48高阶导数与高阶微分讲解

第八节高阶导数与高阶微分一、高阶导数的定义二、高阶导数求法举例三、高阶微分11/7/20231福州大学数学与计算机学院一、高阶导数的定义问题:变速直线运动的加速度.定义记作11/7/20232福州大学数学与计算机学院三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数,11/7/20233福州大学数学与计算机学院二、高阶导数求法举例例1解1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.11/7/20234福州大学数学与计算机学院例2解同理可得11/7/20235福州大学数学与计算机学院例3解同理可得11/7/20236福州大学数学与计算机学院例4解特殊地11/7/20237福州大学数学与计算机学院例5解留意

求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)11/7/20238福州大学数学与计算机学院例6解11/7/20239福州大学数学与计算机学院2.高阶导数的运算法则:莱布尼兹公式11/7/202310福州大学数学与计算机学院例7解11/7/202311福州大学数学与计算机学院3.间接法常用高阶导数公式利用的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.11/7/202312福州大学数学与计算机学院例8解11/7/202313福州大学数学与计算机学院例1解

隐函数的高阶导数用复合函数求导法则,直接对方程两边对x逐次求导,(y是x的函数),最终解出y的高阶导数.11/7/202314福州大学数学与计算机学院11/7/202315福州大学数学与计算机学院例2解11/7/202316福州大学数学与计算机学院参数方程的高阶导数11/7/202317福州大学数学与计算机学院例1解11/7/202318福州大学数学与计算机学院11/7/202319福州大学数学与计算机学院例3设连续，，求.不一定存在故用定义求解11/7/202320福州大学数学与计算机学院11/7/202321福州大学数学与计算机学院例3例411/7/202322福州大学数学与计算机学院例511/7/202323福州大学数学与计算机学院一阶微分的定义三高阶微分11/7/202324福州大学数学与计算机学院若可微时，称它的微分为y的二阶微分，记为.当可微时，一般地，当y的n-1阶微分可微时，为y的三阶微分，记为称它的微分二阶微分：n阶微分：称n-1阶微分的微分称为n阶微分，记作高阶微分：二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。1．

高阶微分的定义11/7/202325福州大学数学与计算机学院2.高阶微分的求法

用同样的方法，得这里dx的是x处的产生的增量,与变量x无关,视作常数

即y的n阶微分等于它的n阶导数乘上自变量的微分的n次方.

11/7/202326福州大学数学与计算机学院但对于复合函数我们就不能得出这一公式

这时才回能到前面导出的公式这里当u的是自变量x时,

这事实也说明高阶导数不具有形式不变性所以11/7/202327福州大学数学与计算机学院对于复合函数我们就不能得出

留意这里记号如n=2时,应有表示不同含义,不能混淆.

11/7/202328福州大学数学与计算机学院例1求的二阶微分.解:所以若把看成是由复合而成的函数，则所以且11/7/202329福州大学数学与计算机学院例2设分别依公式（1）、（2）求解由得依公式（1）得类似地，依公式（2）得11/7/202330福州大学数学与计算机学院三、小结高阶导数的定义及物