集合映射与函数

通知：9月29日(周四)中午12:30到理学院1楼大厅值班室购作业集，15元/套1.名称工科数学分析总学时一学年(两学期)教材?工科数学分析根底?第二版本学期96

学时王绵森马知恩主编2.参考书?数学分析?第三版华东师范大学数学系主编?高等数学?第五版同济大学应用数学系主编3.书后习题参考书?工科数学分析根底学习指导与习题解析?孙清华孙浩主编习题册参考书?数学分析同步辅导及习题精解华东师大第三版?张天德韩振来主编4.本学期的教学内容1.一元函数的微分学；4.无穷级数。2.一元函数的积分学；3.微分方程；5.

高等数学

工科数学分析数学分析

计算计算为主、证明兼顾

证明6.高等数学是数学的一个分支，是数学的根底理论课之一，它是理工科大学生必修的数学根底理论课程，也是学习后续数学的必修课程，还是学习其它专业的必修课。

高等数学的性质与作用高等数学的概念、理论和方法对于学生毕业后从事科学研究、工程技术与管理工作都是不可缺少的内容。同时也是参加具有选拔功能的水平考试的必备根底。7.掌握高等数学的根本知识、根本理论和根本的计算方法，提高数学素养；

高等数学的教学目的

培养学生的抽象思维和逻辑推理的能力，以及辩证的思维方法；

培养学生的空间想象能力，培养学生的分析问题和解决问题的能力；为学生进一步学习数学打下根底，也为学习专业的后继课程准备必要的数学根底。8.认识高等数学的重要性，注意高等数学的特点，改进学习方法

如何学习高等数学？

初等数学

------研究对象为常量，以静止的观点研究问题；

学数学最好的方法是做数学

高等数学

------研究对象为变量，运动和辩证法进入了数学。9.〔2〕每次课后均布置作业，希望大家认真完成。〔1〕考试内容以课堂上讲的为范围，在第12周前后会安排一次期中考试；

两点说明：10.第1章函数、极限、连续第1节集合、映射与函数第2节数列的极限第3节函数的极限第4节无穷小量及无穷大量第5节连续函数11.

第1节集合、映射与函数

1.1集合及其运算

1.2实数集的完备性与确界定理1.3映射与函数的概念1.4复合映射与复合函数1.5逆映射与反函数1.6初等函数与双曲函数12.集合论产生于十九世纪七十年代，它是德国数学家康托〔Cantor〕创立的，不仅是分析学的根底，同时，它的一般思想已渗入到数学的所有部门。“集合论观点〞与现代数学的开展不可分割地联系在一起。13.1.1集合及其运算1、集合概念具有某种确定性质对象的全体.组成这个集合的个别对象称为该

集合元素(简称元)(集)元素.集合的通常以大写字母等表示集合,以小写字母等表示集合的元素.否那么记记作或

注：集合中的元素具有确定性、无重复性、无序性。14.2表示法(1)列举法：把集合的全部元素一一列出来,例有限集合自然数集(2)描述法：

x

所具有的性质P(x)例整数集合或有理数集p与q互质实数集合

x

为有理数或无理数外加花括号.正整数集15.3集合的关系两个集合一般地,如那么子集那么称集合A与B相等,记作那么称子集,(读作A含于B)或(读作B包含

A).集合相等记作16.如空集.不含任何元素的集合称为那么称真子集记作如NZQR.真子集,空集规定空集为任何集合的子集.今后在提到一个集合时,一般都是如不加特别声明,非空集.17.集合之间的相等与包含关系具有以下几个性质:(1)反身性(2)反对称性(3)传递性

注：空集是唯一的。

18.例确定以下命题是否为真〔1〕⊆；〔2〕∈；〔3〕∈{}；〔4〕⊆{}；〔5〕∈{{}}；〔6〕{a}⊆{{a}}；〔7〕{a}∈{{a}}；〔8〕{a}⊆{a，{a}}；〔9〕{a}∈{a，{a}}。注:〔i〕理解符号∈和⊆的区别和联系(ii)理解集合和{}；{a}和{{a}}的区别和联系。

19.给定两个集合A,B,并集交集且差集且定义以下运算:或4集合的三种根本运算20.注研究某个问题时所考虑的对象的全体记作例如,那么余集或补集.A∪BA∩B并用

X表示,称为全集或根本集,并把差积特别称为A的例如,在实数集R中,集合的余集B关于A

余(补)集21.

，D={5}，求出以下集合。

，例

设，，(1)(2)(4)(3)(5)A∩D

22.例用文氏图表示以下集合。(1)23.

