，，，，，故答案为：．【点拨】本题考查了垂线的定义、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．【考点七】三角形的边角关系➼➻三角形的外角★★直角三角形两锐角互余【例7】（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求：（1）的度数．（2）的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．解：（1）∵（______），∴______．∵（______），∴____________（等量代换）．（2）∵，∴（等式的性质），∵（已知），∴____________（等量代换）．【答案】（1）已知，，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，，（2），【分析】（1）根据垂直的定义、三角形的外角性质计算即可；（2）根据三角形的外角性质计算；解：（1）（已知），，（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），（等量代换）；故答案为：已知，，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，，；（2），（等式的性质），（已知），（等量代换）．故答案为：，．【点拨】本题考查的是三角形的外角性质、直角三角形的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023秋·广东珠海·八年级珠海市文园中学校考阶段练习）（垂线段在三角形内）如图，在中，，，平分，点为上一点，于点，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出，由外角的性质求出，然后根据直角三角形两锐角互余即可求出的度数．解：∵，，∴，∵是的平分线，∴，∴，又∵，∴，∴，故选：B．【点拨】本题考查了三角形内角和等于，直角三角形中两个锐角互余，三角形外角的性质，角平分线的定义，以及垂直的定义，正确识图是解答本题的关键．【变式2】（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在中，、分别为的角平分线与的外角平分线，为的外角平分线于E，，则．【答案】/度【分析】由图知，,可推知，得，于是，从而．解：由图知，，∵、分别为的角平分线与的外角平分线，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点拨】本题考查三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，运用外角定理求解角度是解题的关键．【考点八】命题与证明➼➻真假命题★★题设与结论【例8】（2023春·陕西安康·七年级统考阶段练习）命题“两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等”．（1）写出这个命题的题设和结论；（2）判断该命题的真假．【答案】（1）题设：两条平行直线被第三条直线所截；结论：内错角相等；（2）该命题是真命题【分析】（1）命题的一般叙述形式为“如果……那么……”，其中，“如果”所引出的部分是题设（条件），“那么”所引出的部分是结论．（2）根据平行线的性质，即可判断．（1）解：题设：两条平行直线被第三条直线所截；结论：内错角相等．（2）该命题是真命题【点拨】本题考查了命题，找准原命题的题设与结论是正确解答本题的关键．【举一反三】【变式1】（2022秋·河南鹤壁·八年级统考期中）能说明“锐角与锐角的和是锐角”是假命题的反例图是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】利用三角形的外角性质即可判断．解：、是锐角，且，所以此图说明“锐角，锐角的和是锐角”是真命题，此选项不符合题意；、是锐角，且，所以此图说明“锐角，锐角的和是锐角”是真命题，此选项不符合题意；、是钝角，且，所以此图说明“锐角，锐角的和是锐角”是假命题，此选项符合题意；、∠是锐角，且，所以此图说明“锐角，锐角的和是锐角”是真命题，此选项不符合题意；故选：．【点拨】此题考查了真假命题、举反例说明一个命题是假命题以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．【变式2】（2023春·湖南永州·八年级校考开学考试）把命题“全等三角形的对应边相等”改写成“如果……，那么……”的形式：．【答案】如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应边相等．【分析】根据如果的后面是条件，那么的后面是结论，即可求解．解：∵原命题的条件是：两个三角形是全等三角形，结论是：对应边相等，∴命题“全等三角形的对应边相等”改写成“如果…，那么…”的形式是如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应边相等．故答案为：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应边相等．【点拨】本题主要考查了命题的“如果…那么…”形式，解题的关键是熟练掌握如果的后面是条件，那么的后面是结论．【考点九】命题与证明➼➻写出一个命题的已知、求证、证明过程【例9】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在边AB、AC上，给出下列信息：①BE平分∠ABC；②CD⊥AB；③∠CFE＝∠CEF．（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．在保证命题正确的情况下，你选择的条件是________，结论是________．（只要填写序号）．（2）请证明（1）中你组成的命题的正确性．【答案】（1）②③，①；（2）见分析【分析】（1）根据命题的定义正确选择即可；（2）以②③为条件，在三角形CEF和BDF中通过三角形内角和及等量代换推出∠DBF=∠CBE．（1）解：选择的条件是②③，结论是①；（2）证明：∵∠CFE=∠CEF，∠CFE=∠BFD，∴∠CEB=∠BFD，∵CD⊥AB，∴∠BFD+∠DBF=90°，∵∠CBE+∠CEB=90°，∴∠DBF=∠CBE，∴BE平分∠ABC．【点拨】本题考查了命题的定义，三角形内角和，解题的关键是要读懂题意，选择正确的条件和结论．【举一反三】【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程：①因为（已知）；②因为，（已知）；③所以，（等式的性质）；④所以（等量代换）；⑤所以（等量代换）．正确的顺序是（

）A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④【答案】C【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可．解：证明：因为，（已知），所以，（等式的性质）；因为（已知），所以（等量代换）．所以（等量代换）．∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④．故选C．【点拨】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键．【变式2】（2023春·浙江·八年级专题练习）小明在解答“已知ABC中，AB＝AC，求证∠B＜90°”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：（1）所以∠B+∠C+∠A＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾．（2）所以∠B＜90°．（3）假设∠B≥90°．（4）那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．请你写出这四个步骤正确的顺序．【答案】（3）（4）（1）（2）【分析】根据反证法的一般步骤解答即可．解：证明：假设，那么，由，得，即，即，所以，这与三角形内角和定理相矛盾，所以，所以这四个步骤正确的顺序是（3）（4）（1）（2），故答案为：（3）（4）（1）（2）．【点拨】本题考查的是反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．【考点十】命题与证明➼➻互逆命题★★证明互逆定理【例10】（2022秋·八年级课时练习）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理．（1）等腰三角形的两个底角相等．（2）内错角相等，两直线平行．（3）对顶角相等．【答案】（1）有