(2)24.(3)25.例用集合公式表示以下文氏图中的阴影局部(1)解：

26.(2)解：

27.5.集合的运算法那么为任意三个集合,那么以下法那么成立:(1)交换律A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;(2)结合律

(A∪B)∪C=A∪(B∪C),

(A∩B)∩C=A∩(B∩C);(3)分配律

(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C);(4)对偶律(A∪B)C=AC∩BC,(A∩B)C=AC∪

BC;28.(5)幂等律A∪AA∩A(6)吸收律A∪=A,=A;=A,A∩=29.

定义两个确定了先后次序的元素a,b组成的元素对,称为有序元素对,简称为有序偶,记为(a,b)。且规定

笛卡儿乘积

(a,b)=(c,d)当且仅当a=c,b=d.

注:有序偶(a,b)和集合{a,b}的区别.30.

定义有序偶集合{(a,b)|a∈A,b∈B}称为集合A和B的笛卡儿乘积,记为A×B.

例设A={1,2,3},B={x,y},求A×B,

B×A。(2)一般的,A×B≠B×A。

注:(1)A×

=

×B=

;特例:记为平面上的全体点集31.1.2实数集的完备性与确界定理实数的定义1实数及其性质32.实数集的一些重要性质四那么〔有理〕运算封闭性：实数全体对加、减、乘、除运算封闭有序性：任意两实数a,b必满足下述三个关系之一：稠密性：任意两个不相等实数之间还有另一个实数，所以任意两个实数之间必存在无穷多实数.有理数集也具有稠密性！33.完备性:实数的连续性有理数集不具有！〔实数的连续性〕34.逻辑符号

在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号“”表示“任取〞,或“任意给定〞.“”表示“存在〞,“至少存在一个〞,或“能够找到〞.Any(每一个)或All(所有的)的字头A的倒写Exist(存在)的字头E的倒写“”表示“蕴含〞,或“推出〞.“”表示“等价〞,或“充分必要〞.35.36.2绝对值与不等式运算性质37.几个常用的绝对值不等式:38.几个重要不等式39.几何平均值算术平均值40.

区间是用得较多的一类数集(实数集合),具体是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.

在数轴上可表示为3.区间41.

在数轴上可表示为

除了开区间和闭区间外,我们还可类似定义如下区间:42.除了有限区间外,我们还可以定义所谓的无限区间.通过引入记号+(读作正无穷大)及-(读作负无穷大),那么可类似地表示无限区间.如:

注:以上这些区间均称为有限区间,数b－a称为这些区间的长度(区间两端点间的距离),从数轴上看,这些有限区间是长度有限的线段.43.注:在不需要辨明所论区间是否包含端点,以及是有限区间还是无限区间时,我们可简单地称其为“区间〞,且常用I表示.

全体实数R可记作(-,+

),为一无穷区间.44.4邻域:45.46.47.5有界数集与确界原理有界数集定义1.1(有界数集〕48.49.因此A无上界.证故A

有下界.取l

=1,例50.确界假设数集A有上界,那么必有无穷多个上界,而其中最小的一个具有重要的作用.最小的上界称为上确界,记作supA.同样,假设A有下界,那么最大的下界称为下确界，记作infA.先给定确界的直观定义MM2M1上确界上界

m2mm1下确界下界51.定义2〔确界的精确定义〕设A为实数集R的非空子集，假设数s满足以下两条：那么称s为实数集A的上确界，记作supA假设数t满足以下两条：那么称t为实数集A的下确界，记作infA52.证先证supA=1.例

53.注：实数集的上界、下界、上确界,下确界均未必存在，假设上确界,下确界存在那么唯一54.任一有上〔下〕界的非空实数集必有上〔下〕确界.注：非空有界实数集的上〔下〕确界是唯一的！定理1.1(确界原理)以下确界原理也可作公理,不予证明.

问题：满足什么条件的实数集必有上确界和下确界？上述确界原理的证明利用到实数集的完备性.55.数集的最大数、最小数与上确界、下确界的关系设A为实数集R的非空子集，且A有最大值和最小值，那么证明b0为是数集A的一个上界，并且比b0小的数都不是A的上界，所以b0就是最小的上界。56.1.3映射与函数的概念

1、映射的概念定义设A、B是两个非空集合,如果存在一个法那么f,使得对通过f,在B中有唯一确定的元素y与之对应,那么称f为从A

到B的映(或算子),记作并称y为x(在映射f下)的象,即x称为y

(在映射f下)的原象.射定义域

即记或称为映射的值域57.对元素x的象y是唯一的;而对元素y的原象不一定是唯一的;映射f的值域是Y的一个子集,不一定(2)注(1)集合A,即定义域对应法那么f,使对有唯一确定的与之对应.①②二个要素:构成一个映射必须具备以下(3)设假设那么称映射f与g相等，记作58.59.假设，就称该映射是A到B上的映射(即满射).假设中的每个y，都有唯一的原象，那么称为单射.假设必有假设映射f那么称f是一一映射(或双射)，又是单射,

既是满射,即，即B中任一元素y都是A中某元素的象.即，假设必有2、一一映射与对等60.61.例设对应关系:既非满射,

又非单射;满射,

非单射;单射,非满射;

满射,

单射,即为一一映射.对定义域内的任一x,62.(1)如图,令由A到B的对应关系为那么f是一个从A到B的映射.练习满射,

单射,即为一一映射.(2)令那么f是一个从N+到B的映射.满射,

单射,即为一一映射.63.映射又称为算子。根据集合A、B的不同情形,在不同的数学分支中,映射又有不同的惯用名称：非空集A到数集B的映射称为泛函非空集A到它自身的映射称为A上的变换从实数集(或其子集)X到实数集Y的映射通常称为定义在A上的函数64.定义设A和B是两个非空集合，假设存在映射那么称集合A与B对等(等势〕，记为假设两个集合彼此对等，那么认为它们个数是相同的！(1)反身性：(2)对称性：假设，那么(3)传递性：假设，那么等价关系对任意的集合A，B，C，对等关系具有如下性质65.例66.3函数的概念

定义1.4设实数集那么称映射为定义在A上的函数,通常简记为自变量因变量定义域(domain)定义中,按对应法那么f,总有唯一确定的值y与之对应,这个值称为函数f在x处的函数值,记作函数关系函数值全体组成的集合称为range记作即函数f的值域,67.68.自变量因变量对应法那么f函数的两要素:定义域与对应法那么.两函数只有在定义域和对应法那么皆相同时才能称为相同.69.70.71.常用的定义函数的方法列表法图像法72.取自变量在横轴上在平面直角坐标系中,因变量在纵轴上变化,那么函数的图形是指变化,平面点集:通常是一条或几条曲线(包括直线).中的集合函数的图像函数的一种直观表示方法.73.常用的定义函数的方法解析法显函数形式〔y由x的解析式直接表示出来〕隐函数形式〔y没有由x的解析式直接表示出来)分段函数形式〔函数在其定义域的不同范围内具有不同的解析表达式〕74.例75.练习设则f(x)的定义域20

填空:76.2.用分段函数表示函数分段函数在其整个定义域上是一个函数,答案:即注而不是几个函数.1-24377.几个今后常引用的函数绝对值函数例

定义域值域78.符号函数

定义域值域对例有或79.

取整函数如例当阶梯曲线

定义域值域表示不超过x的最大整数80.例狄利克雷(Dirichlet)函数(x为有理函数)(x为无理函数)

定义域值域有理数点无理数点81.yxoyxo

取最值函数例82.oyM-Mxy=f(x)D有界1．函数的有界性:例如函数y=sinx,y=cosx在〔-∞,+∞)上均为有界函数.函数的几种特性83.84.是单调增加;如果对恒有〔假设改为严格不等号时，称为严格单调增加的〕2．函数的单调性:例：y=ex在〔-∞,+∞)内单调增加。85.是单调减少.如果对恒有〔假设改为严格不等号时，称为严格单调减少的〕86.注:单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数.

注应指明单调区间,否那么会产生错误.87.3．函数的奇偶性:偶函数yxox-xyxox-x奇函数88.4．函数的周期性:89.周期为的周期函数

注:并非所有周期函数都存在最小正周期.

90.例狄利克雷(Dirichlet)函数有理数点无理数点•1xyo(当x是有理函数时)(当x是无理函数时)这是一个周期函数,任何正有理数r都是它的周期.因为不存在最小的正有理数,所以没有最小正周期.91.定义.由上述映射链可定义由A到C

的映射称为g与f构成的复设有映射链记作合映射

,或1.4复合映射与复合函数(1)复合映射中间元素称为复合运算

注意:

构成复合映射的条件不可少.92.定义.由上述函数链可定义由A到C

的函数称为g与f构成的复设有函数链记作合函数

,或中间元素(2)复合函数—复合映射的特例注意:

构成复合函数的条件不可少.93.(1)逆映射的定义定义:设映射,假设存在另一映射使记成例如,映射其逆映射为其中称此映射为f

的逆映射

.称f是可逆映射.设映射为f

的逆映射的充要条件是1.5逆映射与反函数

94.定理1.2

映射

是可逆映射的充分必要条件是为

到

的一一映射。

定义设是非空集合，定义映射如下：称是上的恒等映射或单位映射。95.〔2〕反函数(i)反函数的概念及性质设函数假设存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为f

的反函数.96.问题:满足